Синусоидальные напряжения и токи. Мгновенные, амплитудные, действующие и средние значения синусоидальных величин.

Метод контурных токов.

Расчет методом контурных токов, так как он позволяет сократить число уравнений. При расчёте этим методом полагают, что в каждом независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Если в схеме три контура, то систему уравнений для решения методом контурных токов записывают следующим образом:

В данной системе , ,  - суммы сопротивлений первого, второго и третьего контуров соответственно:

Сопротивления смежных ветвей , , , , ,  берут со знаком минус, так как направление контурных токов во всех ветвях встречное (если они по направлению совпадают, то смежное сопротивление берётся со знаком плюс).

 - контурные Э.Д.С. первого, второго и третьего контуров. В них со знаком плюс входят Э.Д.С., направления которых совпадают с направлением обхода контура, минус – Э.Д.С., направленная против направления обхода.

Подставив все получившиеся значения в систему, вычисляем её главный определитель ∆, а также определители ∆₁,∆₂,∆₃, полученные при подстановке на место 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно значений столбца контурных Э.Д.С.

Находим значения контурных токов:

 

А также токи в ветвях, равные алгебраической сумме контурных токов:

, ,

, ,

Для того, чтобы проверить правильность расчетов составляют баланс мощностей по формуле:

 

4.Метод узловых напряжений:

 

По закону Ома: В формуле (±Uab±E)/R, +в числителе ставиться, если направление тока совпадает с направл напряжения, то (+) перед напряжением(разностью потенциалов), а если не совпадает, то (-). С ЭДС то же самое.

= Суть этого метода состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путём решения системы уравнений, составленных на основе первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов, используя закон Ома, определяют токи во всех ветвях, и выясняют их истинное направление.

= Потенциал любой одной точки схемы можно принять равным нулю, так как ток в ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов на концах ветви.

= При этом число неизвестных уменьшается с n до n -1.

5. Метод эквивалентных преобразований.

  При параллельном соединении: R=R1*R2/(R1+R2). При последовательном соединении: R = R1+R2.

6.Метод наложения:

Ещё один метод расчета линейных электрических цепей называется методом наложения. В его основе лежит принцип наложения, который можно сформулировать следующим образом: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из Э.Д.С. схемы в отдельности.

На исходной схеме (рис 2.2а) произвольно выбираем направления токов. Рассчитываем цепь от действия Э.Д.С. Е₁, для чего мысленно закорачиваем (убираем) все остальные Э.Д.С., в нашем случае Э.Д.С. Е₂ (рис 2.2б).

 

После того, как найдем токи от каждого источника энергии: I1=I1`+I1``+…+; I2= I2`+ I2``+…+; I3=I3`+ I3``+ I3```+…+…;

 

7.Метод эквивалентного генератора:

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от структуры и сложности, условно изобразить прямоугольником, который представляет собой так называемый двухполюсник.

 Таким образом, двухполюсник - это обобщённое название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источник Э.Д.С. или тока, то такой двухполюсник называют активным. Если в двухполюснике нет источника Э.Д.С. или тока, то его называют пассивным.

 При решении задачи методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника) необходимо:

1) Мысленно заключить всю схему, содержащую Э.Д.С. и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь аb, в которой требуется найти ток (рис 2.13).

2) Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab (в режиме холостого хода).

Напряжение холостого хода Uо (эквивалентное Э.Д.С. Еэ) для рассматриваемой цепи

 

можно найти так:

Сопротивление R4 в расчёт не вошло, так как при разомкнутой ветви ab ток по нему не протекает.

3)Найти эквивалентное сопротивление. При этом источники Э.Д.С. закорачиваются, а ветви, содержащие источники тока, размыкаются. Двухполюсник становится пассивным.

Для данной схемы

4) Вычислить значение тока. Для данной схемы имеем:

 

Симметричная нагрузка

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны: Z_a = Z_b = Z_c.

а) четырехпроводная звезда

Для простоты в качестве сопротивлений фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления (Z_a = Z_b = Z_c = Z _ф = R _ф). Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов N и n (Y_N = ¥), значит U_nN = 0. При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы А:

.

Аналогично для фаз В и С:

;

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис.4.9).

в) трехпроводная звезда

Z_N = ¥; Y_N = 0;

.

Поэтому, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же самой.

 

Рис.4.9. Векторная диаграмма для симметричной нагрузки
в трех- и четырехпроводной схеме

Несимметричная нагрузка

Пусть R_a ¹ R_b = R_c;

а ) четырехпроводная звезда

;

;

;

;

.

