Угроза расширительного понимания синергетики

Синергетика

Ю.А. Данилов

Предыстория

На стыке XIX и XX веков научное сообщество пребывало в радужном настроении — и не без основания: казалось, ещё несколько штрихов, и картина мира будет построена. Классическая наука к концу XIX века по праву могла гордиться своими достижениями. Со времён Ньютона мир, который древние разделяли на подлунную и надлунную сферы, стал единым, в нём действовали единые познаваемые (и, как полагали представители естественнонаучных и философских кругов, в значительной мере познанные) законы.

Подведение итогов превратилось в гордую демонстрацию блестящих достижений классического естествознания и точных наук и стало удобным поводом для определения перспектив. Так, на II Международном конгрессе математиков в августе 1900 года в Париже Давид Гильберт в своём докладе сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала решить математике XX века. Как показали последующие события, Гильберт не ошибся в определении «точек роста» математики: решение каждой из 23 проблем Гильберта становилось заметным шагом в развитии математической науки и было заметным продвижением. Не менее проницательным оказался и патриарх физики XIX века Уильям Томсон (с 1802 г. лорд Кельвин). В своих «Балтиморских лекциях» он прозорливо указал на два «тёмных облачка» на блистающем небосводе классической физики. Из одного «тёмного облачка» вскоре выросла специальная теория относительности Эйнштейна, из другого — квантовая механика. Но существовало ещё одно «тёмное облачко», укрывшееся от проницательного взгляда лорда Кельвина за горизонтом — нелинейная динамика. В 1884 г. Анри Пуанкаре опубликовал серию работ под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», заложив математические основы ещё одного направления в неклассическом естествознании — нелинейной динамики.

Благостные иллюзии о познанности мира средствами классического естествознания развеялись довольно скоро: в декабре 1900 г. в своём докладе на Берлинском заседании Немецкого физического союза Макс Планк выдвинул дерзкую гипотезу квантов, согласно которой электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться не сколь угодно малыми, а конечными порциями — квантами, величина которых пропорциональна частоте излучения. Гипотеза квантов позволила Планку решить давно стоявшую в физике острую проблему получения единой кривой распространения энергии в спектре излучения чёрного тела. (Об остроте проблемы можно судить хотя бы потому, что она получила название «ультрафиолетовой катастрофы».) И хотя у самого Планка квант ещё не был физической сущностью, а гипотеза квантов носила характер чисто математического приёма, позволившего проинтерполировать две известные ранее ветви кривой распределения энергии в спектре электромагнитного излучения, введение гипотезы квантов позволило Планку устранить ультрафиолетовую катастрофу. Физической сущностью квант стал в 1905 г., когда Эйнштейн понял, что электромагнитное излучение не только поглощается и испускается, но и распространяется квантами. На представлении о физически реальном кванте Эйнштейн построил свою знаменитую теорию фотоэлектрического эффекта, за которую в 1921 г. был удостоен Нобелевской премии по физике. «Полнокровная» квантовая теория была создана в конце 1920-х годов усилиями Зоммерфельда, Гейзенберга, Паули, Шрёдингера, Борна и других исследователей.

Свою неклассическую специальную теорию относительности Эйнштейн опубликовал в 1905 г. в работе «К электродинамике движущихся сред».

Если квантовая теория порывала с неявно содержавшейся в классической физике гипотезой о безграничной делимости энергии, то специальная теория относительности заставила отказаться от ньютоновского абсолютного пространства и абсолютного времени, влила новое содержание в понятие синхронизма событий и слила существовавшие ранее в отрыве одно от другого понятия пространства и времени в единый четырёхмерный континуум «пространство — время».

