Математическая модель континуума.

Классическая механика

Студент гр. 3631503/90002

Дроздов Святослав

Оглавление

Предисловие. 3

Вступление. 4

Постановка проблемы.. 5

Строгое построение механики. 7

§0.0 Введение. 7

§1.0 Математическая модель континуума. 8

§2.0 Постулат механики. 11

§3.0 Динамика поступательного движения. 11

§4.0 Динамика вращательного движения. 11

§5.0 Работа и Энергия. 14

§5.1 Потенциальная энергия. 17

§6.0 Определение и ψ в частных случаях. 19

§ 7.0 Задача о заряженной нити. 20

Заключение. 21

Послесловие. 21

 

Предисловие

Много лет назад, меня вдохновила концепция познания мира. Поэтому я решил связать свою жизнь с инженерно-, или научно-исследовательской деятельностью. Но передо мной встал ряд вопросов, связанных с принципиальным устройством познания. В этом параграфе я бы хотел осветить свои мысли по этому поводу.

Изначально человек имеет априорные представления о бытие, о его макроскопической части медленно движущейся, в сравнении со светом. Такая ограниченность нашего восприятия связанна прежде всего с тем, что в ходе эволюционного процесса, мы приспосабливались к тому, чтобы в дикой саванне не стать обедом для льва. А для этого не нужно представлять искривление пространства при движении с околосветовыми скоростями, или понимать, как движется электрон. Однако, задавшись целью, описать мир, мы должны выйти за пределы априорного представления о мире. Но как только мы это делаем, начинают возникать вопросы о смысле того, что мы сделали. Например, мы создали молекулярную модель тела. Значит ли это, что вещество действительно состоит из каких-то шариков, или более сложных фигур? Например, считая многие газы состоящими из маленьких упругих шариков, можно получить уравнение связывающее давление, объем и температуру этого газа, с очень высокой точностью. Значит ли это, что газ объективно состоит из маленьких упругих шариков? Тут можно привести аналогичный пример. Если мы будем считать Землю плоской и движущейся с ускорением g, то падения камня с крыши, или бомбы с самолета мы опишем так, как оно и будет в действительности. Но значит ли, что из того, что из предположения о плоскости Земли можно вывести уравнения отвечающие действительности, следует, что Земля плоская? Мы точно знаем, что она не плоская, значит знак следствия в такой ситуации ставить нельзя. Таким образом мы считаем, что есть какая-то объективная истина, и есть наша модель, которая имеет какие-то общие черты с ней. Но раз мы все равно никогда не спустимся на молекулярный уровень и не увидим эти молекулы сами, а только сможем сравнивать параметры давления, объема и температуры (к примеру), то как мы можем быть уверены, что мы не попали в ту же ситуацию, как и с плоской Землей, в которой мы можем наблюдать только ускорение свободного падения? Что ж, для ответа на этот вопрос необходимо определение понятия истины. Истинным называется такое описание, что какой-бы мы не проводили эксперимент, оно будет давать результат, совпадающий с действительным положением дел. Важно, что этот тезис должен выполняться для любого эксперимента, даже если на каком-то моменте развития человечества, реализовать его нельзя или он и вовсе пока не придуман. Понятие истинной концепции мира, является вспомогательной конструкцией логического мышления, подобно понятию числа или точки. Вообще говоря, следует отметить, что может существовать несколько различных моделей, которые в равной мере хорошо описывают мир. Но похоже, что такая модель, если только ее можно создать, (вот, например геометрическую точку, которая есть у нас в голове, создать нельзя), должна быть единственна. И если мы бы получили две различные модели мира, то это был бы повод поискать эксперимент, который не будет описываться одной или обеими моделями.

Так вот, задача описания мира сводится к математически строгой системе тезисов, основывающихся на некотором количестве постулатов. Принципиально важно, чтобы мы могли строго выразить наши постулаты и перейти от них к следствиям. Такой подход обусловлен строением логики. Это способ преобразования информации, а не создания последней. Так, например, если кирпич начинает свое падение с 10 метров, то уже в этой фразе содержится информация о его скорости и положении в каждый момент времени, задача физика представить информацию о начальном положении в виде информации о скорости и положении в дальнейшие моменты времени.

