Слушатель: 36 на 6, ну, 36 на 36 умножить?

А.С.: Давайте, во‑первых, выведем формулу для треугольных чисел. То есть, грубо говоря, есть формула для всех квадратных: п². Подставляете любое число, получается квадрат. А вот как на­писать общую формулу для чисел 1, 3, 6, 10, 15... Вот что нужно сделать с т, чтобы получить треугольное число?

 

Что получается? l + 2 + 3 + 4+... + m.

Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учил­ся в школе в 3‑м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».

«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?» – «Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:

1 + 2 + 3 +... + 100,

+...+ 3 + 2 + 1.

По‑другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая бу­дет. Пусть она равна ж. И сверху х и снизу х.

1 + 2 + 3 +... + 100 = ж,

 

100 +... + 3 + 2 + 1 = ж».

Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99,

+ 98,...

Слушатель: Всегда получится 101.

А.С.: Конечно. А сколько штук?

 

Слушатель: 100.

А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно

умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.

2х = 10100,

отсюда

ж = 5050.

Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не счи­тая. Математика – это искусство лени. Математик – это тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что‑то машинное. Вот вы познали какой‑то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливать­ся компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Бра­уншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17‑угольник, на кото­ром стоит математик. А почему он стоит на 17‑угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17‑угольник цирку­лем и линейкой. «Правильный» – значит с равными сторонами и углами.

До него эту задачу не могли решить. Можно построить пра­вильный треугольник, 4‑угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное лег­ко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5‑угольник,

угольник. А 7‑угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие‑то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7‑угольник циркулем и ли­нейкой?»

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11‑ и 13‑угольник. Помни­те, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравне­ния выше 4‑й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, во­оружиться ими и хоть всю жизнь строить какие‑то дуги, что‑то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7‑ угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значитель­но раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правиль­ный 17‑угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17‑угольника? Оказывается, 257‑угольник. Это очень долго и сложно, но можно. Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

+ 2 + 3 + 4 +... + тп = х, тп + (тп – 1) + (тп – 2) +... + 1 = х.

Теперь сложим и получим тп экземпляров какого числа? Числа (тп + 1):

 

(тп + 1)тп = 2х.

Поэтому формула вот такая:

тп(тп + 1) х = 2 ·

Теперь можно подставлять вместо тп любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треуголь­ным, значит оно имеет такой вид

тп(тп + 1)

2 '

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: п².

Получается замечательное уравнение для решения в целых чи­слах

тп(тп + 1)/2 = п².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а – это такое число, на которое а делится (без остатка).

т и {т + 1) – два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит т(т + 1)/2 – произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делите­лей.

делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

 

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 – 35, а предыдущее – 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть т и (т + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: п².

Его можно разложить на простые множители. И каждый та­кой множитель будет входить в разложение п² в четной степени. Например, если п делится на 5, то п² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, т(т + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но т и (т + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Ины­ми словами наше равенство возможно, только если каждый из т и (т + 1) является квадратом17.

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики.  В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом рас­кладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно – если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если п делится, скажем, на 11, то п² делится на II², на 121. Значит, и m(m+1) делится на II². Но 11 не может входить и в т, и в (т+1). Либо т делится на 11 в квадрате, либо (т + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если т(т + 1)/2 = п², то либо т = а ²  и (т + 1)/2 = Ь² в случае если т – нечетное, а (т + 1) – четное, либо наоборот m + 1 = Ь ²  и т/2 = а ²  (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля ж ²  – 2 у ²  = 1.

В первом случае получаем:

т = а ²  и (m + 1)/2 = b ²  = т + 1 = 2Ь²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а ²  – 2Ь² = – 1.

Во втором случае получаем:

т + 1 = Ъ ²  и т/2 = а ²  = т = 2а² = Ь ²  – 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля ж² – 2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно­треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить од­новременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41² – 2 · 29² = –1.

Следовательно

(т + 1)/2 = 29², т = 41², п ²  = 29²41², п = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда‑нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, ка­кую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (л/2 + I)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получа­лось решение уравнения

ж² ‑ 2 у ²  = 1?

