Многоконтурных систем регулирования

Расчет и моделирование

Многоконтурных систем регулирования

 

Методические указания

Содержание

1. Методика разработки и расчета автоматической системы регулирования

2. Расчет одноконтурных АСР

2.1. Расчет одноконтурной замкнутой АСР

2.2. Расчет одноконтурной разомкнутой АСР

3. Расчет каскадной АСР

4. Расчет комбинированной АСР

5. Расчет АСР для объектов с взаимосвязанными координатами

6. Моделирование автоматических систем регулирования на ЭВМ

 

 

Методика разработки и расчета

Автоматической системы регулирования

Рассмотрим наиболее распространенную задачу автоматической системы регулирования (АСР) технологических процессов - стабилизацию переменных (координат) объекта на заданном значении.

Различают одноконтурные (замкнутые и разомкнутые) АСР и многоконтурные АСР (каскадные, комбинированные и многосвязные). Одноконтурные АСР могут обеспечить удовлетворительное качество регулирования лишь при благоприятных динамических свойствах объекта. Однако большинство технологических объектов характеризуются большим запаздыванием τ, высоким значением  (где T - наибольшая постоянная времени объекта) и многосвязностью (т. е. наличием перекрестных связей в объекте между различными регулируемыми переменными). В таких случаях для повышения качества регулирования переходят к многоконтурным АСР.

Процесс разработки АСР можно представить в виде следующей блок-схемы рис. 1.1.

При расчете АСР используется два подхода:

1. Расчет при заданной структуре регулятора.

2. Расчет при неизвестной структуре регулятора.

В первом случае структура регулятора задается исходя из простоты технической реализации закона регулирования (пропорциональный - П; пропорционально-интегральный - ПИ; пропорционально-дифференциальный - ПД или ПИД - закон). Исходными данными являются передаточная функция объекта с известными параметрами и передаточная функция регулятора с неизвестными параметрами. Определению подлежат параметры настроек регуляторов. Данный метод является основным при расчете АСР. Он используется при расчете одноконтурных замкнутых АСР и является составной частью расчета всех многоконтурных АСР.

Расчет при неизвестной структуре регулятора используется, в основном, при расчете разомкнутых и комбинированных АСР. Получающийся в результате расчета достаточно сложный закон регулирования может быть реализован в ЭВМ. Метод позволяет определить структуру регулятора (или компенсатора), обеспечивающего теоретически абсолютную инвариантность (независимость) регулируемой переменной по отношению к конкретному возмущающему воздействию. Исходными данными для расчета служат передаточные функции объекта по каналам регулирования и возмущения. Определению подлежат структура регулятора (вид передаточной функции) и параметры.

Расчет одноконтурных АСР

П-регулятор

 

 

ПИ-регулятор

 

где  - период незатухающих колебаний АСР.

ПИД-регулятор

 

 

Формулы (2.7) - (2.9) определяют настройки регуляторов, обеспечивающие степень затухания процесса регулирования .

Пример 1.

Передаточная функция объекта имеет вид:

Найти оптимальные настройки ПИ-регулятора.

Решение

1-й этап. По передаточной функции объекта запишем ее амплитудно-фазовую характеристику:

т. е.

 

Система уравнений (2.5) для рассматриваемого примера имеет вид:

Из второго уравнения находим значения  (рис. 2.4)

Из первого уравнения значение критической настройки  составляет

2-й этап. Вычислим настройки ПИ-регулятора по формулам (2.8):

Задание 1. Найти оптимальные настройки ПИ и ПИД-регуляторов приближенным методом для объекта с заданной передаточной функцией  (табл. 1).

Таблица 1

Исходные данные для расчета одноконтурных,

Каскадных и комбинированных АСР

Номер варианта	Характеристики объекта
1	0,2	6	7	1	0,7	7	0,2
2	0,3	7	5	2	0,5	5	0,4
3	0,4	7	4	3	2	4	1
4	0,5	2	7	4	3	2	1
5	0,7	5	6	5	1,5	5	1
6	2	3	3	6	0,2	3	2
7	3	2	4	7	0,4	4	3
8	1,5	4	6	3	0,3	6	1
9	1,5	4	5	4	2,5	5	1
10	4	3	6	5	3,5	3	2,5
11	5	1	5	2	4	5	0,5
12	1	2	5	2	2	2	1
13	2	4	5	1	1	5	0,2
14	4	2	10	2	2	2	1
15	10	1	5	1	5	5	1

Принцип инвариантности формулируется следующим образом: в любой момент времени отклонение регулируемой переменной от заданного значения   при изменении возмущения   равно нулю.