Третья, скрытая за горизонтом «тучка» в полной мере проявила себя в 1930-е годы, когда насущные потребности развития техники, в частности радиофизики, вынудили физиков перейти от линейного приближения к нелинейным моделям. Первое время казалось, что такой переход не сопряжён со столь коренной ломкой классических представлений, как создание квантовой теории или специальной теории относительности. Область линейных явлений была столь привычна, столь хорошо «обжита», оборудована хорошо разработанным математическим аппаратом, над созданием которого не одно столетие трудились самые блестящие умы, что покидать её без особой надобности физикам очень не хотелось. Высказывались робкие надежды, что нелинейность, возможно, удастся преодолеть с помощью введения в линейные модели (в основном дифференциальные уравнения) небольших добавочных членов. Высказывались также опасения (вызванные трудностью решения малоизвестных тогда нелинейных дифференциальных уравнений), что создать нелинейную теорию, сравнимую по широте охвата явлений и универсальности с линейными теориями, вряд ли удастся, и нелинейные теории сведутся к коллекционированию того или иного набора частных решаемых случаев моделей нелинейных явлений. Много позднее эти опасения были наголову разбиты (вспомним хотя бы «солитонистику», универсальности Фейгенбаума, цепочки Тоды и многие другие нелинейные модели, не уступающие по ширине охвата явлений линейным моделям и к тому же точно решаемые). Первым, кто понял бесперспективность «линейного подхода» к нелинейным явлениям и правильно оценил необходимость изучения нелинейных явлений как таковых, без сведения их к линейному приближению, слегка «подпорченному» малым дополнительным членом, стал академик Леонид Исаакович Мандельштам, сформулировавший программу воспитания (или выработки) у физиков нелинейной интуиции — «нелинейного мышления» — на основе арсенала идей и образов первично нелинейных не сводимых к малым добавочным членам в линейных математических моделях. Л.И. Мандельштам, его коллега академик Николай Дмитриевич Папалекси, ученики и последователи А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин, С.М. Рытов и другие во многом осуществили программу создания «нелинейного мышления». Разработанная ими теория нелинейных колебаний стала предтечей синергетики и позволила понять и проанализировать многие явления различной природы, объяснение и тем более предсказание которых было не по силам линейной теории.

История

В истории культуры термин «синергия» — совместное, согласованное действие нескольких начал — встречалось и раньше. Так, у средневековых теологов можно встретить упоминание о «синергии» — единении или слиянии человека и Бога в молитве. У физиолога Шеррингтона мы встречаем термин «синергия», означающий слаженную работу сгибающих и разгибающих мышц.

Термин «синергетика» как название нового междисциплинарного направления научных исследований был введён Германом Хакеном в курсе лекций, прочитанных им в 1969 г. в университете Штутгарта. Научное сообщество встретило появление синергетики без особого энтузиазма, более того, градом незаслуженных упрёков, необоснованных обвинений. В чём только ни упрекали новое направление научных исследований его противники и (не всегда добросовестные) критики: они утверждали, будто синергетика — денотат пустого понятия и не имеет ни собственного предмета исследования, ни присущего только ей метода исследования, будто она излишне математизирована и представляет собой одну из разновидностей физикализма, будто синергетика лишена непременного отличительного атрибута науки — прогностической силы, и развивается не интенсивно, а экстенсивно.

Но вот минули три десятилетия, наполненные неустанными трудами проф. Г. Хакена, его сотрудников, учеников, единомышленников и даже, как ни парадоксально, некоторых противников, упорно не желающих признавать синергетику, но обогативших её новыми идеями, понятиями и методами, и со всей очевидностью выяснилось, что все опасения, сомнения и упрёки в адрес синергетики несостоятельны.

Что такое синергетика?

Современная синергетика стала признанными междисциплинарным направлением научных исследований. Она занимается изучением сложных систем, состоящих из многих элементов, частей, компонентов, подсистем, взаимодействующих между собой сложным (нелинейным) образом.

