Improving power system reliability

V.V. Stepanov, A.S. Andreev

Abstract. The article discusses the requirements for the reliability of power systems, how these requirements are currently met using standard methods and resources, as well as modern methods and technologies that the power sector can use to maintain a high level of reliability of the power system.

Keywords: electric power systems, reliability, renewable energy sources, increase of reliability.

Об авторах:

Степанов Владимир Викторович – магистрант кафедры электро-снабжения и электротехники ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет». Е-mail: [email protected]

Андреев Алексей Сергеевич – магистрант кафедры электро-снабжения и электротехники ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет». Е-mail: [email protected]

STEPANOV Vladimir Viktorovich – magistrant of Department of Еlectricity and Еlectrical Еngineering of Tver State Technical University.              E-mail: [email protected]

ANDREEV Alexey Sergeevich – magistrant of Department of Еlectricity and Еlectrical Еngineering of Tver State Technical University.          E-mail: andreev-nel@yandex

 

УДК 004.94, 519.2

 

Повышение эффективности системы испытаний промышленного оборудования на надежность

 

А.Ю. Русин, Я.В. Барышев

 

Аннотация. В статье представлены экспериментальные исследования точности оценок максимального правдоподобия параметра экспоненциального закона распределения по малым многократно цензурированным справа выборкам. Исследования выполнялись путем моделирования на компьютере отказов оборудования. Построены регрессионные модели, устанавливающие зависимость между отклонением оценки максимального правдоподобия от истинного значения и параметрами, характеризующими структуру выборки. Они позволяют рассчитать и ввести поправки к оценкам максимального правдоподобия.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, испытания оборудования, надежность, цензурированные выборки, метод максимального правдоподобия.

 

Для определения показателей надежности проводят испытания оборудования на надежность или сбор и обработку информации об отказах в процессе его эксплуатации, что требует материальных затрат. В первом случае они зависят от стоимости испытательных стендов, образцов и времени проведения испытаний, во втором случае – в большей степени от времени проведения наблюдений за отказами оборудования. Сокращение времени испытаний и количества испытуемых образцов позволяет снизить затраты на определение показателей надежности, но при этом возникают малые цензурированные выборки наработок на отказ.

Расчет показателей надежности по цензурированным выборкам выполняется методом максимального правдоподобия [1].

Уменьшение времени испытания оборудования на надежность или наблюдения за отказами в процессе его эксплуатации должно быть обосновано исследованиями достоверности метода максимального правдоподобия.

В статье представлены экспериментальные исследования точности оценки максимального правдоподобия параметра экспоненциального закона распределения по малым многократно цензурированным справа выборкам. Такие выборки возникают при проведении наблюдений за отказами в процессе эксплуатации или при проведении испытаний по плану [ N, U, Z ], который приведен в стандарте [2].

Исследования выполнялись с помощью моделирования на ЭВМ цензурированных выборок, подобных выборкам, формирующимся при исследовании показателей надежности оборудования.

Для проведения исследований разработан алгоритм и программа моделирования процесса отказов на ЭВМ.

На ЭВМ моделировались многократно цензурированные справа выборки случайных величин объемом N = 5, 10, 15, 20, 25. Генерирование выборок выполнялось при ограничениях:

5 £ N < 10, q ³ 0,5,

10 £ N < 20, q ³ 0,3,

20 £ N £ 50, q ³ 0,2,

где q – степень цензурирования выборки. 

Количество сформированных выборок V для каждого значения N равно 3000. По каждой выборке методом максимального правдоподобия рассчитывались оценки экспоненциального распределения и их относительные отклонения d от истинных значений по формуле

,

где  – истинное значение параметра экспоненциального распределения;  – оценка максимального правдоподобия экспоненциального распределения.

По результатам моделирования построены гистограммы относи-тельных отклонений оценок максимального правдоподобия экспонен-циального распределения. По оси ординат отложен процент оценок от общего количества, попавших в данный интервал. Полученные результаты приведены на рис. 1.

 

20

10

5

3

2

1

0

Рис. 1. Относительные отклонения оценки максимального правдоподобия

 

Экспериментальные данные показывают, что большинство оценок максимального правдоподобия, полученные по малым, многократно цензурированным справа выборкам, имеют значительные отклонения от истинных значений. Например, 1 % оценок экспоненциального распределения при N = 5 имеют относительные отклонения от 10 до 20; 4 % – от 5 до 10; 8 % – от 3 до 5. При увеличении объема выборки N точность оценок возрастает. При N = 25 относительные отклонения оценок экспоненциального закона распределения не превышают 2. Несмотря на это, 2 % оценок имеют относительные отклонения от 1,5 до 2; 3 % – от 1 до 1,5; 9 % – от 0,75 до 1; 12 % – от 0,5 до 0,75. При N = 5, 10, 15 отчетливо видно сильное смещение оценок максимального правдоподобия.

В целом можно сделать вывод, что точность метода максимального правдоподобия при значениях N ≤ 25 низка. Относительное отклонение оценок от истинных значений может достигать 3 и более, а половина всех оценок имеет отклонения больше 0,3.

Цель проведенных исследований – получение математических моделей, устанавливающих связь между относительным отклонением оценок максимального правдоподобия от истинного значения параметра экспоненциального распределения и параметрами, характеризующими структуру выборки.