Аналогично условие инвариантности  к  можно записать для изображений  и :

Передаточная функция разомкнутой АСР (рис. 2.6) по каналу  равна

Для того, чтобы при любом  необходимо выполнение равенства  Следовательно, теоретически абсолютная инвариантность координаты  к  возможна при условии

откуда

Рассчитанная таким образом передаточная функция компенсатора может соответствовать физически нереализуемому устройству.

Условие физической реализуемости для звена, передаточная функция которого записана в виде отношения двух полиномов

заключается в выполнении неравенства

где m - степень полинома числителя; n - степень полинома знаменателя.

Физический смысл этого соотношения состоит в том, что для физически нереализуемого звена амплитудно-частотная характеристика не затухает с ростом частоты (рис. 2.7), в то время как реальные звенья обладают фильтрующим свойством и их АЧХ падает с ростом частоты.

 

Пример 2.

Дано:      

Найти

В соответствии с (2.14) имеем:

Полученная передаточная функция соответствует физически нереализуемому звену, так как степень полинома числителя (ДВА) больше степени полинома знаменателя (ОДИН).

Пример 3.

Дано:     

Найти

В соответствии с (2.14) имеем:

где

Если  то  т. е. (хотя m = n) получили физически нереализуемое звено, для которого сигнал на выходе должен появиться раньше, чем он поступит на его вход.

Если рассчитанный в соответствии с (2.14) компенсатор окажется физически нереализуемым или технически сложным, то обеспечить абсолютную инвариантность невозможно. В этом случае подбирают различные компенсаторы из условия обеспечения приближенной инвариантности, которая при этом достигается только в определенном диапазоне частот или на отдельных частотах, наиболее опасных для объекта. Методика выбора реальных компенсаторов из условия частичной инвариантности приведена в разд. 4 (расчет комбинированных АСР).

Расчет каскадной АСР

Каскадные АСР применяются для повышения качества регулирования объектов с неблагоприятными динамическими характеристиками (большое запаздывание, высокое значение ).

Применение каскадной АСР возможно при следующих условиях:

1) имеется вспомогательная регулируемая переменная , зависящая от того же самого регулирующего воздействия , что и основная переменная y (рис. 3.1).

2) вспомогательный канал регулирования  является более быстродействующим, чем основной. Это дает основание полагать, что рабочая частота регулирования вспомогательной переменной будет выше рабочей частоты регулирования основной переменной .

Схема каскадной АСР приведена на рис. 3.2.

Регулятор  является вспомогательным, регулятор R корректирует задание регулятора .

Расчет настроек каскадной АСР осуществляется теми же методами, что и расчет настроек одноконтурной АСР. Различие состоит в том, что каждый из регуляторов R и  рассчитывается по динамическим характеристикам эквивалентных объектов.

Структура эквивалентных объектов для регуляторов  и R приведена на рис. 3.3 и 3.4 соответственно.

Передаточная функция эквивалентного объекта для регулятора  имеет вид

Если на рабочей частоте  выполняется условие

то приближенно передаточная функция эквивалентного объекта для регулятора  равна

Передаточная функция эквивалентного объекта для регулятора R имеет вид

Если на рабочей частоте  выполняется условие

то приближенно передаточная функция эквивалентного объекта для регулятора R равна

Порядок расчета

Расчет настроек регуляторов в каскадной АСР является итеративным, так как они оказываются взаимосвязанными через передаточные функции эквивалентных объектов. Блок-схемы двух методов расчета настроек каскадной АСР представлены на рис. 3. Различие этих методов заключено в первом цикле, в котором производится расчет одного из регуляторов (  и R) по приближенным формулам передаточных функций эквивалентных объектов (3.3 или 3.6 соответственно). Дальнейший расчет настроек производится с использованием точных формул (3.1) и (3.4) для  и  Расчет заканчивается тогда, когда настройки одного из регуляторов, найденные в двух последовательных циклах, совпадают с заданной точностью (например, ). Выбор метода расчета (I или II алгоритм) в каждом конкретном случае диктуется характеристиками объекта и системой допущений (см. условия 3.2 и 3.5). Для обоснованного выбора метода расчета и предварительной оценки эффективности (и целесообразности) каскадной АСР проводят приближенные расчеты рабочих частот в одноконтурных АСР для основной и вспомогательной регулируемых переменных. Получаемые при этом результаты могут использоваться и при анализе результатов расчета каскадной АСР.

Окончательные выводы об эффективности каскадной АСР (а, следовательно, целесообразности ее применения) по сравнению с одноконтурной АСР делают по результатам моделирования переходных процессов в соответствующих системах регулирования (см. раздел "Моделирование многоконтурных АСР").