Свой выбор термина «синергетика» проф. Г. Хакен объясняет следующим образом:

«Я выбрал слово «синергетика» потому, что за многими дисциплинами в науке закреплены греческие термины. Я искал такое слово, которое выражало бы совместную деятельность, общую энергию что-то сделать, так как системы самоорганизуются, и поэтому может показаться, что они стремятся порождать новые структуры. Я обратился тогда за советом к моему школьному другу Гансу Кристофу Вольфу, который хорошо разбирался в греческом, и мы с ним обсудили различные понятия. Я преследовал цель привести в движение новую область науки, которая занимается вышеуказанными проблемами. Уже тогда я видел, что существует поразительное сходство между совершенно различными явлениями, например между излучениями лазера и социологическими процессами или эволюцией, и что это должно быть только вершиной айсберга. Правда, в то время я не подозревал, что эта область может оказать влияние на столь многие и отдалённые области исследования, как, например, психология и философия» [1, с. 53].

В отличие от других научных направлений, обычно возникавших на стыке двух наук (например, физической химии, химической физики и даже астроботаники), когда одна наука давала новому направлению предмет, а другая — метод исследования, синергетика опирается, так сказать, на «внутренние точки» наук— на сходство математических моделей, описывающих процессы, происходящие в системах совершенно различной природы; в силу этого синергетика наряду с познанием нового — когнитивной функцией, присущей истинной науке, выполняет, причём весьма естественно, не менее важную коммуникативную функцию, осуществляя «перевод» понятий одной области науки на язык понятий, возможно, весьма далёкой от неё совершенно другой области науки. В этом смысле синергетику, как уже упоминалось выше, с полным основанием можно считать истинной преемницей теории колебаний, которая занимается изучением колебательных процессов в системах различной природы — по словам Л.И. Мандельштама, «говорит на интернациональном языке науки».

Разумеется, изучением сложных систем занимается не только синергетика, но используемые синергетикой идеи и методы делают синергетический подход уникальным, причём не только в концептуальном, но и в операциональном плане. В книге «Принцип работы головного мозга» в разделе 1.2 «Цели синергетики» Герман Хакен так характеризует специфичность синергетического подхода. «Сложные системы состоят из большого числа отдельных частей, элементов или подсистем, нередко сложным образом взаимодействующих между собой. Один классический рецепт, позволяющий «справиться» с такими системами, принадлежит Декарту. Он предложил разлагать сложную систему на всё более мелкие детали до тех пор, пока не будет достигнут уровень, на котором эти детали, или части, станут понятными. Нетрудно видеть, что такого подхода придерживается молекулярная биология. С другой стороны, взаимодействию на макроскопическом уровне присуще наличие качественно новых свойств и особенностей. Не подлежит сомнению, что в нашем понимании взаимосвязей между микроскопическим и макроскопическим уровнями всё ещё остаётся огромный разрыв. Цель синергетики состоит в том, чтобы преодолеть его. Вместе с тем, как будет показано, в большинстве случаев структуры создаются не какой-то организующей рукой, а самими системами, действующими без всякого воздействия извне. В рамках подхода, который можно было бы назвать декартовым, существует ещё одна трудность. Для описания отдельных частей необходимо огромное количество информации, обработать которое никто не в состоянии. Это вынуждает нас создавать адекватные методы сжатия информации. Простым примером того, как достигается такая цель, может служить наше ощущение температуры. Как известно, газ, например воздух, состоит из мириад молекул, движения каждой из которых в отдельности мы не замечаем. Вместо этого мы каким-то образом интегрируем по их движению и ощущаем только некоторую температуру. Аналогично этому в большинстве случаев отдельные слова означают целые классы, категории объектов или сложные действия.

Можно ли развить общую теорию, которая позволит адекватно сжимать информацию совершенно автоматически? Как будет показано в дальнейшем, такое сжатие информации происходит в тех случаях, когда система качественно изменяет своё макроскопическое состояние. В неорганическом мире существует ряд таких резких изменений, называемых фазовыми переходами. Примерами таких переходов могут служить замерзание, когда вода (жидкость) переходит в твёрдое состояние (лёд), возникновение намагниченного состояния или наступление сверхпроводимости. Как мы увидим из дальнейшего, аналогичные качественные изменения, хотя и на гораздо более высоком уровне сложности, в изобилии встречаются в биологии» [2, с. 14–15].