Возвожу, например, в 4‑ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

(1 + л/2)⁴ = (1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),

(1 ‑ V2)⁴ = (1 ‑ л/2)(1 ‑ л/2)(1 ‑ л/2)(1 ‑ V2).

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скоб­ки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо л/2, ли­бо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух.  Во‑первых, целое по­лучается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет це­лое. Если я из 4 скобок возьму л/2 – тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида т + пу/ 2.

В т сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в п – все, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из осталь‑ ш,IX – единичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же са­мое, за одним исключением. Когда я возьму \[2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при пе­ремножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, кото­рые кратны л/2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится т – пу/2

т + nV2 = (1 + у/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),

 

т – _п V2 = (l‑ у/2)(1 ‑ л/2)(1 ‑ у/2)(1 ‑ л/2).

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

 

(т + nV2)(m – nV2) = т² – 2 п².

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перем­ножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

(1 + л/2)(1 ‑ л/2) = 1 ‑ 2 = ‑1.

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

 

л/2)(1 + л/2)(1 + \/2),

‑ л/2)(1 – л/2)(1 – \/2),

в ответе (–1)(–1)(–1)(–1).

А что получится, если (–1) умножается на себя много раз? 1 или (–1). То есть, когда мы будем возводить (1 + у/2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (–1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло т²–2п². Получаем т ²  – 2 п² = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + л/2)” порождает решение нашего уравнения Пел ля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

* *

Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их пример­но 1 км. И посмотрели вдаль. А там – дома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обрати­те внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20‑этажного дома? Если кто‑нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбили­си в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюда­ли, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт‑Петербург. Вы обнаружили какие‑нибудь но­вые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Мо­скве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например. «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспо­минаете. что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сен­тября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к дет­ской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83). другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели в виде обычной доски (см. рис. 85).

 

а какие качели вы увидели, скорее всего, в перекошенном состоя­нии? Как это зависит от расположения спинки?

Вы опять пришли и увидели, что качели устроены как абсо­лютно плоская доска. Просто обтесанное с двух сторон бревно, и больше ничего. Но одни качели в положении равновесия висят, вторые всё время скатываются набок. Почему?

Алиса летит сквозь Землю. Помните сюжет книги Л. Кэрро‑ ла «Алиса в стране чудес»?

Алиса летит сквозь Землю и думает, что она к антиподам при­летит. В самом центре Земли выбегает гномик и дает ей пинок так, что увеличивает скорость ее полета на 1 метр в секунду. Вопрос: на какое расстояние она вылетит из Земли вверх благодаря этому дополнительному метру в секунду?

В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произой­дет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравший – ноль очков. А теперь – внимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попа­дают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

Каково максимально возможное количество родных прапра­бабушек?

Обсуждение ответов – на лекции 5.

А.С.: Сначала обсудим задачи, заданные на дом в конце лек­ции 4. Они не являются обязательными и ничего не проверяют (в отличие от ЕГЭ). Просто они показывают особенности матема­тического подхода в различных жизненных ситуациях. Всего задач было семь: 1) Обзор окрестностей с вершины горы; 2) Наблюдение московских звезд во время затмения; 3) Скорость наступления тем­ноты в различные дни года; 4) Странное поведение детских каче­лей; 5) Полет девочки Алисы к антиподам; 6) Математика фут­больного чемпионата; 7) А сколько у человека прапрабабушек?

Все разобрались, сколько у «среднего человека» пра­прабабушек? (Несредним человеком будем называть такого, у ко­торого две прапрабабушки (или два прадедушки) совпадают в од­ном лице. Всякое бывает. Например, изучение росписи русских дворянских родов приводит к выводу, что у А. С. Пушкина и Н. А. Романова (то бишь Николая I) были общие предки.)

 

Рис. 86. «Дорово» бабушек и прабабушек.

пра...

бабушки и дедушки

С каждым коленом удваивается количество как дедушек, так и бабушек (см. рис. 86). Папа один, мама одна, дедушек два, бабу­шек две, прадедушек уже четыре, и прабабушек тоже четыре, ну, а прапрабабушек, соответственно, получается восемь.

