Повторные нагружения. Определение расчетной нагрузки при многократном действии.

Если некоторая нагрузка многократно повторяется, то при каждом следующем повторении вероятность того, что нагрузка дважды окажется меньше некоторого е случайного значения  равна , где  – вероятность для нагрузки быть меньше  в каждом случае нагружения. Вероятность же превышения  хотя бы один раз будет .

Для n-кратного повторения интегральная кривая распределения , соответственно, возводится в n-ую степень , а плотность распределения вероятности будет производной от этой степенной функции

                     ,                                     

где  – кривая распределения однократной случайной нагрузки.

Таким образом, для заданного уровня вероятности непревышения определенной величины q1, являющейся квантилем при однократном приложении нагрузки, квантиль qn будет увеличиваться путем переноса точки интегральной кривой распределения однократной нагрузки вправо на величину . Здесь  – характеристика безопасности (показывает число стандартов s (S), укладывающихся в интервале от S до ).

Принимая интегральную кривую распределения вероятности в виде двойного экспоненциального закона Гумбеля:

                                ,                                  

для n-кратного повторения интегральная кривая распределения может быть получена в виде:

.  

При этом очевидно, что стандарт не изменяется и для сохранения той же обеспеченности вероятности следует расчетное значение нагрузки увеличить на .

Из решения расчетное значение нагрузки при однократном ее действии, обеспечивающее заданную , будет:

и является квантилью двойного экспоненциального закона распределения Гумбеля.

Для n-кратного повторения нагрузки ее расчетное значение будет:

    qn .                            

Определение ресурса статически определимой системы при заданных параметрах случайных величин (КР)

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

 

1. Основанием для выполнения КР служит индивидуальная карточка-задание, выдаваемая преподавателем. Индивидуальная карточка наклеивается на титульный лист расчетно-пояснительной записки.

2. Курсовая работа выполняется в виде расчетно-пояснительной записки на листах чертежной бумаги (формат 210х297 мм), соединенных в брошюру-альбом. Оформление КР (текст, чертежи) проводится с соблюдением требований ЕСКД (Единой системы конструкторской документации, ГОСТ 2.105-68) и стандарта предприятия «Дипломные и курсовые проекты. Требования к оформлению пояснительной записки и чертежей», КИСИ, 1990.

3. Сроки выполнения КР устанавливаются учебными планами в соответствии с утвержденными рабочими программами. Текущий контроль выполнения задач и консультации по ним ведутся преподавателями кафедры.

4. Прием КР ведется индивидуально с проверкой разделов теоретических знаний и выдачей тестовых задач.

5. Компьютеры и программное обеспечение используются для самоконтроля, приобретения навыков исследовательской работы, более глубокого понимания изучаемых методов; необходимость их использования определяется преподавателем.

 

Рассматриваемые вопросы или этапы выполнения работы:

1. Расчет ресурса отдельного элемента сооружения.

2. Распределение прочности статически определимой системы.

3. Вычисления ресурса и коэффициентов запаса.

 

Работа выполняется как продолжение РГР по теме: «Расчет статически определимых систем на случайные постоянную и подвижную нагрузки». Для справки приводим перечень параметров случайных величин, порядок и пример их получения в соответствии с методическими указаниями [7] (см. Приложение 1).

Порядок выполнения РГР «Расчет статически определимых систем на случайные постоянную и подвижную нагрузки»

1. Провести кинематический анализ и построить поэтажную схему заданной системы.

2. Построить линии влияния (Л.В.) внутренних усилий M, Q в заданном сечении к (соответствует К в Приложении 1).

3. Используя нормальный закон распределения, смоделировать случайные величины в Excel-таблицах для всех заданных нагрузок (постоянных и временных) в заданных пределах их изменения.

4. Вычислить характеристики распределения случайных нагрузок и доверительные интервалы обнаружения их М.О. с вероятностью 0.95– 0.99 в Excel-таблицах.

5.  Определить расчетные сочетания нагрузок.

6. Для невыгоднейших сочетаний постоянной и временных нагрузок определить диапазоны изменения внутренних усилий M, Q в заданном сечении    по Л.В..

7. Используя нормальный закон распределения, смоделировать случайные величины в Excel-таблицах для M, Q в полученных пределах их изменения.

