Объем, и поэтому у них нет аттракторов.

(c)

y

Икс

Икс

y

y

Икс

а)

(б)

Рисунок 2.7. (а) Периодическое движение в консервативной системе представлено семейством

Замкнутых кривых (они описывают колебания с разной амплитудой и могут быть

Вообще не круглая). Фазовый портрет консервативной линейной системы аналогичен

к (а); в качестве альтернативы в диссипативных линейных осцилляторах только неустойчивые (б) и устойчивые (в)

Возможны колебательные движения.

Стр.59

Автогенераторы: основные характеристики

37

Нелинейность

Нелинейность также важна для поддержания стабильных колебаний предельного цикла.

Устойчивость означает, что периодическое движение существует только с определенной амплитудой. Это не может

Можно получить в классе моделей, описываемых линейными уравнениями: если

Решение х (т) линейной системы является периодическим, то для любого фактора а, · х (т) является периодическим

Решение тоже. Следовательно, линейная система, демонстрирующая периодические колебания, обязательно

консервативный (см. рис. 2.7а). Линейные системы с диссипацией (или источником

энергии) допускают бесконечно растущие или убывающие решения (рис. 2.7b, c), но никогда не предел

Движение цикла.

Возникновение устойчивых колебаний математически описывается как притяжение

Траектория к предельному циклу. Физически это притяжение можно понять в

Следующим образом. Каким бы ни был точный механизм рассеивания и питания,

Энергия некоторого источника, обычно не колеблющегося, преобразуется в колебательную

Движение. Обычно чем больше амплитуда колебаний, тем больше энергии забирается.

Из первоисточника. С другой стороны, количество рассеиваемой энергии также зависит

От амплитуды. 10 Взаимодействие между этими двумя зависимостями определяет

амплитуда стационарных колебаний, как показано на рис. 2.8. Если нет колебаний

(нулевая амплитуда), нет диссипации и энергия не забирается от источника -

Поэтому обе эти функции проходят через начало координат. Пересечение этих двух

Кривые определяют амплитуду A стационарных колебаний, в этой точке энергия

Подаваемый в систему точно компенсирует рассеиваемую энергию. Отметим, что эти

Две кривые могут пересекаться таким образом и одновременно проходить только через начало координат

Если система нелинейная, т. е. описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.

10 Это соображение справедливо для систем, имеющих фазовый портрет, показанный на рис. 2.2, где

Траектория движется по спирали к предельному циклу, так что мы можем говорить о колебаниях с медленным

Различной амплитуды.

Амплитуда

Рассеяние

А

Энергия

Поставлять

Энергия

Рисунок 2.8. Взаимодействие рассеивания и подачи энергии из источника

определяет амплитуду A установившихся колебаний. В показанном здесь примере

Эта амплитуда устойчива: если она увеличивается из-за некоторого возмущения, диссипация

Начинает преобладать над подачей энергии, что приводит к уменьшению амплитуды.

Аналогичным образом, случайное уменьшение амплитуды приводит к превышению подачи питания над

Потеря, и, следовательно, начальная амплитуда A восстанавливается.

Стр. 60

38

Основные понятия

2.3.2

Автономные и принудительные системы: фаза принудительного

система не бесплатна!

Здесь мы еще раз подчеркиваем разницу между автономными и принудительными системами.

И самоподдерживающаяся система, и маятниковые часы (рис. 1.6), и вынужденный маятник

(Рис. 1.12) представлены замкнутыми кривыми в фазовом пространстве, притягивающими траектории

Из их окрестностей. Тем не менее, у них есть существенное отличие: фаза на

Предельный цикл свободный, но фаза на стабильной замкнутой кривой принудительной системы

Однозначно связано с фазой внешней силы. Как мы показываем в

В следующих главах, благодаря этой принципиальной разнице автогенераторы могут быть

Синхронизированы, в то время как принудительные системы нет. Эту разницу можно выявить, если мы

нарушить работу системы, как показано на рис. 2.9. Поэтому в дальнейшем, когда мы говорим

Под «генератором предельного цикла» мы подразумеваем автономную, самодостаточную систему.

В качестве прозрачного примера возьмем еще одну очень распространенную систему, а именно качели.

(Рис. 2.10а). «Алгоритм» того, как его запустить, известен всем: после