Пример 4.

Даны передаточные функции объекта по основному и вспомогательному каналам:

Произвести расчет настроек регуляторов и сравнить качество регулирования для двух вариантов АСР:

1. Одноконтурная АСР:

1.1. - с ПИ-регулятором

1.2. - с ПИД-регулятором

2. Каскадная АСР с регуляторами вида:

2.1. - основной регулятор - ПИ; вспомогательный - П

2.2. - основной регулятор - ПИД; вспомогательный - ПИ.

Решение.

Вариант 1. Одноконтурная АСР.

Запишем частотные характеристики объекта по основному каналу:

 

Найдем настройки ПИ-регулятора методом Циглера и Никольса.

Уравнения для расчета критической настройки П-регулятора  и частоты  имеют вид:

Из второго уравнения найдем значение частоты

 определяется из первого уравнения:

Рабочие значения настроек ПИ и ПИД-регуляторов соответственно равны (см. формулы 2.8 и 2.9)

  

Вариант 2. Каскадная АСР с регуляторами

вспомогательный  - П

основной R - ПИ

Определим настройки регуляторов  и   R.

Так как время запаздывания во вспомогательном канале в 5 раз меньше, чем в основном, есть основание предположить, что выполняется условие (3.7).

1. Расчет настроек регулятора  в одноконтурной АСР.

Сравнение рабочих частот основного и вспомогательного регуляторов в одноконтурных АСР (см. формулы (3.7), (3.8)) показывает, что  Это дает основание предположить, что в каскадной АСР быстродействие внутреннего контура будет намного выше, чем основного и условие (3.2) будет выполнено.

Критическое значение настройки П-регулятора  и частоту незатухающих колебаний  найдем из уравнений:

Рабочее значение настройки регулятора

2. Расчет настроек регулятора R для эквивалентного объекта.

Определим приближенную передаточную функцию эквивалентного объекта для регулятора R:

Амплитудно-фазовая характеристика

Уравнения для нахождения критической настройки П-составляющей и  имеют вид:

откуда

Рабочие значения настроек регулятора R равны:

3. Проверка справедливости неравенства (3.2):

Сравнение (3.9) и (3.10) показывает, что допущение (3.2) можно считать справедливым и принять

Следовательно, расчет регуляторов можно считать законченным.

Проведем сравнение двух АСР по значениям частот  (примем их за рабочие частоты).

В каскадной АСР рабочая частота для основного регулятора составляет , что примерно в два раза выше, чем в одноконтурной АСР  Это дает основание ожидать значительного повышения качества регулирования в каскадной АСР по сравнению с одноконтурной АСР. Окончательный вывод об эффективности каскадной АСР в данном случае можно сделать на основании анализа качества процессов регулирования, полученных в результате моделирования одноконтурной и каскадной АСР.

Задание 2. Дан объект с передаточными функциями  и  Рассчитать настройки регуляторов и сравнить качество переходных процессов в одноконтурной и каскадной АСР с различными типами регуляторов (задание см. табл. 1, 2).

Таблица 2

Варианты заданий на расчет каскадных АСР

Номер варианта	Одноконтурная АСР	Каскадная АСР
		основной регулятор	вспомогательный регулятор
1	ПИ	ПИ	П
2	-"-	ПИ	ПИ
3	ПИД	ПИ	П
4	-"-	ПИ	ПИ
5	-"-	ПИД	П
6	-"-	ПИД	ПИ

Расчет комбинированной АСР

Комбинированные АСР предназначены для повышения качества регулирования объектов, подверженных сильным возмущающим воздействиям, при условии, что их можно автоматически контролировать.

Регулирующее воздействие в комбинированных АСР формируется на основании двух принципов регулирования: по отклонению (регулируемой переменной от заданного значения) и возмущению (по результатам измерения возмущающего воздействия). Компенсация возмущения осуществляется путем введения дополнительного управляющего воздействия одним из двух способов: либо на входе канала регулирования объекта (рис. 4.1.а), либо на входе в регулятор (рис. 4.1.б).

В комбинированной системе имеется два канала связи между точкой приложения возмущающего воздействия  и точкой измерения регулируемой величины y. Соответствующие структурные схемы для комбинированных АСР приведены на рис. 4.2.

Для комбинированной АСР первого типа (рис. 4.2.а) зависимость выхода от входа определяется следующим выражением:

где  - передаточная функция объекта по каналу регулирования;

 - передаточная функция объекта по каналу возмущения;

 - передаточная функция регулятора;

 - передаточная функция компенсатора.

