Определенный интеграл в полярной системе координат.

Пусть задана функция г = г(φ) на множестве углов φ ϵ [α,β]. Разобьем угол φ лучами на n секторов, угол раствора каждого из которых ∆φ_i (i=1,2,3,…..,n). Внутри каждого элементарного сектора выберем угол θ_i и вычислим значение функции r_i=r(θ_i). Теперь каждый элементарный криволинейный сектор заменим круговым радиуса r_i=r(θ_i) и составим выражение вида r²(θ_i) ∆φ_i/2. Суммируя, вычисленные таким образом выражения, и увеличивая число элементарных секторов, приходим к пределу вида:

                           

Который называется определенным интегралом в полярной системе координат. Этот предел принято обозначать

y

x

Рис.3

y

x

A

M

o

r

φ

                                             I =

который геометрически выражает площадь криволинейного сектора.

 

§13 Геометрические приложения определенного интеграла.

 

Выше было показано, что с помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными уравнениями в декартовой и полярной системах координат. Если уравнения кривых заданы в параметрическом виде

, то определенный интеграл принимает вид: I =

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченную кривой         

Решение. Так как аргумент и функция периодические с периодом 2π, то параметр меняется от 0 до 2π. Поэтому площадь фигуры

          S =

Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми r = a(1+cos2φ); r = a, вне круга.

Решение. Найдем точки пресечения кривых, решая уравнения кривых совместно:       a(1 + Cos2φ) = a, cos2φ = 0, 2φ = πk + π/2, φ = πk/2 + π/4. При k = 0 φ = π/4, k = -1 φ = -π/4.

Учитывая симметрию кривых относительно полярной оси, получим

S =   

S =

§14 Вычисление объёма тел вращения и длины плоской кривой.

 

Пусть непрерывная функция y = f(x) задана на отрезке [a;b]. Вращая криволинейную трапецию вокруг оси Ox, получим тело вращения, ограниченное с боков плоскостями x = a и x = b и поверхностью, полученную вращением графика функции. Объем такого тела вычисляется по формуле:

 

                              V =                                   (27)

Если задана непрерывная функция x = φ(y) на отрезке [c;d] и получено тело вращения вокруг оси Oy способом, описанным выше, то объём тела вращения получим по формуле:                      

                              V =                                   (28)

Пусть непрерывная функция y = f(x) задана на отрезке [a;b] оси Ox и пусть график функции ограничен точками A и B. Длина кривой y = f(x) может быть вычислена по формуле:                 

          (29)

Формулы (27) и (29) предлагается вывести студентам самостоятельно, используя схему вывода определенного интеграла, учитывая следующие указания:

1. Отрезок [ a; b ] разбить на n элементарных участков ∆ x_i;

2. Выводя формулу (27) через границы элементов разбиения провести плоскости перпендикулярные оси Ox и полученные диски заменить цилиндрическими.

3. Выводя формулу (29) через границы элементов разбиения провести прямые параллельные оси Oy до пересечения с кривой AB и полученные кривые на отрезках ∆ x_i заменить хордами ∆ s_i.

 

Примеры.

1. Найти объём тела вращения кривой, заданной функцией y = x³ на отрезке [1;2], вокруг оси Oy.

Решение. Найдем ординаты концов отрезка оси Oy, на который проектируется кривая: y(1) = 1; y(2) = 2³ = 8. Выразим x через y  и применим формулу (28):

V =

2. Найти объём тела вращения кривой, заданной функцией  вокруг оси Ox.

Решение. функция является ограниченной по переменным. Найдем значения параметров, при которых кривая пересекает ось абсцисс: y = 0. Для этого решим уравнение Sint = 0 и получим t=0, t = π, которые будут являться пределами интегрирования, причем π будет нижним пределом. Так как функция задана в параметрическом виде, то в интеграле (27) подынтегральное выражение представим через параметр t, используя выражение функции и вычисляя дифференциал аргумента dx=bCostdt

В результате получим:

Таким образом, интегрируя, получим объём V =4πab²/3. Если a=b=r, то получим известную из школьного курса формулу V =4πr³/3– объем шара.

3. Найти длину кривой y = lnx на отрезке [1;4].

 Решение. Для использования формулы (29) найдем производную функции =lnx: y’=1/x. Теперь

4. Вычислить длину кардиоиды, заданной уравнением r = a(1 - cos φ).

Решение. Длина кривой, заданной в полярной системе координат, вычисляется по формуле                                                                                           (30)

Заданная функция является четной и определена на множестве φ ϵ [o;2π]. Учитывая четность функции, интегрирование будем производить на множестве [0;π]. После вычисления производной функции и подстановке функции и ее производной, получим

 

§15 Несобственные интегралы.

 

Рассматривая определенный интеграл, мы полагали множество, на котором определена непрерывная  функция, конечным, т.е. интеграл имеет конечные пределы.

Однако, нередко возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла и на случаи, когда интервал интегрирования бесконечный (один или два предела бесконечны) или когда подынтегральная функция в пределах интервала интегрирования терпит разрыв.

Определение. Интегралы, пределы интегрирования которых не существуют или подынтегральная функция терпит разрыв на множестве точек интегрирования, называются несобственными.

Назовем несобственные интегралы с бесконечными пределами интегралами второго рода, а интегралы с разрывными функциями – первого рода.

Для того чтобы можно применить теорию интегрирования определенного интеграла к вычислению несобственных интегралов необходимо заменить бесконечный предел конечным и исключить точку разрыва, разбив интеграл на сумму двух интегралов.

Определение. Интеграл 2 рода  называется сходящимся, если существует предел , причем значение предела считается значением предела. Если предел не существует, то интеграл – расходящийся.

Заметим, что на несобственные сходящиеся интегралы распространяются все свойства определенного интеграла.

 Пример.

Несобственный интеграл сходится и его значение равно π. Геометрически это можно трактовать как значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью Ox на бесконечном интервале.

Пусть теперь на отрезке [a;b] в точке x=c функция y=f(x) терпит разрыв.

Определение. Интеграл 1 рода  называется сходящимся, если существует предел , причем значение предела считается значением предела. Если предел не существует, то интеграл – расходящийся.

Пример.

Несобственный интеграл сходится, так как предел существует.

Замечание. Во многих случаях требуется установить лишь сходимость несобственных интегралов, не отыскивая их значений. В этом случае используют признаки сравнения, которые здесь не приводятся.

Лекция 8