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис.4.10) показано сложение токов.

 

Рис.4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

 

б) трехпроводная звезда

Из-за неравенства проводимостей ветвей , то есть между точками n и N появляется некоторая разность потенциалов, так называемое смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к задаче определения положения точки n на комплексной плоскости относительно N. Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако можно это сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения реальных значений напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям, из точек A, B, C. Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки n внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис.4.11).

Соединив точки n и N отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрич­на или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

Рис.4.11. Определение смещения нулевой точки

 

Метод контурных токов.

Расчет методом контурных токов, так как он позволяет сократить число уравнений. При расчёте этим методом полагают, что в каждом независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Если в схеме три контура, то систему уравнений для решения методом контурных токов записывают следующим образом:

В данной системе , ,  - суммы сопротивлений первого, второго и третьего контуров соответственно:

Сопротивления смежных ветвей , , , , ,  берут со знаком минус, так как направление контурных токов во всех ветвях встречное (если они по направлению совпадают, то смежное сопротивление берётся со знаком плюс).

 - контурные Э.Д.С. первого, второго и третьего контуров. В них со знаком плюс входят Э.Д.С., направления которых совпадают с направлением обхода контура, минус – Э.Д.С., направленная против направления обхода.

Подставив все получившиеся значения в систему, вычисляем её главный определитель ∆, а также определители ∆₁,∆₂,∆₃, полученные при подстановке на место 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно значений столбца контурных Э.Д.С.

Находим значения контурных токов:

 

А также токи в ветвях, равные алгебраической сумме контурных токов:

, ,

, ,

Для того, чтобы проверить правильность расчетов составляют баланс мощностей по формуле:

 

4.Метод узловых напряжений:

 

По закону Ома: В формуле (±Uab±E)/R, +в числителе ставиться, если направление тока совпадает с направл напряжения, то (+) перед напряжением(разностью потенциалов), а если не совпадает, то (-). С ЭДС то же самое.

= Суть этого метода состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путём решения системы уравнений, составленных на основе первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов, используя закон Ома, определяют токи во всех ветвях, и выясняют их истинное направление.

= Потенциал любой одной точки схемы можно принять равным нулю, так как ток в ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов на концах ветви.

= При этом число неизвестных уменьшается с n до n -1.

5. Метод эквивалентных преобразований.

  При параллельном соединении: R=R1*R2/(R1+R2). При последовательном соединении: R = R1+R2.

6.Метод наложения:

Ещё один метод расчета линейных электрических цепей называется методом наложения. В его основе лежит принцип наложения, который можно сформулировать следующим образом: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из Э.Д.С. схемы в отдельности.

На исходной схеме (рис 2.2а) произвольно выбираем направления токов. Рассчитываем цепь от действия Э.Д.С. Е₁, для чего мысленно закорачиваем (убираем) все остальные Э.Д.С., в нашем случае Э.Д.С. Е₂ (рис 2.2б).

 

После того, как найдем токи от каждого источника энергии: I1=I1`+I1``+…+; I2= I2`+ I2``+…+; I3=I3`+ I3``+ I3```+…+…;

 

7.Метод эквивалентного генератора:

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от структуры и сложности, условно изобразить прямоугольником, который представляет собой так называемый двухполюсник.

 Таким образом, двухполюсник - это обобщённое название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источник Э.Д.С. или тока, то такой двухполюсник называют активным. Если в двухполюснике нет источника Э.Д.С. или тока, то его называют пассивным.

 При решении задачи методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника) необходимо:

1) Мысленно заключить всю схему, содержащую Э.Д.С. и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь аb, в которой требуется найти ток (рис 2.13).

2) Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab (в режиме холостого хода).

Напряжение холостого хода Uо (эквивалентное Э.Д.С. Еэ) для рассматриваемой цепи

 

можно найти так:

Сопротивление R4 в расчёт не вошло, так как при разомкнутой ветви ab ток по нему не протекает.

3)Найти эквивалентное сопротивление. При этом источники Э.Д.С. закорачиваются, а ветви, содержащие источники тока, размыкаются. Двухполюсник становится пассивным.

Для данной схемы

4) Вычислить значение тока. Для данной схемы имеем:

 

Синусоидальные напряжения и токи. Мгновенные, амплитудные, действующие и средние значения синусоидальных величин.

Переход от показательной формы к алгебраической: Vm=20e^(j30)=20*cos(30)+j20*sin(30). Ну а просто V-т.е. действующее значение будет: (20/Sqrt(2))*e^(j30).