8. Вычислить характеристики распределения случайных M, Q и доверительные интервалы обнаружения их М.О. с вероятностью 0.95– 0.99 в Excel-таблицах.

9. Подобрать параметры сечения по найденным значениям М.О. M, Q.

10. Для заданных диапазонов пределов прочности бетона, стали и глубины закладки арматуры определить вероятностные характеристики распределения предельных M, Q с вероятностью 0.95–0.99 в Excel-таблицах.

11. Определить характеристики резерва и коэффициенты запаса прочности.

 

Результаты расчета от действия случайных подвижных и постоянных нагрузок используются как исходные данные для расчета на повторные статические случайные нагрузки с полученными статистическими параметрами.

Резерв прочности в сечении k:  (k соответствует К в Приложении 1) по моменту   19964 - 17669,73 = 2294кНм и по поперечной силе  = 3412 - 2236,947 =1175кН. (См. Приложение 1 п.11)

 

Дальнейшие расчеты ресурса проводятся как определение числа повторных нагружений до исчерпания полученного резерва прочности с заданной надёжностью неразрушения статически определимой системы. В работах  [8] и [9] на основе положений [3] приводятся алгоритмы решения этой задачи.

Дальнейшие расчеты проводятся в следующем порядке:

12. Для невыгоднейшего сочетания постоянной и временных нагрузок в условиях повторных нагружений определить зависимость и построить график изменения характеристики безопасности β(N) от числа повторений при сохранении доверительной вероятности 0.99 обнаружения максимальных M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)).

При однократном приложении случайных нагрузок доверительный интервал при доверительной вероятности 0.99 обнаружения максимальных M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)) получается при нормальном распределении с помощью таблиц функции Лапласа (Приложение 2) как значение β(1) = х аргумента Ф(х) = 0.99 – 0.5 = 0.49 и равно 2.33.

При повторных приложениях этих же нагрузок для сохранения доверительной вероятности 0.99 доверительный интервал увеличивается и значение β(N) должно определяться при вероятности                  

              Р = .

Полагая Ф(β) = Р – 0.5 = 0.5 – 0.01/N, по таблицам функции Лапласа (Приложение 2) получаем β(N) для N = 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. 

 

N	1	10	100	1000	10000	100000
	0.49	0.499	0.4999	0.49999	0.499999	0.4999999
	2.33	3.15	3.77	4.15	5.00	5.00

 

Значения для произвольных значений можно получить и в Excel-таблицах [11] .

Характеристика безопасности для данного числа повторений
N	1	10	100	1000	10000	100000
Ф(β)	0,49	0,499	0,4999	0,5	0,5	0,5
β(N)	2,326	3,09	3,719	4,265	4,753	5,199
lq(N)	0	1	2	3	4	5

Представим в виде графика  (Рис. 1).

Рис. 1. Характеристика безопасности для данного числа повторений

 

13. Определить M(N) и Q(N) в сечении к и построить их графики при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5.

(N) = , (N) =  , здесь n – число случайных величин при моделировании их в заданных интервалах.

Стандарты   σ M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)) при моделировании их в заданных интервалах. Результаты можно получить в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис.2 и Рис.3).

Расчетные М и Q для данного числа повторений нагрузки
N	1	10	100	1000	10000	100000
Qkmax(N)	2424,6	2486,2	2537	2581	2620,4	2656,4
Mkmax(N)	19460	20047	20531	20952	21327	21670

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
Mkmax(N)	19460	20047	20531	20952	21327	21670

Рис. 2. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
Qkmax(N)	2424,6	2486,2	2537	2581	2620,4	2656,4

 

Рис. 3. График

 

14. Определить и построить графики изменения коэффициента перегрузки (N) для M и Q в сечении к при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5.

          (N) = 1+ , .

Коэффициенты перегрузки
N	1	10	100	1000	10000	100000
kпMk(N)	1,5548	1,737	1,887	2,0173	2,1337	2,2401
kпQk(N)	1,4595	1,6104	1,7346	1,8425	1,9389	2,027

 

Коэффициенты вариации (изменчивости) V  с.в. (Mk) и (Qk) (по результатам пункта 8):

= =  4214,545/17669,73 = 0,2385

и, аналогично,

=  = 441,8624/2236,947 = 0,1975,   

где     – стандарт, а   – М.О. Mk и Qk. 

