БДЗ Matlab. Большое домашнее задание

Номер 1

>> syms x

>> I=int((x^3+2*x^2+3)/((x-1)*(x-2)*(x-3)),x,0,0.5)

 I =1/2 - log(328256967394537077627/122070312500000000000)

В тетради я оставил ответ в виде:

 

Скрипт нижней суммы Дарбу

function S = SummDarbu( f,a,b,n )

syms x

S=0;

k=(b-a)/n;

for y=a:k:b-k

ymin=fminbnd('x+1',y,y+k);   

g=subs(f,x,ymin);

S=S+g*k;

end

end

 

>> f=(x^3+2*x^2+3)/((x-1)*(x-2)*(x-3));

>> SummDarbu(f,0,0.5,100)

ans = -0.4857

Скрипт верхней суммы Дарбу

function S = vSummDarbu( f,a,b,n )

syms x

S=0;

k=(b-a)/n;

for y=a:k:b-k

ymax=fminbnd('-x+0',y,y+k);   

g=subs(f,x,ymax);

S=S+g*k;

end

end

 

>> vSummDarbu(f,0,0.5,100)

 

ans =-0.4927

 

Скрипт интегральной суммы на левом конце разбиения

function S = leftint( f,a,b,n )

syms x

S=0;

k=(b-a)/n;

for y=a:k:b-k

g=subs(f,x,y);

S=S+g*k;

end

end

 

>> leftint(f,0,0.5,100)

ans = -0.4856

Скрипт интегральной суммы на правом конце разбиения

function S = rightint( f,a,b,n )

syms x

S=0;

k=(b-a)/n;

for y=a+k-k/100000000:k:b

g=subs(f,x,y);

S=S+g*k;

end

end

 

>> rightint(f,0,0.5,100)

 

ans = -0.4928

Скрипт интегральной суммы с заданным отношением

function S = midint( f,a,b,n,g )

syms x

S=0;

k=(b-a)/n;

for y=a+k/g:k:b

g=subs(f,x,y);

S=S+g*k;

end

end

 

>> midint(f,0,0.5,100,2)

 

ans = -0.4892

Номер 2

>>f=sqrt(4-x^2);

 

 

>> S=int(sqrt(4-x^2),x,0,1)

 

S =pi/3 + 3^(1/2)/2

 

 

>> L=int(sqrt(1+(-x/sqrt(4-x^2))^2),x,0,1)

L=pi/3

Объём тела вращения вокруг оси Ох

>> V=pi*int(f^2,x,0,1)

 

V =(11*pi)/3                       

Объём тела вращения вокруг оси Оу

>> V=2*pi*int(x*f,x,0,1)

V=2*pi*( 8/3 - 3^(1/2))            

Номер 3

>> syms x

>> I=int(exp(-x^(1/3)),x,0,inf)

 I =6

При b’ =100

>> I=int(exp(-x^(1/3)),x,0,100)

 I =6 - (3*(10*10^(1/3) + 2*100^(1/3) + 2))/exp(100^(1/3))

При b’=1000
>> I=int(exp(-x^(1/3)),x,0,1000)

 I =6 - 366/exp(10)

Вывод: 1) результаты различны 2) чем больше b’, тем больше и «красивее» число в ответе.

Номер 4

>> I=int(x*(log(x))^2,x,0,1)

 

I =1/4

При b’=1-1/100=0.99
>> I=int(x*(log(x))^2,x,0,0.99)

 I =(9801*log(99/100)^2)/20000 - (9801*log(99/100))/20000 + 9801/40000

При b’=1-1/1000=0.999

I =(998001*log(999/1000)^2)/2000000 - (998001*log(999/1000))/2000000 + 998001/4000000

Вывод: результаты различны.

Номер 5

>> I=int(sin(1/x)/x^2,x,0,2*pi)

 I =NaN

Ответ не существует, так как интеграл расходится, что я показал в тетради.

Номер 6

>> a1=(1./n.^(1/3)).*atan(pi./(4.*n.^(1/2)));

>> b1=(1./n.^(1/2)).*atan(pi./(4.*n.^(1/2)));

>> plot(n,a1,'* red')

>> hold on

>> grid on

>> plot(n,b1,'* green')

 

Как видно по графику, оба ряда сходятся.

 

Номер 7

Ряд               

>> sum=0;

i=1;

while (abs(factorial(i)/factorial(3*i))>0.001)

sum=sum+factorial(i)/factorial(3*i);

i=i+1;

end

sum

sum =0.1694

Номер 8

М-файл для подсчёта суммы ряда

function sum=sum_posled(x,eps)

sum=0;

i=1;

while (abs(subs(x,i))>eps)

 sum=sum+subs(x,i);

 i=i+1;

end

end

 

>> syms n

>> x=((2*n-1)/(3*n+1))^(n/2);

>> sum_posled(x,0.001)

 

ans =2.8648

 

Номер 9

>> syms n

>> f=@(n) 1/((n+1)*log(2*n));

>> fplot(f,[1 100])

>> grid on

 

>> I=int(1/((t+1)*log(2*t)),t,1,101)

Warning: Explicit integral could not be found.

 

I =int(1/(log(2*t)*(t + 1)), t = 1..101)

Интеграл от данной функции не берётся, поэтому я рассматриваю эквивалентную функцию от которой интеграл есть. Функция  ~  

Предел их отношения при n стремящемся к бесконечности равен 1, значит они эквивалентны ( что я расписал в тетради с БДЗ).

>> f=@(t) 1/(t*log(t));

>> grid on

>> hold on

>> y=@(t) 1/((t+1)*log(2*t));

>> fplot(y,[1 100],'+ green')

>> fplot(f,[1 100],'* red')

 

Данный график показывает, что функции практически идентичны, поэтому в дальнейшем я буду брать интеграл от эквивалента

>> I=int(1/(t*log(t)),t,1,inf)

 I =Inf

Интеграл расходится, значит расходится ряд, значит расходится и исходный ряд.

>> I=int(1/(t*log(t)),t,1,100)

 I =Inf

Частичные суммы стремятся к бесконечности, так как ряд расходится.

Номер 10

Ряд

 

Сходится условно, его частичная сумма равна

>> x=1/(cos(pi/(3*sqrt(t)))*(3*t+log(t)^(1/3)));

>> sum_posled(x,0.001)

 

ans =2.5164