Вступление

Мышление для человека это не просто инструмент преобразования и выживания, это и есть он. Поэтому очень важно разбираться с информационными моделями, используемыми для анализа, так как это не просто способ рассчитать прочность моста, или вероятность попасть по противнику, это прежде всего способ существовать. Логическое мышление оперирует 4-мя типами понятий: 1) Фундаментальные. Их нельзя ни доказать, не сформулировать. Это отправная точка логики. К таким понятиям причисляют: Существование, число, пространство, точка … 2) Постулаты. Это тезисы, формируемые из фундаментальных понятий, то есть их можно четко сформулировать, но нельзя доказать. К таким относят, например, закон гравитации. Их обычно высказывают на основаниях многократного наблюдения, свойств симметрии и т. д. 3) Теоремы. Суждения, формируемые из базовых понятий, доказываемые при помощи постулатов. Например, теорема Пифагора. 4) Гипотезы. Тезисы, не имеющие доказательств и оснований считаться постулатами, которые, однако, по каким-то причинам могут иметь место быть. Само мышление происходит при переводе тезисов из класса гипотез в класс теорем на основании существующих постулатов и фундаментальных понятий. Этот переход совершается в соответствие с формальной логикой. Если мы получаем математическое противоречие, значит выбранная система постулатов не совместна.

Так же следует отметить, что структура познания стремиться к наиболее полному описанию, при наименьшем количестве постулатов. Формальная строгость перехода от системы постулатов к системе теорем гарантирует, во-первых, степень верности результатов в границе применимости постулатов, что очень важно, во-вторых, позволяет предсказать то, о чем вы не думали, но что тоже следует из постулатов. И в-третьих, только логически выверенная концепция позволяет точечно показать место несостыковки твоего понимания мира и действительного положения дел. Не говоря уже о том, что, как уже было сказано, мышление это не только способ предсказать что-то, это жизненный путь.

Постановка проблемы

Проследим за тем, как строится классическая Ньютоновская механика.

1)Мы утверждаем, что существую тела, настолько малые, что информация о их вращении и геометрических размерах не влияет на их траекторию. Такое тело описывается моделью материальной точки.

2)Каждой материальной точке (МТ) ставится в соответствие скаляр, называемый массой.

3)Мы утверждаем, что существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), такие, что для них верны соотношения, приведенные ниже.

4)В ИСО для произвольной системы материальных точек выполняется закон сохранения импульса, а именно сумма произведений масс на скорость каждой МТ остается постоянной, если на эту систему ничего не действует.

Важно отметить, что тут мы пользуемся интуитивным представлением о том, что тела могут взаимодействовать. Пока не сказано, как описать взаимодействие числом или вектором.

Так вот, в частности, при столкновении двух МТ будет верно  , равенство изначально векторное, но мы его напишем в скалярной форме. Тогда  . Возьмем какое-нибудь тело, которому ставится в соответствие МТ и скажем, что по определению его масса равна единице. Тогда из вышенаписанного соотношения, мы определим, как численно сопоставить массу МТ.

Так мы вводим понятие массы МТ, и определяем закон численного задания. Тем не менее уже тут мы понимаем, что так как по-настоящему тел, модель которых описывается МТ не существует, то такое определение массы тела представимого в виде МТ не строго.

(Вводим массу системы МТ как алгебраическую сумму масс)

5) В ИСО выполняется соотношение для МТ:  , где - ускорение материальной точки, а  – вектор, сопоставляемый мере воздействия на это тело, со стороны других тел (не обязательно МТ). Этот закон является по сути определением вектора . (В месте со следующим утверждением: Тела действуют с силами противоположными по направлению и равными по величине)

Тут мы получаем более точный способ определения массы. Если мы установим, что сила тяжести (в проекции) это -mg, тогда если мы уравновесим ее другой силой, скажем, силой реакции опоры, то получим, что mg = N. (Способ измерения сил в первом приближении можно построить на свойствах симметрии и рычажных весах.) Так мы можем определить массу тела. Заметим, что если тело покоится то, каковы бы не были размеры тела (макроскопического масштаба), то в его представлении в виде МТ, содержится вся информация о его инертности, так как тело покоится, то есть оно не вращается в принципе, и показания весов не зависят от формы тела. Действительно, если уравновесить рычажные весы гирей, не важно какой формы она будет массой 100гр, цилиндр куб или фигурка солдатика. Поэтому мы нашли такую ситуацию, в которой вся информация о теле передается моделью МТ. И теперь у нас есть более точный способ ее измерения.