Из выражения (4.1) следует условие абсолютной инвариантности y по отношению к :

откуда получаем формулу для расчета передаточной функции идеального компенсатора

Аналогично для комбинированной АСР II-го типа (рис. 4.2.б) имеем:

- связь выхода со входом

- условие инвариантности

откуда получаем формулу для передаточной функции идеального коипенсатора

Однако идеальные компенсаторы с передаточными функциями (4.3) или (4.6) могут оказаться физически нереализуемыми.

В случае физической нереализуемости или сложности технической реализации идеального компенсатора используются реальные компенсаторы, обеспечивающие частичную инвариантность в ограниченном диапазоне частот или на отдельных частотах. Для реального компенсатора структура передаточной функции задана, а ее параметры подлежат расчету.

Наиболее распространены следующие типы реальных компенсаторов:

1.  - усилительное звено

2.  - реальное дифференцирующее звено

3.  - интегродифференцирующее звено.

Определение параметров реального компенсатора осуществляется из условия близости амплитудно-фазовых характеристик реального и идеального компенсаторов на нулевой частоте, что обеспечивает инвариантность в статическом режиме, и на рабочей частоте ω _p основного регулятора (для замкнутого контура).

Последовательность расчета комбинированной АСР

1. Рссчитываются настройки основного регулятора для одноконтурной замкнутой АСР.

2. По формулам (4.3) или (4.6) (в зависимости от схемы комбинированной АСР) определяется передаточная функция идеального компенсатора. Если эта передаточная функция физически реализуема, то расчет окончен. В противном случае выбирается реальный компенсатор и рассчитываются его параметры из условия совпадения с заданной точностью амплитудно-фазовых характеристик идеального и реального компенсатора на частотах  или для  и

Для идеального компенсатора определяются значения модуля и фазы на частотах  и

Структура реального компенсатора и его параметры выбираются таким образом, чтобы удовлетворить условиям:

или

Пример 1. Динамические характеристики объекта по каналам возмущения и регулирования описываются передаточными функциями

В комбинированной АСР используется П-регулятор с передаточной функцией  Требуется рассчитать настройки регулятора, выбрать компенсатор и определить его параметры из условия инвариантности на нулевой и рабочей частотах.

Решение. Определяем настройки регулятора по методу Циглера-Никольса. Из системы уравнений

где

определяем критическую частоту  и критический коэффициент усиления регулятора  при которых замкнутая система регулирования будет находиться на границе устойчивости:

Рабочую частоту  принимаем приближенно равной  а оптимальную настройку регулятора равной

Передаточная функция компенсатора из условия ивариантности:

Так как компенсатор с передаточной функцией (4.8) не содержит звеньев с отрицательным чистым запаздыванием и степень полинома числителя не превосходит степени полинома знаменателя, идеальный компенсатор физически реализуем. Однако техническая реализация такого устройства достаточно сложна, поскольку оно включает в себя звенья чистого запаздывания, реальное дифференцирующее и апериодическое звено 1-го порядка. Поэтому целесообразно подобрать реальный компенсатор более простой структуры.

Для выбора типа реального компенсатора построим частотные характеристики идеального компенсатора в диапазоне частот . Из формулы (4.8) при  получим:

амплитудно-частотная характеристика

фазо-частотная характеристика

При  и

Так как в интервале  годограф  проходит в четвертом квадранте, в качестве реального компенсатора можно выбрать апериодическое звено 1-го порядка или интегродифференцирующее звено. В первом случае система уравнений

не имеет точного решения. Если принять приближенно  то  и

Для интегродифференцирующего звена параметры T ₁ и T ₂ находим из системы уравнений

Получим

Пример 2. Передаточные функции объекта и регулятора имеют вид:

Расчет комбинированной системы регулирования, аналогичный рассмотренному в примере 1, приводит к следующим результатам.

Оптимальные настройки регулятора и рабочая частота равны соответственно

Идеальный компенсатор - звено чистого запаздывания, так как

Рабочая частота на годографе  находится в четвертом квадранте  поэтому в качестве реального компенсатора выбираем устройство с передаточной функцией вида

Параметры k_к и T находим из условий

Отсюда .

Задание 3. Рассчитать комбинированную АСР первого типа с ПИ-регулятором и компенсатором, обеспечивающим приближенную инвариантность на нулевой и рабочей частоте.