 

Теперь разберем задачу про футбол (рис. 87).

С каким минимальным количеством баллов можно выйти из группы в следующий раунд? Ниже приведен пример, когда это ко­личество равно четырем (рис. 87, справа).

 

Рис. 87. Слова: Матчи команд самих с собой но имеют смысла. Справа: финальные счета в матчах, где А всех победил, в то время как прочие игры сыграны вничыо.

Итак. «А» выигрывает все игры. Все остальные матчи сыграны вничыо. (Напомним, что за победу дается 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0.)

Получается, что выходит из группы в следующий раунд лучшая команда «А» и еще одна из команд с 4 баллами. Я не знаю, было ли такое в лиге чемпионов, но с 6 баллами точно выходили.

Встает другой вопрос. Как доказать, что с 3 баллами выйти не­льзя! Конечно, можно было бы перебрать все З¹² вариантов розы­грышей матчей (ибо имеется 12 незаполненных мест, и на каждом месте может быть 3 различных исхода). Но хотелось бы этого из­бежать. Давайте попробуем формально рассуждать. Как мы будем это делать? От противного. Предположим, что какая‑то команда вышла с 3 баллами. Какие в этом случае количества баллов мо­гут быть у всех команд? Вышеуказанный вариант для команд А,

В, С, D был 18, 4, 4, 4. Если какая‑то команда вышла в следующий раунд с 3 баллами, значит, как минимум у двух команд должно быть тоже не больше 3 баллов. Потому что иначе наша команда не вышла бы из группы. Раз она вышла, следовательно, у двух других команд баллов меньше или равно 3.

Вопрос: сколько баллов у команды, которая больше всех на­брала?

В каждом матче разыгрывается суммарно или 2, или 3 балла (ничья дает 1 + 1, победа дает 3 + 0). Поэтому за все матчи все ко­манды могут набрать минимум 2 · 12 = 24 балла, если все сыграли вничью, максимум – 3 · 12 = 36, если каждый матч был выигран.

В нашей ситуации три команды набрали не более, чем по 3 бал­ла, в сумме 9, значит у четвертой команды не меньше 21 – 9 = 15 баллов.

Значит, она выиграла почти все матчи.

Давайте уточним, как команда могла набрать 3 балла. Она либо три раза сыграла вничью, либо один раз выиграла. Больше спосо­бов нет. Одна победа и 5 проигрышей, либо 3 ничьих и 3 проигрыша. Обозначим это так:

Вариант 1. Н

либо

Вариант 2. 0 0 0

Слушатель: Это значит, что 18 очков в розыгрыше.

А.С.: Рассмотрим вариант 1. В 6 матчах было разыграно 18 оч­ков, значит, в оставшихся 6 матчах будет не менее 12 баллов, так как в каждом матче разыгрывается не менее 2 баллов. Значит, в сумме получается не меньше 30 баллов. Значит, у четвертой ко­манды не менее 30^9 = 21, чего быть не может, так как максималь­ный результат любой команды равен 18, то есть все выигранные матчи.

Итак, вариант с одним выигрышем отпадает. Рассмотрим дру­гой вариант: три ничьи.

Вариант 2. Четвертая команда набрала не меньше 15 баллов (минимальное количество 24, три команды набрали в сумме 9, получаем 21 – 9 = 15). Значит, она одержала минимум 5 побед. (Меньше не может быть, так как всего 6 матчей. Даже если 4 по­беды и 2 ничьи, получится 4 · 3 + 2 15).

Получается минимум, который команды могли набрать вместе: не 24, а 29 (ибо пять матчей с победами принесли 15 очков, а остальные 7 матчей – не меньше 14 очков). Значит у четвертой ко­манды минимум 29^9 = 20 баллов. 20 18, где 18 – максимально возможное количество баллов. Противоречие.

Другой вопрос, так сказать, «обратный» к первому. С каким максимальным количеством очков можно не выйти из группы в следующий раунд?

Слушатель: 12.

