Системы уравнений и их виды. Классификация переменных, представленных в системах эконометрических уравнений.

Переменные: эндогенные и экзогенные. Эндогенные перем. - взаимозависимые перем., кот.определ. внутри модели. Число эндогенныхперем. (у) равно числу ур-ний системы. Экзог.перем.- перем. (х), кот.определ. вне сист.

В общем случае система эконометрических уравнений с n зависимыми переменными  имеет вид:

Данная система назыв. системой взаимозависимых, одновременных ур-ний, а также структ. формой модели.

Частным случ. явл.система независимых уравнений, в кот. каждая зависимая переменная  является функцией только предопределенных переменных

Еще одним частным сл.явл. система рекурсивных уравнений, когда каждая зависимая переменная  является функцией только предопределенных переменных  и зависимых переменных , определенных в предыдущих уравнениях системы

В системах независимых и рекурсивных уравнений отсутствует взаимное влияние зависимых переменных, предпосылки регрессионного анализа не нарушаются и поэтому для нахождения параметров  и bij, называемых структурными коэффициентами, можно применять обычный МНК.

 

Процедуры оценивания рекурсивных уравнений и систем.

1)матрица значений эндогенных переменныхявляется нижней треугольной матрицей, т.е. βij = 0 при j > 1 и βii = 1;

Систему одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия:

В =

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. σii> 0, σij = 0 при i ≠ j, где i, j = 1, 2,..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок МεtεtT = Σ(ε) диагональна;

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению.

Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью МНК, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

Применение МНК для получения оценок одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений используют двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов. Сущность двухшагового метода - для оценивания параметров структурного уравнения МНК применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

 

 

Порядок реализации ДМНК.

Согласно двухшаговому МНК, численные значения структурных параметров определяются в следующей последовательности (алгоритм применения):

1) Исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму модели и определяются численные значения параметров ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;

2) По полученным уравнениям приведенной формы находятся расчетные значения инструментальных переменных ŷi, соответствующих эндогенным переменным уi для каждого наблюдения;

3) С помощью обычного МНК определяются параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве факторов фактические значения предопределенных переменных и полученные расчетные значения инструментальных переменных ŷi.

Получены несмещенные и состоятельные оценки параметров структурной формы.

Как видно из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и для определения оценок структурных параметров уравнений системы), поэтому и получил название двухшагового.

 

Процедуры идентификации: необходимое и достаточное условия. Варианты идентификации структурных уравнений и систем.

структурные модели можно подразделить на три вида: – идентифицируемые; – неидентифицируемые; – сверхидентифицируемые. Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэф. модели оцениваются через параметры приведенной формы модели, и модель идентифицируема. Модель неидентифицируема, если число приведенныхкоэф. меньше числа структурных коэф., и в результате структурные коэф. не могут быть оценены через коэф. приведенной формы модели. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэф. больше числа структурных коэф.. В этом случае на основе коэф. приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэф.. В этой модели число структурных коэф. меньше числа коэф. приведенной формы. Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила: D + 1 = H – уравнение идентифицируемо; D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо; D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо, где H – число эндогенных переменных в уравнении; D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0 и ранг этой матрицы не менее чис ла эндогенных переменных системы без единицы. Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).