Бич всех направлений, занимающихся изучением сложных систем, состоящих из большого числа взаимодействующих частей, — обилие информации, подлежащей обработке для получения детального описания поведения системы. Чтобы уменьшить объём информации до сколько-нибудь приемлемого объёма, прибегают к так называемому «сжатию информации», которое, как правило, сопровождается её частичной потерей. Например, в кинетической теории газов вместо отслеживания траектории отдельных частиц переходят к усреднённым характеристикам, например, вместо импульса, передаваемого частицами стенке сосуда, предпочитают говорить о давлении, создаваемом газом. Синергетический подход осуществляется путём перехода от многочисленных параметров состояния к гораздо менее многочисленным параметрам порядка в силу так называемого принципа подчинения. Такое сжатие информации обратимо: после решения задачи от параметров порядка обратным преобразованием можно вернуться к исходным параметрам состояния.

Синергетический подход позволяет не только переформулировать в новых терминах известные истины и факты, т.е. по существу объяснить специалистам, работающим в различных областях науки, что они «говорят прозой», но и способствует новому, порой неожиданному пониманию старого материала. Например, проведённый Г. Хакеном и физиологом Келсо анализ моторной деятельности животных и человека выявил ранее неизвестные факты, а проведённый А. Баблоянц и его сотрудниками анализ хаотической электрической активности головного мозга спящего человека позволил совершить неожиданное открытие: выяснилось, что число управляющих параметров столь сложного состояния удивительно мало.

Несмотря на зрелый по человеческим меркам возраст, синергетическое направление всё ещё продолжает формироваться, обогащаясь новыми идеями и методами [3, 4, 5, 6].

Перспективы

Французскому географу Буржелю синергетика помогла в решении проблем урбанистики, греческому специалисту по средствам связи Джону (Иоаннису) Николису — в создании новой концепции передачи информации, социологу А.П. Назаретяну — в разработке модели антропогенных кризисов.

Выше мы уже упоминали о коммуникативной функции синергетики. Синергетика Г. Хакена — это язык, на котором естественно и удобно описывать эволюцию и жизнь систем различной природы, в частности, специфическое явление самоорганизации — спонтанное явление более сложных, чем существовавшие ранее структур, а концептуальный аппарат синергетики позволяет прослеживать все перипетии эволюции сложных систем, наблюдая за ними «сверху вниз», холистически — от целого (системы) к деталям, а не «снизу вверх», от деталей и частностей к целому, как это принято при редукционистском (декартовском) подходе. Обратимое сжатие информации — отличительная черта синергетического подхода — позволяет, минуя детали, описывать и понимать эмержентные свойства и самоорганизацию сложной системы, что особенно важно при изучении столь сложных систем, как человек, его нервная система, в частности головной мозг, способный к самопознанию, и различные — культурные, социальные, экономические и т.д. сообщества, где далеко не все детали известны и понятны.

В интервью с проф. Г. Хакеном по случаю тридцатилетия синергетики [1], ему был задан вопрос: «Ещё в своих книгах 70-х годов Вы указывали на далеко идущие и широкомасштабные возможности применения синергетики, включая применение к пониманию сугубо человеческих социальных процессов. Было ли в ходе развития синергетики что-нибудь неожиданное для Вас? Возможно, обнаружились новые возможности применения, которые Вы первоначально не предполагали?»

Ответ Г. Хакена гласил: «Хотя синергетика возникла в рамках естественных наук, мне всегда представлялось, что её важнейшие приложения будут касаться специфических человеческих и социальных процессов. Причём для меня уже неоднократно возникали сюрпризы в развитии синергетики. Например, интересные эксперименты по исследованию движения пальцев, проведённые Келсо, которые удалось очень хорошо объяснить с помощью понятий синергетики [3]. Ещё одним неожиданным приложением стал синергетический компьютер [3, с. 286–315]. Оба новых понятия синергетики могут применяться в информатике» [1, с. 59].