6) Если мы вынуждены иметь дело с непрерывным телом, которое нельзя считать МТ, например вращающийся диск, то мы говорим, что такое тело представимо в виде разбиения на элементы объема, столь малые, что каждый такой элемент по отдельности можно считать МТ. При чем для непрерывного тела можно утверждать, что чем меньше диаметр разбиения, тем большую информацию об этом элементе объема передает модель МТ, при чем в пределе разбиения такое описание несет в себе всю информацию о теле.

7) Назовем массой тело величину, сопоставляемую системе МТ разбиения этого тела несущих в себе всю информацию о инертности тела по отношению к поступательному движению.

Назовем силой действующую на тело равнодействующую силу, действующую на МТ разбиения этого тела несущих в себе всю информацию о воздействии на тело.

В общем случае назовем параметром P сопоставляемом телу (векторным или скалярным) как сумму параметров p сопоставляемых МТ разбиения, такого, что это разбиение заключает в себе всю информацию о теле по параметру p. (Это может быть импульс, момент инерции, сила, масса и т. д). В случае, если невозможно передать всю информацию о теле конечным разбиение, параметр P сопоставляется как предел суммы.

То, что такой подход действительно работает, как нестрого он не был бы создан, имеет глубокий смысл. Дело в том, что человек создал понятие точки, мысленно рассматривая все меньшие и меньшие тела. Сравнивая большой валун, камень, камешек, песчинку, в человеческой голове появилась концептуальная модель точки. Таким образом, точка — это такой объект, которой несет в себе тем бОльшее количество информации о теле, чем меньше само тело. И поэтому безусловно, концепция материальных точек будет работать. Гений Ньютона заключается в том, что он смог выразить математически сущность точки и написать информацию, которая естественным путем появляется в разуме человека, в виде функций.

Однако несмотря на то, что существующее построение механики имеет интуитивное объяснение, я считаю, что необходимо уметь объяснить каждое понятие математически строго. Поэтому, я полагаю, что следует переписать основы механики, сохранив гениальную идею Ньютона, но написав ее с математической точки зрения корректно. Это не повлияет на конечные формулы и на доказательства, которые кропотливо собирались тысячами исследователей в течение многих лет.

То, что написано далее следует понимать не как “принципиально новое построение механики”, а как аксиоматизацию существующей концепции механики Ньютона. Можно провести аналогию: люди достаточно давно придумали понятие площади, как меры плоского пространства, и интуитивное понимание этого, позволяло многое делать. Было, например, очевидно, что если мы впишем квадрат в окружность, то его площадь будет меньше, чем площадь окружности. Так же было ясно, что площадь величина аддитивная и т. д. Однако, для строгого построения красивого здания науки, необходимо было построить аксиоматическую концепцию площади. Что и было сделано. В своем изложении я постараюсь создать аксиоматическое построение механики.

Строгое построение механики

Введение.

Для простоты изложения будем говорить о телах, представляющих собой кривые. (Для наглядности можно представлять произвольно изогнутую проволоку). Такое допущение ни в коем случае не имеет принципиальный характер, а служит лишь для упрощения восприятия написанного. В конце будет сказано, как можно перейти к плоским и объемным телам.

Классическая механика оперирует непрерывными телами. Так как тела непрерывны, то для задания их движения необходимо определить движение каждой точки. При чем сам принцип взаимодействия должен быть построен для каждой отдельной точки тела. Попытка дискретно описать непрерывное тело изначально противоестественна. Поэтому и возникают множественные проблемы корректности изложения, основанного на таком подходе. Я считаю, что теория континуальных тел, должна строиться на описании каждой геометрической точки тела. А уже непосредственные вычисления и получение эмпирических данных могут быть дискретными. И исходя из теории будет следовать, что полученные данные с определенной точностью описывают действительность. Приведу простой пример, мы можем взять 1 кубический миллиметр стали и измерить ее плотность, как отношение массы к объему, но мы не можем в теории определять плотность как отношение конечных величин. В теории плотность это предел отношения, который численно совпадает с полученными данными, в силу непрерывности плотности. (А соответственно всегда существует такой малый объем, что отношение массы к этому объему аппроксимирует плотность с любой конечной точностью).