Результаты можно получить и в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис. 4 и  Рис. 5).

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
kпMk(N)	1,5548	1,737	1,887	2,0173	2,1337	2,2401

 

Рис. 4. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
kпQk(N)	1,4595	1,6104	1,7346	1,8425	1,9389	2,027

 

Рис. 5. График

 

15. Определить и построить графики резерва прочности  при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5 при несущей способности  = 19964кНм и = 3412 кН, полученной в пункте 11 в Excel-таблицах (стр. 11–13 ).

  19964 - ,

 = 3412 - .

Резервы прочности по Q и М
N	1	10	100	1000	10000	100000
SMk(N)	505,27	-82,61	-566,6	-986,7	-1362	-1705
SQk(N)	987,41	925,77	875,03	830,98	791,62	755,64

 

Результаты можно получить и в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис. 6 и Рис. 7).

lg(N)	0	1	2	3	4	5
SMk(N)	505,27	-82,61	-566,6	-986,7	-1362	-1705

 

Рис. 6. График

 

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

 

Рис. 7. График

 

16. Вычислить значения коэффициента запаса прочности для M и Q в сечении к:  при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5, принимая   постоянным, полученным в пункте 11, и построить графики  для M и Q в сечении к.

Коэффициенты запаса по Q и М
N	1	10	100	1000	10000	100000
k-Mk(N)	1,5561	1,7383	1,8883	2,0185	2,1349	2,2413
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

Результаты можно получить в Excel-таблицах и представить в виде графиков   и  (Рис. 8 и Рис. 9).

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Mk(N)	1,5561	1,7383	1,8883	2,0185	2,1349	2,2413

Рис. 8. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

 

Рис. 9. График

17. Считая рассчитываемую систему равнопрочной, определить зависимость и построить график изменения характеристики безопасности β(ns) от числа равнонагруженных элементов по M и Q в опасных сечениях при сохранении доверительной вероятности 0.99 обнаружения предельной несущей способности по M и Q (по результатам пунктов 9, 10 и таблицах 8,9,10 в Excel-таблицах (стр. 11–13 )).  Доверительный интервал увеличивается и значение β(ns) должно определяться при вероятности                  

              Р = .

Полагая Ф(β) = Р – 0.5 = 0.5 – 0.01/ns, по таблицам функции Лапласа (Приложение 2) получаем β(ns) для ns = 1, 5, 10, 15, 20, 25.

 

Характеристика безопасности для данного числа опасных сечений:
Ns	1	5	10	15	20	25
Ф(β)	0,49	0,498	0,499	0,4993	0,4995	0,4996
β(ns)	2,326	2,878	3,09	3,209	3,291	3,353

 

Значения β(ns) для произвольных значений можно получить в Excel-таблицах  

 

β(ns) для ns = 1,  5, 10,  15, 20,  n. 

ns	1	5	10	15	20	25
	0.49	0.498	0.499	0.4993	0.4995	0.4996
	2.33	2.88	3.18	3.2	3.27	3.33

и представить в виде графика β(ns) (Рис. 10).

 

Рис. 10. График β(ns)

 

18.  Определить и построить графики изменения предельной несущей способности по M(ns) и Q(ns) зависимости от числа опасных сечений по рассчитываемой схеме.

При несущей способности  = 19964кНм и = 3412 кН, полученной в пункте 11 в Excel-таблицах (стр. 11–13 ).

 

Предельная несущая способности по M(ns) и Q(ns) в зависимости от числа опасных сечений M(ns) = , Q(ns) =  , здесь n – число случайных величин при моделировании их в заданных интервалах.
ns	1	5	10	15	20	25
M(ns)	18175	17750	17587	17496	17432	17385
Q(ns)	3224,4	3179,8	3162,7	3153,1	3146,5	3141,5

 

Представим их в виде графиков M(ns) и Q(ns) (Рис. 11,12).

 

 

Рис. 11. Предельная несущая способности по M(ns)

Рис. 12. Предельная несущая способности по Q(ns)

19. Построить графики (рис.13,14) изменения коэффициента однородности (ns) = , и (ns) = , считая вариативности и  =   (изменчивости, полученные в пункте 11) независимыми от числа сечений.
ns	1	5	10	15	20	25
k о M	0,9754	0,9696	0,9674	0,9661	0,9652	0,9646
k о Q	0,772	0,7179	0,6971	0,6854	0,6774	0,6713

 

Рис. 13. Коэффициент однородности (ns)

 

Рис. 14. Коэффициент однородности   (ns)

 

 

20. Построить номограммы резерва прочности для значений, полученных в пункте 15 с учетом изменения предельной несущей способности по M(ns) и Q(ns), полученных в пункте 18.