Передаточную функцию для канала регулирования принять равной  из задания 1, для канала возмущения параметры  определить из соотношений:

Расчет АСР для объектов

Регулирования на ЭВМ

Моделирование АСР на ЭВМ проводится с целью получения переходных процессов в системе и определения их качества при различных возмущениях и параметрах настройки регулятора. В сочетании с программой поиска экстремума функции многих переменных программа расчета переходного процесса в АСР может использоваться для оптимизации настроек регулятора по какому-либо критерию (например, интегральному квадратичному, модульному или обобщенному квадратичному).

Для моделирования линейных систем регулирования объектов с чистым запаздыванием чаще всего используются разностные алгоритмы, как наиболее простые для реализации и дающие необходимую точность расчета при правильном выборе шага дискретности. Если для описания объекта использовать дифференциальное уравнение 1-го или 2-го порядка с запаздыванием, что наиболее часто применяется на практике, то обычно шаг дискретности выбирается из условия, чтобы он составлял не более 20% от времени запаздывания (или от минимальной постоянной времени T, если  или если ). При этом дополнительное запаздывание в моделируемой системе, которое вводится за счет дискретизации, менее чем на 20% увеличивает запаздывание по каналу управления.

Рассмотрим структурную схему программы моделирования многоконтурной АСР, в которой возможна реализация одноконтурной, комбинированной или каскадной АСР при соответствующем задании коэффициентов усиления отдельных каналов объекта и настроек регуляторов (рис. 6.1). Здесь предусматривается возможность введения внешних сигналов по одному из трех каналов (  - по каналу управления; z - по каналу возмущения и  - по заданию регулятору).

Основной канал управления и канал возмущения описывается двухемкостным звеном с запаздыванием, вспомогательный канал управления - одноемкостным звеном с запаздыванием. Компенсатор выбран в виде интегродифференцирующего звена, которое является наиболее общим по сравнению с другими реальными компенсаторами; регуляторы имеют ПИД и ПИ законы.

Система разностных уравнений, описывающих АСР, выводится из системы дифференциальных уравнений звеньев, в которых производные заменяются конечными разностями:

а интеграл вычисляется по методу прямоугольников. Так, для апериодического звена 1-ого порядка получаем:

откуда                                        

 

где

Для звена запаздывания получаем уравнение

где

Общая система разностных уравнений, соответствующая структурной схеме АСР (рис. 6.1), имеет вид:

Задания для индивидуальной работы

Задание 1. На примере одноконтурной замкнутой АСР провести сравнительный анализ особенностей применения различных интегральных критериев качества для оптимизации настроек регуляторов.

Порядок выполнения.

1. Подобрать в диалоговом режиме оптимальные настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие безусловный минимум интегрального квадратичного критерия качества

Определить для оптимального процесса регулирования степень затухания  время переходного процесса  и динамическую ошибку .

2. Повторить оптимизацию настроек (п. 1) для модульного критерия  приняв за начальное приближение настроек регулятора их значения, найденные в результате оптимизации в п. 1.

3. Повторить оптимизацию настроек (п. 2) для "взвешенного" модульного критерия  приняв за начальное приближение настроек их значения, найденные в 2.

Провести сравнительный анализ показателей качества ( , ) трех оптимальных процессов регулирования (п. 1, 2, 3) и ответить на вопросы:

1. Для какого из процессов регулирования каждый показатель качества принимает минимальное и для какого - максимальное значения?

2. Какой из рассмотренных критериев (F ₁, F ₂ или F ₃) при их использовании для безусловной оптимизации процесса регулирования гарантирует его устойчивость?

3. Для какого из критериев (F ₁, F ₂ или F ₃) при безусловной оптимизации требуется контролировать ограничение на степень затухания процесса (т. е. на запас устойчивости системы)?

Задание 2. Проверить эффективность каскадных АСР (по сравнению с одноконтурными) при различных динамических характеристиках основного и вспомогательного каналов регулирования, различных законах регулирования и различных возмущениях.

2.1. Влияние соотношений  (или  или ) на эффективность каскадных АСР ().

Порядок выполнения.

1. Найти оптимальные настройки основного регулятора () одноконтурной АСР и вычислить значение интегрального критерия  и динамическую ошибку в оптимальном процессе.

2. Установить запаздывание в вспомогательном канале  (). Подобрать оптимальные настройки регуляторов  в каскадной АСР (по минимуму F ₃). Сравнить значения критериев качества для оптимальных процессов в одноконтурной (п. 1) и каскадной (п. 2) АСР и сделать заключение об эффективности каскадной АСР.

3. Изменить запаздывание  и повторить расчеты по п. 2 (см. таблицу β)

β

0,1

0,2

0,5

0,7

1

Сравнив качество пр