Анализ электрической цепи: обозначение ветвей, узлов, дерево графа и выбор независимых контуров

Преобразуем идеализированный источник тока в идеализированный источник электродвижущей силы (ЭДС):

 

Þ

 

 

Отсюда, E ₂ = JR₂ = 0,5 ∙ 12 = 6 (В)

 

Выполним эквивалентное преобразование§ параллельного соединения сопротивлений R ₄ и R ₅

 

 

Þ

 

 

Отсюда, схема электрической цепи выглядит так:

 

 

Рассматриваемая схема содержит:

 

· число узлов (У): 3 узла (a, b, c);

· число ветвей (В) 5 ветвей (a, R ₀, c; a, R ₃ ,E ₃, b; a, R _{4 5} , b; b, R ₁ , E ₁ , c;

a, R ₂, E ₂, c);

· число независимых контуров: N _k= В – (У – l) = 5 – (3 – l) = 3.

 

Определим независимых контуров§. Для этого вынесем узлы схемы и соединим их ветвями так, что бы не образовывалось контуров. Построим дерево графа:

 

 

 

Выберем в качестве ветвей дерева ветви 1 и 4, 5.

Ветви 0, 3 и 2 являются контурообразующими.

Количество независимых контуров – 3.

Расчет параметров цепи методом законов Кирхгофа

 

 

Составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа:

согласно первому закону Кирхгофа для узлов§:

 

a: I ₂ – I _{4 5} – I ₃ + I ₀ = 0;

b: I _4.5 + I ₃ – I ₁ = 0

 

согласно второму закону Кирхгофа для контуро⧧:

 

I: I ₃ R ₃ – I ₄₅ R _4.5 = E ₃

II: – I ₀ R ₀ – I ₁ R ₁ – I ₃ R ₃ = – E ₁ – E ₃

III: I ₄₅ R _4.5 + I ₁ R₁ + I ₂ R ₂ = E ₁ + E ₂

 

Для определения значений токов воспользуемся матричным методом решения системы линейных независимых уравнений: . Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных токах:

 

	I 0	I 1	I 2	I 3	I 4	B
а				–1	–1
b		–1
I				R 3	– R 4.5	E 3
II	– R 0	– R 1		–R 3		– E 1 – E 3
III		R 1	R 2		R 4.5	E 1 + E 2

 

Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:

 

I ₀ = ∆₀/∆ = 1,21 (А);

I ₁ = ∆₁/∆ = 2,51 (А);

I ₂ = ∆₂ /∆= 1,31 (А);

I ₃ = ∆₃/∆ = 1,71 (А);

I ₄₅ = ∆₄₅/∆ = 0,81 (А).

 

Для оценки правильности решения воспользуемся методом баланса мощностей (удобнее сразу проверить правильность полученного решения):

 

∑ Р _ист = E ₃ I ₃ + E ₁ I ₁ + E ₂ I ₂ = 199,619 (Вт)

∑ Р _потр = I ₀² R ₀ + I ₁² R ₁ + I ₂² R ₂ + I ₃² R ₃ + I ₄² R _4.5 = 199,619 (Вт)

 

Сравним суммы мощностей источников и потребления.

Абсолютная погрешность составляет:

 

∑ Р _потр – ∑ Р _ист = 0 (Вт)

Расчет параметров цепи методом контурных токов

Для независимых контуров зададим условно положительные направления контурных токов.

 

Составим систему уравнения для независимых контуров:

 

для контура I: I ₁₁ (R ₃ + R _4.5) – I ₂₂ R ₃ – I ₃₃ R_4.5 = Е ₃

для контура II: I ₂₂ (R ₀ + R ₁ + R ₃) – I ₁₁ R ₃ – I ₃₃ R ₁ = – Е ₁ – Е ₃

для контура III: I ₃₃ (R ₁+ R ₂+ R _4.5) – I ₁₁ R _4.5 – I ₂₂ R ₁ = Е ₁ + Е ₃

 

Запишем матрицу коэффициентов:

 

	I 11	I 22	I 33	Е k
	(R 3+ R 4.5)	– R 3	– R 4.5	Е 3
	– R 3	(R 0+ R 1+ R 3)	– R 1	– Е 1 – Е 3
	– R 4.5	– R 1	(R 1+ R 2+ R 4.5)	Е 1 + Е 2

 

 

Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:

I ₁₁ = 0,50 (А); I ₂₂ = – 1,21 (А); I₃₃ = 1,31 (А).

 

По значениям контурных токов определяются токи ветвей:

 

I ₀ = – I₂₂ = 1,21 (А); I ₁ = I ₃₃ – I ₂₂ = 2,51 (А); I ₂ = I ₃₃ = 1,31 (А);

I ₃ = I ₁₁ – I ₂₂ = 1,71 (А); I ₄₅ = I ₃₃ – I ₁₁ = 0,81 (А).

Расчет параметров цепи методом узловых потенциалов

 

При составлении уравнений согласно методу узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимается равным нулю.

 

Примем φ _a = 0. Запишем уравнения для оставшихся узлов:

 

- для узла b: ;

 

- для узла с: .

 

Запишем матрицу коэффициентов:

 

	jb	jc	I k

 

Решая систему уравнений, относительно искомого тока, находим:

 

φ_a = 0,0 (В);

φ_b = −10,1 (В);

φ_c = 9,67 (В).

 

По вычисленным значениям узловых потенциалов определяются токи ветвей:

 

;

;

;

;

.