Построение области номограмм резерва прочности						(Рис.15)
lq(N)	0	1	2	3	4	5
SMk(N), ns=1	505,27	-82,61	-566,6	-986,7	-1362	-1705
SMk(N), ns=25	-2075	-2663	-3147	-3567	-3942	-4285
SQk(N), ns=1	987,41	925,77	875,03	830,98	791,62	755,64
SQk(N), ns=25	716,91	655,28	604,54	560,49	521,12	485,14

 

Сравнивая резерв одного опасного сечения и потерю несущей способности при числе опасных сечений ns=5 по Мк (Рис. 11) (18175- 17750 = 425   505,27= SMk(N=1), ns=1), можно сделать вывод, что при SMk(N=1), ns=5 резерв будет положительным (505,27 – 425 = 80,27). Это означает, что при однократном цикле (N=1) приложении нагрузки (со статистикой n = 30 нормального распределения по Гауссу) с вероятностью 0.99 разрушения не будет, если число опасных сечений не превышает 7.

                              ns = 5 + 80.27/(17750 – 17587)/5  7.

Сравнивая резерв одного опасного сечения SMk(N=1), ns=1 и SMk(N =10), ns=1, можно прогнозировать с вероятностью 0.99 неразрушения

N = 505,27/(505,27 + 82,61)/10  8 повторений циклов приложения нагрузки  (со статистикой n = 30 нормального распределения по Гауссу).

Рис. 15. Области номограмм резерва прочности SMk(N, ns) и SQk(N, ns)

 

21. Построить номограммы коэффициента запаса прочности для значений, полученных в п. 16 с учетом изменения коэффициентов однородности M(ns) = , и Q(ns) = , полученных в пункте 19.

Построение номограмм коэффициентов запаса
lg(N)	0	1	2	3	4	5
k-Mk(N), ns=1	1,5561	1,7383	1,8883	2,0185	2,1349	2,2413
k-Mk(N), ns=25	1,5575	1,7396	1,8896	2,0198	2,1362	2,2426
k-Qk(N), ns=1	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367
k-Qk(N), ns=25	1,7314	1,8651	1,9818	2,0863	2,1813	2,2692

 

 

Рис. 16. Номограммы коэффициента запаса k-Mk(lgN, ns = 1 25)

 

Номограммы  ns = 1 25 практически сливаются из за малой вариативности .

 

Рис. 17. Номограммы коэффициента запаса k-Qk(lgN, ns==1 25)

 

 

22.  Выводы и рекомендации.

Для увеличения ресурса конструкции необходимо увеличение резерва прочности сечения по Мк за счет армирования. Увеличение резерва на 1705 кНм обеспечивает 0.99 вероятности неразрушения до  повторений N.

При полученных значениях коэффициентов перегрузки и однородности для сохранения уровня надежности при прочих равных условиях увеличение коэффициентов запаса прочности сечения по Мк до 2.24 и Qk до 2.27 Qk обеспечивает 0.99 вероятности неразрушения до  повторений N.

 

 

Контрольные вопросы к защите РГР

Расчет статически определимых систем на случайные постоянную и подвижную нагрузки.

 

1. Что такое случайная величина?

2. Как представляется реализация случайной величины?

3. Какими параметрами характеризуются реализации случайной величины?

4. Что такое математическое ожидание?

5. Что такое дисперсия случайной величины?

6. Что показывает кривая распределения плотности вероятности?

7. Квантили вероятности Рх?

8. Что такое надежность как вероятность?

9. Как определяется резерв прочности?

10. Что такое коэффициент однородности?

11. Что такое коэффициент перегрузки?

12. Как влияют сочетания случайных нагрузок и прочностных свойств на коэффициент перегрузки и коэффициент однородности?

13. Метод статистической линеаризации?

14. Корреляционная функция?

15. Что такое стационарная случайная функция?

16. Что такое мера надежности?

17. Что такое коэффициент запаса и нормативный коэффициент запаса?

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1