А.С.: Да. И как должна быть устроена таблица? Одна команда (скажем, команда D) всем проиграла – 0 очков. Остальные 3 ко­манды выигрывали по кругу: А у В, В у С, С у А. Тогда у трех команд будет по 12 очков. И одна из них должна будет покинуть чемпионат.

Почему нельзя не выйти в следующий этап с 13 очками? Пред­положим, что вы набрали 13 или больше очков, почему вы точно знаете, что вы вышли в следующий этап?

Подсказка. Если бы кто‑то с 13 баллами не вышел, то две ко­манды, которые вышли, имели бы не меньше, чем 13.

Теперь поговорим о том, с какой горы на сколько кило­метров видно.

Я залез на Хибинские горы, могу ли я видеть Мурманск, ко­торый находится на расстоянии 100 км от гор? Ответ: на самом горизонте – смогу (если сопки около Мурманска не помешают).

Сейчас мы получим точную формулу для максимальной види­мости.

Уже первые шаги вверх от земли сразу дают очень большую видимость.

С поверхности ничего не видно. Ноль, он и есть ноль. Горизонт стянулся в точку. Чуть‑чуть выше нуля поднялись, на 10 санти­метров, и сразу видно примерно на километр (это если Земля – идеальный шар). Обозначим высоту горы за h. Расстояние до цен­тра земли обозначим за R и 6400 км. Эта числовая величина нам также пригодится, когда мы будем решать задачу про Алису.

Посмотрим на рис. 88. Я хочу знать, чему равно L, то есть на сколько километров видно? Здесь есть одна тонкость.

 

Рис. 88. Земля в разрезе. Расстояние от центра до вершины горы R + /;. расстояние от центра до точки касания R. Через L обозначено расстояние от вершины до точки касания.

Вдали будет горизонт. А вот если с другой стороны (за горизон­том) имеется такая же гора высоты h. то ее видно вдвое дальше. А если там гора высоты ^ то всё равно гораздо дальше, чем просто до горизонта (рис. 89).

 

Один раз при мио па Байкале видный ученый совершил детскую ошибку. Он сказал: «Мы никак не можем видеть горы, которые на­ходятся в районе Улан‑Удэ. Не можем, потому что...» и даль­ше привел вычисления по формуле, которую мы сейчас выведем. Я говорю: «Ты не учитываешь, что мы сами сейчас не на Байкале, а на сильном возвышении». «О...». говорит: «Конечно, это всё удваивает». На Байкале очень здорово наблюдать, что Земля круглая. Племена, которые жили на Байкале, наверняка издавна знали, что Земля круглая.

Помните теорему Пифагора? У нас образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой R + h и катетами R и L. Значит.

(R + /г)² = R ²  + L ² .

 

R² + 2 Rh + К² = R² + L².

Страшная величина (квадрат радиуса Земли) сокращается, и оста­ется:

 

I² = h² + 2 Rh.

Здесь нужно быть не только математиком, но и физиком для то­го, чтобы сказать, что К ², в общем‑то, равно нулю.

Потому что по сравнению с двойным радиусом земли Н ²  очень маленькое число. Это вещи несопоставимые, в том смы­сле, что первая подавляюще больше, чем вторая. Поэтому, чтобы без лишних усилий оценить, на сколько километров видно, доста­точно положить Н ²  = 0 и написать:

 

l = Vmh.

Что здесь важно понимать? Что 2 R величина постоянная, ко­рень из нее равен 113. А если совсем грубо то просто 100.

Есть такая оценочная формула:

= mVh,

\fh эта функция, которая сначала очень быстро возрастает, а по­сле отхода от нуля увеличивается медленно (см. рис. 90).

 

Чуть‑чуть h отлично от нуля, прямо самую малость, а корень уже очень большой. Поэтому и получается, что вы чуть‑чуть под­няли голову от Земли и: «О! Уже хорошо видно!» Давайте немного покрутим эту формулу.

Вот при h = 1 км с Хибин видно на 100 км, а более точный результат – действительно – на 113 километров. 113 километров вполне достаточно, чтобы увидеть Мурманск с Хибинских гор.

Слушатель: То есть на один градус, а точнее, на 1,0128 гра­дуса.

А.С.: Да, на один градус. С километра видно на 1 градус.