Билет №11 Уравнения изменения отдельно внутренней и отдельно кинетической энергии (вывод уравнений в интегральной и дифференциальной формах).

Внутренняя энергия. Переход массы жидкости из исходного положение О в другое связано с изменением  энергии. Будем считать что в исходном состояние масса М имела запас энергии . Тогда можно ввести велечену

(1.1)

Если известна величина  , то ε может быть определена по формуле (1.1).

Введем величину E – внутренняя энергия, отнесенная к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости E – функция координат и времени:

(1.2)

Из определения (1.2) следует, что запас внутренней энергии в массе dm равен  Внутренняя энергия в конечной массы жидкости в объеме τ

(1.3)

Выражение для внутренней энергии имеет вид , где  - теплоемкость при постоянном объеме. Когда нет процессов диссоциации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии поступательного , вращательного  и колебательного  движения молекул. Для одноатомного газа . Для двухатомного, когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и . При высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул. Внутренняя энергия может быть записана в виде . Зависимость  от T известна. Для многоатомных газов вид функции  и  от T будет зависеть не только от числа атомов, но и от структуры молекул.

Кинетической энергии. Если жидкость движется, то она обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия  массы dm, движущейся со скоростью v, равна . Кинетическая энергия массы заключена в объем τ:

(2.1)

Проверить!!!

 

 

Билет № 21Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее  – уравнение состояния.

Коэффициент вязкости  2.1Коэффициент проводимости 2.1

Так как ρ=const, то  и уравнение неразрывности примет вид

(2.2)

Тензор напряженности в силу (2.2) будет

,

 , (2.3)

,

Рассмотрим уравнение движения . Запишем его проекцию на ось x и подставим вместо  выражение (2.3). Получим

(2.4)

В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид

Аналогично для других уравнений – проекции на оси y и z. (2.5)

Перепишем уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде              (2.6)                                                 

Уравнение (2.6) равносильны одному векторному уравнению

Уравнение энергии.  (1.3)

Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выражение (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входящих в уравнение энергии:

(2.7)

В силу (2.2) divv=0. Через𝜙 обозначена сумма

 (2.8)

Используя закон теплопроводности Фурье и предположение, что κ= const, получим

 (2.9)

Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде

(2.10)

Для несжимаемой жидкости E=cT + constt, где c- теплоемкость, и уравнение энергии примет вид (2.11)

И так, уравнение (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости       

 (2.12)

Функция 𝜙 имеет вид (2.8). Система(2.12) содержит пять уравнений для отыскания пяти функций:

Постановка задач для установившихся течений:

1.Граничные условия на обтекаемом теле. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности S непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю т.еv|s=0, |s=0, |s=0 (3.1)

где ,  – нормальная и касательная составляющая скорости. Если поверхность проницаема то

v|s=U(M), где U(M) – заданная функция.

Условия для температуры

T|s= (M), где (M) – температура точек поверхности тела (3.2)

|s=q(M), где q – поток тепла (3.3)

|s= |s, где ,  коэффициент теплопроводности и температура тела. (3.3’)

Условие (3.3) означает непрерывность потока тела.

2,Условие на бесконечности

v| = p| = T| =

3,Граничные условия на поверхности двух скоростей.

 

 

1. Предмет МЖГ. Газ с точки зрения молекулярных представлений (характерные размеры молекул, атомов, ядер и электронов, их масс, расстояний между молекулами, средней длины свободного пробега молекул). Введение физически бесконечно малого объема в газе (его определение, понятие характерного линейного размера течения, число Кнудсена). Гипотеза сплошности и другие основные постулаты МЖГ.

2. *Индивидуальная и локальная производные от газодинамических параметров по времени. Скорость объемного расширения жидкости (определение, вычисление).

3. Понятие жидкого объема. Вывод формул для вычисления производной по времени от интеграла по жидкому объему.

4. *Закон сохранения массы (допущения, физическая формулировка, вывод уравнения закона в интегральной форме. Уравнение неразрывности (вывод, рассмотрение частных случаев).

5. *Объемные и поверхностные силы в сплошной среде (определение плотности объемных и массовых сил и ее вычисление в случае действия сил тяжести, определение напряжений, вычисление главных векторов объемных и поверхностных сил). Закон изменения количества движения для движущегося жидкого объема (физическая формулировка, интегральная форма записи).

6. *Формула Коши (вывод). Тензор напряжений (запись формулы Коши в терминах понятий линейной алгебры, введение линейного оператора  и его физический смысл, определение тензора напряжений).