И далее: «Какие области применения Вы рассматриваете как наиболее перспективные и многообещающие? Какие проблемы остаются ещё открытыми для исследования?»

Проф. Г. Хакен: «Очень важной областью является, на мой взгляд, медицина, где проводятся увлекательные фундаментальные исследования. На первый план для меня выступают исследования головного мозга: мы изучаем МЭГ (магнитоэнцефалограммы) и ЭЭГ (электроэнцефалограммы), применяя методы анализа нового типа, и я очень рад, что эти методы всё более совершенствуются, а также заменяются новыми».

Для дальнейшего исследования существует, несомненно, огромное число проблем, и я бы не взялся перечислить их здесь все. К ним относятся, например, развитие новых компьютеров, которые работают по синергетическим принципам, более скрупулёзное исследование экономических процессов, которые являются в высшей степени сложными и одновременно кооперативными, т.е. синергетическими, и многие другие проблемы» [1, с. 59–60].

Фракталы

Ярким примером хаоса, наделённого тонкой структурой, могут служить самоподобные и самоаффинные объекты, получившие с лёгкой руки Бенуа Мандельброта название фракталы и мультифракталы.

В трёх своих книгах «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (изд-во «Фламмарион», 1975), «Фракталы: форма, случай и размерность» (изд-во «Фримен», 1977), «Фрактальная геометрия природы» (изд-во «Фримен», 1977), Бенуа Мандельброт предложил изумлённому научному миру, по существу, новую неевклидову геометрию — неевклидову не в смысле отказа от аксиомы о параллельности, принятой в традиционной евклидовой геометрии, а замены её другой аксиомой, как это было сделано в геометрии Н.И. Лобачевского и Я. Бойяи, а в смысле отказа от незримо присутствовавшего в «Началах» Евклида требования гладкости; геометрии — в соответствии с определением геометрии как науки об инвариантах группы преобразований, данным в 1872 г. в «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, — фрактальная геометрия занимается изучением объектов, инвариантных относительно самоаффинных и самоподобных преобразований, образующих группы.

Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, изъеденных причудливыми ходами, порами, трещинами и отверстиями, извилистых и т.п. объектов, бывших до этого своего рода математическими критериями. По молчаливому уговору, ранее такие объекты исключались из рассмотрения в пользу более «благообразных» усреднённых, сглаженных отполированных объектов. Между тем именно такие неправильные объекты составляют большинство объектов, встречающихся в природе. Гордые слова Галилея «Философия записана в этой огромнейшей книге Природы, которая всегда открыта перед нами (я говорю о Вселенной), но понять написанное невозможно, пока не изучишь язык и не распознаешь письмена, которыми она написана. А написана она на математическом языке, и письменами её являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры...», из его сочинения «Пробирных дел мастер» ныне надлежит трактовать так: «...треугольники, круги, фракталы и другие геометрические фигуры...»

Сам Бенуа Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не окружности, древесная кора — не гладкая, молния распространяется не по прямой.

В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько нерегулярны и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом — термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, — природа обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно велико». Сверхсложная геометрия фрактальных сред накладывает свой отпечаток на разыгрывающиеся в них процессы. На фракталах по-новому, чем в традиционных сплошных средах, происходит диффузия, протекают химические реакции, происходит рассеяние акустических и электромагнитных волн. Но фракталы с их самоподобной и самоаффинной структурой служат регулярными моделями случайных (хаотических) сред — своего рода аналогом вполне интегрируемых систем классической механики. (Хотя вполне интегрируемые системы являются скорее исключениями, чем правилом, все учебники аналитической динамики заполнены именно вполне интегрируемыми системами: рассмотрение их позволяет развить интуицию, столь необходимую для анализа общих, не вполне интегрируемых систем. Фракталы с их тонкой самоаффинной и самоподобной структурой позволяют развить интуицию, необходимую для работы со случайными средами.)