В сущности, для описания точки тела необходимо задать 2 величины: Первая величина-скаляр, отражающий то, насколько сложно эту точку сдвинуть, вторая величина тоже скаляр, показывающий то, как интенсивно эта точка будет взаимодействовать с другими. (В случае гравитационного взаимодействия эти 2 скаляра равны). И функцию: вектор, который показывает, какова интенсивность действия заданной точки тела в каждой точке пространства. (Этот вектор будет зависеть от второго скаляра)

Постулат механики

Теорема

 Формула  =  остается верной, если считать её относительно центра масс.

Доказательство

Пусть  – радиус вектор точки,  – радиус вектор, отложенный от центра масс и  – радиус вектор центра масс. Они, очевидно, связанны равенством:  =  + .

1)Кинетический момент относительно центра масс.

=  =

+  +  +  

Интеграл:  = 0, действительно:

 =  =  -  

 =  - m  = m - m  = 0

Следовательно второй интеграл  = 0

 = -  = -  dt = 0

Обозначим  =  -кинетический момент относительно центра масс.

Таким образом:  +

2)Момент сил относительно центра масс.

=  =  +  

Обозначим  =  – момент внешних сил относительно центра масс.

=  +

3) Таким образом:

 

 +  =  +

Так как:

 =  

 =  =  =  

То:  =

Ч.т.д.

Работа и Энергия

Введем понятие плотности работы b при перемещении точки тела за время : b=

Введем понятие работы при перемещении тела: A =

Введем понятие кинетической энергии:  =

Теорема №1

Если тело твердое и совершает плоские движения (не изменяет ось вращения), то кинетическая энергия представима в виде:

 =  +

Где I - момент инерции относительно центра масс.

Доказательство

Рассмотрим плоское движение ТТ (твердого тела). Возьмем за полюс центр масс.

(s) =  +

Где

(s) -скорость точки с криволинейной координатой s.

 -радиус вектор точки с криволинейной координатой s, опущенный из центра масс.

 =  =  +  + 0.5  

Первый интеграл:

Второй интеграл сводится к уже рассмотренному в параграфе 4:

 =  =  = 0

Третий интеграл:

 =  =

(Тут момент инерции считается относительно центра масс)

Ч.т.д.

Теорема №2

Для твердых тел, совершающих плоские движения верно:

1)

2)

Доказательство

1)  m =

 =

 =

ð  

 

2)

ð

Ч.т.д.

Теорема №3

Для любого твердого тела, совершившего плоское перемещение верно:

A =  +

Доказательство

(s) =  +

b=  = b=  +

A=

A=  +  (повторные интегралы)

A=  +

 

A=  +

A =  +

Ч.т.д.

Теорема №4

Для твердых тел, совершающих плоские движения верно: A=

Доказательство

По теореме №1:  =  +  

По теореме №2:  +  =  +

По теореме №3: А =  +

Таким образом: A=

Ч.т.д.

Потенциальная энергия

Назовем потенциальным такое взаимодействие, для которого плотность работы b=  по произвольному перемещению точки тела, не зависит от времени и траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положения точки тела.

Теорема №1

Плотность работы потенциального поля по перемещению точки по замкнутому контору равна 0.

Доказательство

Произведем перемещение из точки 0 в нее же через точку 1. Тогда:

+  =  

Произведем перемещение из точки 0 в нее же через точку 1 дважды. Тогда:

+  + +  =

Поскольку =  не зависит от способа перемещения, то:

+  + +  =  = +  

То есть: +  = 0

Рассмотрим точки 0, 1, 2 тогда:

+  +  =  = +  = 0

Совершенно ясно, что какое бы количество точек мы не рассмотрели бы, если перемещение по ним задает замкнутый контур, то в итоге плотность работы по перемещению в этом контуре будет равна 0.