Для решения поставленной задачи выполнено моделирование на ЭВМ многократно цензурированных справа выборок случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону. Произведен расчет параметров выборки, характеризующих ее структуру. Для описания структуры сформированной выборки случайных величин в работе использовались пять стандартных параметров выборки: X 1 – степень цензурирования; X 2 – коэффициент вариации; X 3 – коэффициент вариации полных случайных величин; X 4 – эмпирический коэффициент асимметрии; X 5 – коэффициент эксцесса [3].

Еще пять параметров представляют собой математические выражения, составленные из стандартных характеристик выборки: X 6 – отношение математического ожидания полных случайных величин к математическому ожиданию всех членов выборки; X 7 – отношение математического ожидания цензурированных случайных величин к математическому ожиданию всех членов выборки; X 8 – относительное отклонение математического ожидания от середины вариационного размаха; X 9 – отношение медианы к математическому ожиданию; X 10 – отношение моды к математическому ожиданию.

Все параметры измеряются в относительных единицах и не зависят от абсолютных значений случайных величин. Подробно формулы расчета этих параметров рассмотрены в [4].

Расчет отклонения оценки максимального правдоподобия от истинного значения Y осуществлялся по формуле

.

По результатам моделирования построены регрессионные модели, устанавливающие связь между относительным отклонением оценки максимального правдоподобия от истинного значения и параметрами, характеризующими структуру выборки. Для каждого объема выборки N построено свое уравнение регрессии.

(1)

Математические модели построены в классе линейных уравнений регрессии вида

.

Уравнения являются значимыми. Коэффициенты b ₀, b ₁, …, b ₁₀ и параметры значимости уравнений регрессии приведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Коэффициенты и параметры значимости уравнений регрессии

b	N
	5	10	15	20	25
b0	0,1	1,079	0,952	1,09	1,22
b1	–0,8	–1,483	–1,551	–2,898	–2,795
b2	0,036	–0,036	–0,183	–0,185	–0,086
b3	0,017	–0,008	0,023	–0,073	–0,147
b4	–0,054	–0,077	–0,102	–0,113	–0,092
b5	0,019	0,019	–0,002	0,017	0,028
b6	–0,076	0,033	0,124	0,211	0,108
b7	0,021	0,101	0,216	0,565	0,434
b8	–0,354	–0,38	–0,219	–0,222	–0,224
b9	0,006	–0,008	0,004	0,035	0,074
b10	0,01	-0,008	–0,002	–0,045	–0,04
Q	91	164	88	284	250
Q пр	56	124	58	207	180
Q ост	35	40	30	77	70

Примечание. Q – общая сумма квадратов результативного признака;                      Q _пр – общая сумма квадратов, характеризующая влияние признаков; Q _ост – остаточная сумма квадратов (влияние неучтенных факторов).

 

(2)

Полученные уравнения регрессии позволяют повысить точность оценки максимального правдоподобия введением поправки к оценке максимального правдоподобия по формуле

,

где  – конечная оценка параметра распределения;  – поправка к оценке максимального правдоподобия.

В проведенных исследованиях была проведена оценка эффек-тивности построенных регрессионных моделей. Для каждой смоделированной выборки были рассчитаны поправки к оценке максимального правдоподобия по уравнению (1) и конечная оценка параметра экспоненциального распределения по выражению (2).

Результаты исследований эффективности применения построенных уравнений регрессии для экспоненциального закона распределения показаны в табл. 2 и на рис. 2–4. Отметим, что на рис. 2–4 даны также относительные отклонения оценок максимального правдоподобия от истинного значения.

 

Таблица 2. Дисперсия начальных и конечных

относительных отклонений оценок экспоненциального распределения

N	δнач	δкон
5	0,945	0,088
10	0,318	0,035
15	0,179	0,023
20	0,162	0,028
25	0,125	0,029

 

δ нач.

δ кон.

δ кон.

δ нач.

                                 а                             б

Рис. 2. Начальные и конечные относительные отклонения оценки λ

для N = 5 (а) и N = 10 (б)

 

δ нач.

δ кон.

δ кон.

δ нач.

                               а                                     б

Рис. 3. Начальные и конечные отклонения оценки параметра λ

для N = 15 (а) и N = 20 (б)

δ нач.

δ кон.

Рис. 4. Начальные и конечные

относительные отклонения оценки λ для N = 25

 

Применение разработанных моделей значительно повышает точность оценок максимального правдоподобия. По данным табл. 2 видно, что дисперсия относительных отклонений оценок экспоненциального закона распределения снижается в 4–10 раз. При этом с уменьшением числа членов выборки N эффективность применения разработанных моделей возрастает. На практике (при проверке оборудования) это позволит сократить время испытаний при сохранении достоверности рассчитанных показателей надежности.

 

Библиографический список

1. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников / А.И. Кобзарь. М.: Физматлит, 2006. 816 с.

2. ГОСТ 27.410-87. Надежность в технике. Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний на надежность. М.: Издательство стандартов, 1987.

3. Петрович, М.Л. Статистическое оценивание и проверка гипотез           на ЭВМ / М.Л. Петрович, М.И. Давидович. М.: Финансы и статистика, 1989. 189 с.

4. Русин, А.Ю. Управление процессом испытания оборудования на надежность / А.Ю. Русин, М.А. Абдулхамед // Надежность. 2014. № 3 (50). С. 27–34.