Самоорганизация и сложность

Г.Г. Малинецкий и А.Б. Потапов предложили дифференцировать понятие «сложность». По их мнению, «термин "сложность" имеет двоякий смысл. С одной стороны, его можно понимать как сложность устройства, т.е. наличие в некоторой системе большого числа элементов и/или нетривиальных связей между ними. А с другой стороны, речь может идти о сложности внешних проявлений системы безотносительно её внутреннего устройства, т.е. в нетривиальном поведении. Хотя эти две "сложности" во многом взаимосвязаны, они не эквивалентны, и мы будем употреблять понятие "сложность" только во втором из упомянутых значений, если не оговорено обратное» [17, с. 287].

На математическом уровне сложность неразрывно связана с нелинейностью описания, поскольку к линейным системам применим принцип суперпозиции, позволяющей независимо рассматривать различные действующие факторы, части системы и т.п., что гарантирует её простоту.

На физическом уровне описание, как правило, возможно лишь в статистических терминах, как то: плотность вероятности, коррекция, ляпуновские показатели, математическое ожидание, дисперсия и т.п. Это происходит в силу характерного для многих нелинейных систем хаотического поведения, ограничивающего возможности детерминированного описания, либо в силу очень большого числа составляющих систему элементов, делающего такое описание практически бесполезным.

На философском уровне наиболее существенным является осознание того обстоятельства, что чем более изощрён и специфичен механизм некоторого явления, тем реже оно должно реализовываться. А поскольку практически всё сколько-нибудь важное или интересное в природе так или иначе связано со сложностью, то лежащие в её основе механизмы должны быть просты и универсальны» [17, с. 287–288].

Мы неоднократно использовали термин «система». Настала пора уточнить его. Существует термодинамическая классификация систем, связанная с детализацией энергетического обмена и обмена веществом между системой и окружающей средой. Согласно этой классификации системы подразделяются на открытые (обменивающиеся энергией и, возможно, веществом с окружающей средой) и закрытые (нет обмена веществом). Последние, в свою очередь, подразделяются на изолированные (нет и обмена энергией), адиабатически изолированные (нет теплообмена, но возможно изменение объёма при совершении работы) и замкнутые (возможен теплообмен при постоянстве объёма).

Как показали эксперименты и весь опыт синергетических исследований, во многих открытых нелинейных системах вдали от равновесия происходит самоорганизация. При этом обычно возникают либо пространственно неоднородные стационарные (т.е. не изменяющиеся со временем) образования, которые И.Р. Пригожин предложил называть диссипативными структурами [18], либо возникают периодические или непериодические колебания, которые по предложению Р.В. Хохлова стали называть автоволновыми процессами [19].

В основе образования диссипативных структур и возникновения автоволновых процессов лежит явление самоорганизации, т.е. выделение из большого, иногда бесконечно большого числа переменных (параметров состояния), описывающих систему, небольшого числа величин (называемых параметрами порядка), к которым по истечении достаточно продолжительного промежутка времени подстраиваются остальные степени свободы системы. Параметры порядка не обязательно должны совпадать с какими-то параметрами состояния. Они могут быть новыми, возникшими в ходе самоорганизации, т.е. эмержентными.

По мнению Г.Г. Малинецкого и А.Б. Потапова [17], в настоящее время на смену эре диссипативных структур и автоволновых процессов в синергетике приходит эра самоорганизованной критичности, поставщиками идей которой становятся нейронаука, теория риска, биология, психология, теоретическая история (Big History) и другие области, связанные с анализом сложных систем.

Тезаурус-2 (продолжение)

Ни Тезаурус-1, ни Тезаурус-2, ни теоретико-множественное объединение любого конечного числа тезаурусов, содержащих конечное число терминов, не может исчерпывающим образом охватить все понятия и термины синергетики. Сознавая это, мы тем не менее представляем в помощь читателю-гуманитарию по необходимости ограниченный набор терминов, понимание которых важно для чтения литературы по синергетике, нелинейной динамике и другим разделам нелинейной науки.