Замечание:

Из доказанного следует что для любых трех точек 0,1,2 верно:

 

 

Определение:

Назовем плотностью потенциальной энергии точки, плотность работы по перемещению этой точки из (произвольно выбранного) нулевого положения в данное.

Будем писать: =

Где радиус вектором  задается текущее положение точки тела.

Назовем потенциальной энергией тела величину U =

Теорема №2

Работа потенциальных сил по перемещению тела равна убыли потенциальной энергии.

Доказательство:

При перемещении тела каждая его точка перемещается из начального, назовем его положение 1, в конечное, назовем его положение 2. Тогда для каждой точке тела существует функция:

(s) = (s)

Проинтегрируем по длине тела:

Ч.т.д.

Назовем полной механической энергией величину  +

Теорема №3

В поле потенциального взаимодействия  = const

Доказательство:

Пусть тело переместилось и потенциальное поле совершило работу А, тогда:

 ,  => +  = 0 =>  +  =const =>  = const

Ч.т.д.

§6.0 Определение и ψ в частных случаях.

Задача о заряженной нити.

Как уже было сказано, это изложение не более, чем строгое построение существующей механики. Поэтому задачи должны решаться не сложнее и отличаться, разве что некоторыми обозначениями.

Условие:

Необходимо найти напряженность электростатического поля прямой, равномерно заряженной бесконечно длинной нити на расстояние h от нее.

Решение

=const. Рассмотрим точку пространства, находящуюся на удаление h от нити. Тогда вектор (s) (то есть плотность напряженности, с которой точка нити на криволинейной координате s будет действовать на точку пространства отстоящую от нити на расстояние h. Криволинейная координата отсчитывается от перпендикуляра опущенного из точки, в которой мы ищем напряженность поля. Вверх и вниз, положительно и отрицательно соответственно)

Будет выражаться как (s)=  

 , r =

Распишем по осям: =  ,:  s=  

Тогда напряженность (по осям) будет выражаться как:

В том случае, когда нить конечна. В случае бесконечной переходим к пределу, устремляя длину к бесконечности.

Видим  = 0, так как это интеграл по симметричному интервалу от нечетной функции.

=

=

Заключение

Таким образом удалось показать, что классическую механику можно построить логически строго, не прибегая к понятиям “бесконечно малой величины” или “объекта, информация о вращении и размерах которого не важна”.

В вышеизложенном тексте все было написано для простого случая, когда тело представляет собой кривую, исключительно в целях упростить восприятие написанного. В случае плоских или объемных тел достаточно перейти от криволинейного интеграла к двойному или тройному соответственно. Это не изменит хода доказательств и физического смысла.

Необходимо отметить, что структура доказательств в такой модели не многим отличается от классического курса механики. Действительно, достаточно заменить материальную точку на точку континуума, массу на плотность, а сумму на интеграл. (Интеграл обладает такими же свойствами, что и сумма, благодаря чему мы и можем доказывать теоремы в полной аналогии).

Послесловие

Я верю в науку, я верю в то, что человечество может покорить вселенную своим разумом. И я уверен, что рано или поздно это произойдет. А наука, как показала многовековая практика, стремится к аксиоматизации. То есть строгому построению, основывающемуся на не большом количестве исходных тезисов. Я считаю своим долгом, строить модели так, чтобы они удовлетворяли этому критерию. И я верю в то, что есть люди, разделяющие это мнение.

Классическая механика

Студент гр. 3631503/90002

Дроздов Святослав

Оглавление

Предисловие. 3

Вступление. 4

Постановка проблемы.. 5

Строгое построение механики. 7

§0.0 Введение. 7

§1.0 Математическая модель континуума. 8

§2.0 Постулат механики. 11

§3.0 Динамика поступательного движения. 11

§4.0 Динамика вращательного движения. 11

§5.0 Работа и Энергия. 14

§5.1 Потенциальная энергия. 17

§6.0 Определение и ψ в частных случаях. 19

§ 7.0 Задача о заряженной нити. 20

Заключение. 21

Послесловие. 21

 

Предисловие

Много лет назад, меня вдохновила концепция познания мира. Поэтому я решил связать свою жизнь с инженерно-, или научно-исследовательской деятельностью. Но передо мной встал ряд вопросов, связанных с принципиальным устройством познания. В этом параграфе я бы хотел осветить свои мысли по этому поводу.

