Расчет предельного состояния грунтового массива

Определение предельных состояний грунтов может осуществляться графически, путем построения круга напряжений Мора.

 

Рисунок 1 – Круг Мора

 

На оси  прямоугольных координат  и  откладываются отрезки OA и OB, изображающие величины главных напряжений  и . На отрезке АВ, равном разности  и , как на диаметре, строится окружность. Для нахождения нормального и касательного напряжений  и , действующих по площадке, нормаль к которой составляет с большим главным напряжением  угол , нужно построить при центре С центральный угол 2  (или  при точке В), откладывая его положительные значения против часовой стрелки. Точка D, лежащая на окружности, соответствует данной площадки, а ее координаты – нормальному и касательному напряжениям  и .

Угол отклонения δ выражается на чертеже углом, образуемым секущей OD с осью . При наличии сцепления к главным напряжением прибавляется давление связностью , что равносильно переносу начала координат на точки О в точку О’. Напряжения по площадкам скольжения  и  соответствует координатам точек D ₁ и D ’₁, являющихся точками касания прямых О’ D ₁ и О’ D ’₁, проведенных под углом  к оси .

Углы  и  определяют направления площадок скольжения по отношению к направлениям приведенных главных напряжений  и . Возникновение двух симметричных площадок скольжения выражается возможностью проведения из точки О’ двух симметричных прямых под углом .

Приведенные напряжения по площадкам скольжения равны между собой, действительные напряжения по этим площадкам также равня между собой. При этом приведенные напряжения, действующие по площадкам скольжения, оказываются сопряженными, т.е. направления одного из них параллельно площадке, по которой действует другое, и наоборот.

По всем остальным площадкам, проходящим через данную точку грунта и изображаемым другими точками окружности, например, точки D, напряженное состояние будет непредельным. Для нахождения направления двух плоскостей скольжения, проходящих через концы данной плоскости, испытывающей заданное давление, более удобны характеристические грунты С.С. Голушкевича. Эти круги строятся на прямоугольном треугольнике АВС, один из острых углов которого равен углу внутреннего трения  грунта.

Вершина С другого острого угла, равного , принимается в качестве центра трех концентрических окружностей: круга полюсов, радиусом которого служит гипотенуза ВС треугольника; круга площадок, радиусом которого является отрезок CD гипотенузы, отсекаемый на нее из вершины прямого угла. Продолжив линию AD до пересечения с окружностью круга вершин в точке Е, получим его хорду АЕ, которая будет касательной к окружности круга площадок и разделит круг вершин на две неравные части. Взяв на большей из этих двух частей окружности точку M и соединив ее с точками А и Е, получим угол АМЕ, равный половине угла АСЕ, т.е. . Для точки М’, лежащей на меньшей по длине окружности круга вершин, угол АМ’Е будет равен . Поэтому прямые МА и МЕ (или соответственно прямые М’А и М’Е) дают направления одной пары плоскостей скольжения из бесчисленного множества таких плоскостей, проходящих через концы плоскости, совпадающей по направлению с хордой АЕ. Очевидно, что исходный треугольник АВС, определяющий соотношение между радиусами кругом, может быть построен в любом масштабе и ориентирован совершенно произвольно, а равный ему треугольник ВСЕ, построенный лишь для доказательства теоремы, при решении конкретной задачи не нужен.

Пример. Требуется определить направление плоскостей скольжения, проходящих в грунте через концы плоскости KL, на которую действует давление р, составляющее с этой плоскостью угол  (рисунок 3, а). Угол внутреннего трения грунта .

Решение. Построив систему кругов С.С. Голушкевича, отвечающую заданному углу  (рисунок 3, б), проводим хорду kl круга вершин, касательную в точке n к кругу площадок и параллельную плоскости KL. От точки С через точку n проводится прямая до пересечения в точке Е с окружностью круга полюсов. Через точку Е проводится прямая, параллельная направлению давления р, пересекающая круг вершин в точках M ’ и M. Прямые kM и lM определяют направление одной пары плоскостей скольжения, а прямые kM ’ и lM ’ – другой пары. Таким образом, задача имеет два решения.

Рисунок 3

 

Сила должна быть разложена на составляющие, действующие на каждой из плоскостей скольжения. При этом сила, действующая по одной плоскости скольжения, оказывается параллельной другой плоскости. Такие силы называются сопряженными. Разложение силы Р на две направления сделано в двух возможных вариантов на рисунке 3, в, а их действие на площадки в сыпучем теле показано на рисунке 3, а и г.

Давление грунта

Интенсивности горизонтального давления p γ и pq на глубине y (рисунок4) вычисляют по формуле:

 

,

 

где γ _f – коэффициент надежности по нагрузке, принимаемый по ([12], табл. 3); γ _I – расчетное значение удельноговеса грунта засыпки, принимаемое по заданию; h – расстояние от поверхности засыпки до подошвы фундамента стенки; λ – коэффициент горизонтального давления грунта; C_I – расчетное значение удельного сцепления грунта засыпки на уровне h, принимаемое по заданию; k ₁ – коэффициент, учитывающий сцепление грунта по плоскости скольжения призмы обрушения, наклоненной под углом θ₀ к вертикали; k ₂ – то же, по плоскости, наклоненной под углом ε к вертикали

 

;

 

,

 

где ε – угол наклона расчетной плоскости к вертикали; ρ – угол наклона поверхности засыпки к горизонту; θ₀ –угол наклона плоскости скольжения к вертикали.

При отсутствии сцепления грунта по стене k ₂ = 0. Коэффициент горизонтального давления грунта определяют поформуле:

 

,

 

где δ – угол трения грунта на контакте с расчетной плоскостью (для гладкой стены δ = 0, шероховатой – δ = 0,5, ступенчатой – δ = ϕ _I); ϕ _I – расчетное значение угла внутреннего трения грунта засыпки.

 

Угол наклона плоскости скольжения к вертикали θ₀ определяется по формуле:

,

 

где

.

 

При горизонтальной поверхности засыпки (ρ = 0), вертикальной стене (ε = 0) и отсутствии трения и сцепления со стеной (δ = 0, k ₂= 0) коэффициенты λ, k ₁ и угол θ₀ определяют по формулам:

 

;

 

;

 

.

 

а – от собственного веса; б – от сплошной равномерно распределенной нагрузки; в – от фиксированной нагрузки; г – от полосовой нагрузки

 

Рисунок 4 – Схема давления грунта на грань стены

 

При β = 0, δ ≠ 0 значение угла наклона θ₀ определяется из выражения:

 

.

 

Интенсивность горизонтального давления грунта от равномерно распределенной на поверхности призмы обрушения нагрузки q следует определять по формулам:

– при сплошном и фиксированном расположении нагрузки

 

;

 

– при полосовом расположении нагрузки

 

,

 

где b ₀ – ширина полосы (рис. 4, г).

Расстояние от поверхности грунта засыпки до начала эпюры интенсивности давления грунта от нагрузки (рис. 4, в, г) .

Протяженность эпюры интенсивности давления грунта по высоте (рис. 4, в) .При полосовой нагрузке протяженность эпюры давления по высоте (рис. 4, г)

 

,

 

но принимается не более величины .

 

Практическое занятие № 2,3