Аттрактор — притягивающее множество в фазовом пространстве.

Бассейн — область притяжения аттрактора — та часть фазового пространства, из которой траектории стремятся к аттрактору.

Гетероклиническая структура — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий двух различных седловых особых точек.

Гомоклиническая структура (гомоклиника) — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий одной и той же седловой точки.

Гомоклинический хаос — сложное (хаотическое) поведение динамической системы, обусловленное спецификой геометрии гомоклинической структуры. Наиболее подробно исследован в работах Л.П. Шильникова и его учеников и сотрудников.

Стрела времени — однонаправленность времени. Термин «стрела времени» предложен в 1928 году Эддингтоном в его книге — «The Nature of the Physical World» («Природа физического мира») — Ann Arbor: University of Michigan Press, 1958. Наиболее глубоко различные аспекты стрелы времени — от физических до философских — исследованы в трудах И.Р. Пригожина и его сотрудников (см, например, [20]).

Бифуркация:

а) потеря устойчивости предыдущим режимом динамической системы и смена его (обычно двумя) новыми первоначально устойчивыми режимами;

б) точка, в которой происходит бифуркация в смысле п. а).

H-теорема Больцмана — теорема, согласно которой при временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия системы возрастает и остаётся неизменной при достижении равновесного состояния. (H от английского heat — тепло.)

Энтропия является мерой неопределённости (хаотичности). По теореме Больцмана при временной эволюции к равновесному состоянию степень хаотичности монотонно возрастает и достигает максимального значения в равновесном состоянии.

S-теорема Ю.Л. Климонтовича — критерий относительности упорядоченности открытых систем. (S от английского слова self-organization — самоорганизация.)

КАМ-теория — предложенная в 1950-х годах А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом и Юргеном Мозером теория, описывающая регулярное и хаотическое поведение динамических систем.

Реакция Белоусова–Жаботинского — колебательная химическая реакция в гомогенной системе, открытая Б.П. Белоусовым в 1951 г.; A.M. Жаботинский выяснил кинетику реакции, построил её математическую модель и уточнил первоначальную гипотезу Б.П. Белоусова. Реакция Белоусова–Жаботинского породила мощную волну исследований гомогенных химических и биохимических исследований, лёгших в основу теории биологических часов.

Система Тьюринга — математическая модель, состоящая из системы двух дифференциальных уравнений, описывающих реакцию между двумя гипотетическими веществами-морфогенами и диффузию продуктов этой реакции. По мысли Алана Тьюринга, такая модель призвана была объяснить периодичность в строении некоторых животных, например кольчатых червей, и растений.

Модель Тьюринга породила множество аналогов, созданных для описания периодических твердотельных структур и химических реакций. Названия таких моделей строились по единому образцу: название географического пункта, где работают создатели модели, плюс окончание слова осциллятор, например, орегонатор (модель, созданная в университете штата Орегон) или брюсселятор (модель, созданная школой И.Р. Пригожина в Международных институтах химии и физики Сольвэ в Брюсселе).

Брюсселятор — частный случай модели Тьюринга — одно дифференциальное уравнение диффузии с кубическим нелинейным членом, описывающим химическую реакцию, происходящую при тройном столкновении молекул реагирующих веществ, — событии гораздо более редком, чем парное столкновение. Выбор кубической нелинейности, аналогичной нелинейности в предложенной Гейзенбергом теории ферромагнетизма, обусловил успешное применение брюсселятора для описания динамики различных физических систем, но создал определённые трудности при подыскании удовлетворяющей модели химической реакции. Такой реакцией оказалась реакция Чепмена — образование молекул озона O3 в верхних слоях атмосферы.

Список литературы

1. Синергетике 30 лет. Интервью с профессором Хакеном. Проведено Е.Н. Князевой // Вопросы философии. 2000. № 3. С. 53–61.

2. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. М.: Per Se, 2001.

3. Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000.

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

5. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах. М.: Мир, 1985.