Изначально человек имеет априорные представления о бытие, о его макроскопической части медленно движущейся, в сравнении со светом. Такая ограниченность нашего восприятия связанна прежде всего с тем, что в ходе эволюционного процесса, мы приспосабливались к тому, чтобы в дикой саванне не стать обедом для льва. А для этого не нужно представлять искривление пространства при движении с околосветовыми скоростями, или понимать, как движется электрон. Однако, задавшись целью, описать мир, мы должны выйти за пределы априорного представления о мире. Но как только мы это делаем, начинают возникать вопросы о смысле того, что мы сделали. Например, мы создали молекулярную модель тела. Значит ли это, что вещество действительно состоит из каких-то шариков, или более сложных фигур? Например, считая многие газы состоящими из маленьких упругих шариков, можно получить уравнение связывающее давление, объем и температуру этого газа, с очень высокой точностью. Значит ли это, что газ объективно состоит из маленьких упругих шариков? Тут можно привести аналогичный пример. Если мы будем считать Землю плоской и движущейся с ускорением g, то падения камня с крыши, или бомбы с самолета мы опишем так, как оно и будет в действительности. Но значит ли, что из того, что из предположения о плоскости Земли можно вывести уравнения отвечающие действительности, следует, что Земля плоская? Мы точно знаем, что она не плоская, значит знак следствия в такой ситуации ставить нельзя. Таким образом мы считаем, что есть какая-то объективная истина, и есть наша модель, которая имеет какие-то общие черты с ней. Но раз мы все равно никогда не спустимся на молекулярный уровень и не увидим эти молекулы сами, а только сможем сравнивать параметры давления, объема и температуры (к примеру), то как мы можем быть уверены, что мы не попали в ту же ситуацию, как и с плоской Землей, в которой мы можем наблюдать только ускорение свободного падения? Что ж, для ответа на этот вопрос необходимо определение понятия истины. Истинным называется такое описание, что какой-бы мы не проводили эксперимент, оно будет давать результат, совпадающий с действительным положением дел. Важно, что этот тезис должен выполняться для любого эксперимента, даже если на каком-то моменте развития человечества, реализовать его нельзя или он и вовсе пока не придуман. Понятие истинной концепции мира, является вспомогательной конструкцией логического мышления, подобно понятию числа или точки. Вообще говоря, следует отметить, что может существовать несколько различных моделей, которые в равной мере хорошо описывают мир. Но похоже, что такая модель, если только ее можно создать, (вот, например геометрическую точку, которая есть у нас в голове, создать нельзя), должна быть единственна. И если мы бы получили две различные модели мира, то это был бы повод поискать эксперимент, который не будет описываться одной или обеими моделями.

Так вот, задача описания мира сводится к математически строгой системе тезисов, основывающихся на некотором количестве постулатов. Принципиально важно, чтобы мы могли строго выразить наши постулаты и перейти от них к следствиям. Такой подход обусловлен строением логики. Это способ преобразования информации, а не создания последней. Так, например, если кирпич начинает свое падение с 10 метров, то уже в этой фразе содержится информация о его скорости и положении в каждый момент времени, задача физика представить информацию о начальном положении в виде информации о скорости и положении в дальнейшие моменты времени.

Вступление

Мышление для человека это не просто инструмент преобразования и выживания, это и есть он. Поэтому очень важно разбираться с информационными моделями, используемыми для анализа, так как это не просто способ рассчитать прочность моста, или вероятность попасть по противнику, это прежде всего способ существовать. Логическое мышление оперирует 4-мя типами понятий: 1) Фундаментальные. Их нельзя ни доказать, не сформулировать. Это отправная точка логики. К таким понятиям причисляют: Существование, число, пространство, точка … 2) Постулаты. Это тезисы, формируемые из фундаментальных понятий, то есть их можно четко сформулировать, но нельзя доказать. К таким относят, например, закон гравитации. Их обычно высказыва