7. *Уравнения динамики сплошной среды в напряжениях (вывод).

8. *Орбитальный и внутренний моменты в жидкостях и газах (физический смысл, определение). Вычисление главного момента внешних сил, приложенных к жидкому объему. Закон изменения момента количества движения для жидкого объема (физическая формулировка, уравнение закона в интегральной форме).

9. *Доказательство симметрии тензора напряжений в жидкости (газе) без внутренних моментов.

10. *Внутренняя, кинетическая и полная энергия жидкости и газа (физический смысл, вычисление). Физические причины изменения полной энергии в движущемся жидком объеме и их математическое описание. Закон изменения полной энергии в движущейся жидкости (газе) (физическая формулировка, интегральная форма записи).

11. *Уравнения изменения отдельно внутренней и отдельно кинетической энергии (вывод уравнений в интегральной и дифференциальной формах).

12. *Вектор  и его компоненты в декартовых координатах. Связь  с угловой скоростью вращения жидкой частицы.

13. Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Теорема Гельмгольца (вывод формулы для ).

14. Ск о рость материальной точки N относительно бесконечно близкой точки M в деформационном движении среды (формула для ). Тензор скоростей деформаций (определение, выражения для компонент и их физический смысл, линейный инвариант).

15. -*Модель вязкой ньютоновской жидкости (газа) (определение, свойства, происхождение, физический смысл коэффициентов в выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформаций).

16. -*Выражения для компонент тензора напряжений в вязкой ньютоновской среде (в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости). Тензор вязких напряжений (выражения его диагональных и недиагональных компонент через компоненты тензора скоростей деформаций). Коэффициент динамической вязкости (размерность, зависимость от температуры для газов и жидкостей).

17. -*Модель идеальной жидкости (газа) (определение, выражения для компонент тензора напряжений, уравнения количества движения и энергии).

18. -*Вектор плотности потока тепла (определение, физические причины теплопроводности в жидкостях и газах). Закон Фурье (математическое выражение, размерность коэффициента теплопроводности и его зависимость от температуры для газов и жидкостей).

19. -*Термодинамическая модель среды. Калорическое и термическое уравнения состояния. Совершенный газ. Несжимаемая жидкость.

20. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкого теплопроводного сжимаемого газа (исходные уравнения, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

21. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

22. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике идеальной нетеплопроводной среды (получение из “вязких” уравнений систем для сжимаемого газа и несжимаемой жидкости, искомые функции, граничные условия для установившихся течений).

23. *Интеграл адиабаты (определение адиабатического течения, допущения и вывод уравнения адиабаты в общем случае, свойство баротропности).

24. *Адиабата Пуассона для совершенного газа (вывод из общего уравнения адиабаты). Адиабата для несжимаемой жидкости (вывод).

25. *Интеграл Бернулли (допущения, вывод для общего случая).

26. *Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (получение уравнения, физическая интерпретация слагаемых). Истечение жидкости из сосуда через малое отверстие (задача Торичелли).

27. *Уравнение Бернулли для совершенного газа (получение уравнения из общего интеграла Бернулли, переход к различным формам записи уравнения: через энтальпию, внутреннюю энергию, температуру). Уравнение Бернулли для несжимаемого газа (сравнение со случаем совершенного газа). Определение скорости потока несжимаемого газа с помощью трубки Пито–Прандтля.

28. *Скорость звука (определение, вывод формул для скорости звука). Переход в уравнении Бернулли к скорости звука. Критическая скорость звука (определение, вывод соотношения между  и ). Число Маха  и коэффициент скорости  (определения, вывод соотношения между этими величинами).

29. Формулы изэнтропического течения (вывод формул ,  и ). Оценка влияния сжимаемости газа при расчете давления торможения .

30. Обобщенные одномерные установившиеся движения (определение и основные соотношения). Задача о течении идеального несжимаемого газа в трубе переменного сечения (система уравнений, исходные и искомые параметры, схема решения).

31. Анализ течения совершенного газа в трубе переменного сечения. (исходная система соотношений, вывод уравнения, связывающего изменение скорости с изменением площади поперечного сечения трубы, и соотношений между дифференциалами газодинамических параметров, рассмотрение типичных ситуаций).

32. Течение газа в сопле Лаваля: расчетный и нерасчетный режимы. Функция приведенного расхода (вывод зависимости , ее график, определение геометрического числа Маха сверхзвукового сопла).