6. Хакен Г., Хакен-Крелль М. Тайны восприятия. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

7. Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

8. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 339.

9. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44. № 8. С. 339–342.

10. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 303–322.

11. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В сб. «Странные аттракторы» (Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова). М.: Мир, 1981. С. 88–116.

12. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167–192.

13. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

14. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М., 1989.

15. Gell-Mann M. Quark and the Jaguar. Adventures in the Simple and the Complex. London: Abacus, 1995. P. 11.

16. Mainzer K. Thinking in Complexity. The Complex Dynamics of Matter, Mind, and Mankind. Berlin; Springer-Verlag, 1994. P. 13.

17. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

18. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. С. 152.

19. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. С. 166.

20. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Прогресс, 1999.

 

Синергетика

Ю.А. Данилов

Предыстория

На стыке XIX и XX веков научное сообщество пребывало в радужном настроении — и не без основания: казалось, ещё несколько штрихов, и картина мира будет построена. Классическая наука к концу XIX века по праву могла гордиться своими достижениями. Со времён Ньютона мир, который древние разделяли на подлунную и надлунную сферы, стал единым, в нём действовали единые познаваемые (и, как полагали представители естественнонаучных и философских кругов, в значительной мере познанные) законы.

Подведение итогов превратилось в гордую демонстрацию блестящих достижений классического естествознания и точных наук и стало удобным поводом для определения перспектив. Так, на II Международном конгрессе математиков в августе 1900 года в Париже Давид Гильберт в своём докладе сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала решить математике XX века. Как показали последующие события, Гильберт не ошибся в определении «точек роста» математики: решение каждой из 23 проблем Гильберта становилось заметным шагом в развитии математической науки и было заметным продвижением. Не менее проницательным оказался и патриарх физики XIX века Уильям Томсон (с 1802 г. лорд Кельвин). В своих «Балтиморских лекциях» он прозорливо указал на два «тёмных облачка» на блистающем небосводе классической физики. Из одного «тёмного облачка» вскоре выросла специальная теория относительности Эйнштейна, из другого — квантовая механика. Но существовало ещё одно «тёмное облачко», укрывшееся от проницательного взгляда лорда Кельвина за горизонтом — нелинейная динамика. В 1884 г. Анри Пуанкаре опубликовал серию работ под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», заложив математические основы ещё одного направления в неклассическом естествознании — нелинейной динамики.

Благостные иллюзии о познанности мира средствами классического естествознания развеялись довольно скоро: в декабре 1900 г. в своём докладе на Берлинском заседании Немецкого физического союза Макс Планк выдвинул дерзкую гипотезу квантов, согласно которой электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться не сколь угодно малыми, а конечными порциями — квантами, величина которых пропорциональна частоте излучения. Гипотеза квантов позволила Планку решить давно стоявшую в физике острую проблему получения единой кривой распространения энергии в спектре излучения чёрного тела. (Об остроте проблемы можно судить хотя бы потому, что она получила название «ультрафиолетовой катастрофы».) И хотя у самого Планка квант ещё не был физической сущностью, а гипотеза квантов носила характер чисто математического приёма, позволившего проинтерполировать две известные ранее ветви кривой распределения энергии в спектре электромагнитного излучения, введение гипотезы квантов позволило Планку устранить ультрафиолетовую катастрофу. Физической сущностью квант стал в 1905 г., когда Эйнштейн понял, что электромагнитное излучение не только поглощается и испускается, но и распространяется квантами. На представлении о физически реальном кванте Эйнштейн построил свою знаменитую теорию фотоэлектрического эффекта, за которую в 1921 г. был удостоен Нобелевской премии по физике. «Полнокровная» квантовая теория была создана в конце 1920-х годов усилиями Зоммерфельда, Гейзенберга, Паули, Шрёдингера, Борна и других исследователей.

Свою неклассическую специальную теорию относительности Эйнштейн опубликовал в 1905 г. в работе «К электродинамик<