Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2022-05-12 | 37 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Уравнение прямой линейной регрессии представляет собой уравнение прямой:
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 (3.6)
Для нахождения коэффициентов в этом уравнении используется метод наименьших квадратов (МНК), т.к. он даёт наименьшую ошибку:
∑𝑁 [𝑦𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖)]2 → 𝑚𝑖𝑛 (3.7)
𝑖=1
[𝑦𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖)]2) = 0
�𝜕𝑎
𝑖=1
(3.8)
𝜕𝑏
𝑖=1
−2 ∑𝑁 [𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖] = 0
� 𝑖=0
|
(3.9)
∑𝑁
𝑦𝑖 − 𝑎 ∙ 𝑁 − 𝑏 ∙ ∑𝑁 𝑥𝑖 = 0
� 𝑁
𝑖=0
𝑖=0
𝑁 𝑁 2
(3.10)
∑𝑖=0 𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑎 ∙ ∑𝑖=0 𝑥𝑖 − 𝑏 ∙ ∑𝑖=0 𝑥𝑖 = 0
|
𝑁
|
𝑦𝑖−𝑏∙∑𝑁
|
𝑥𝑖
= 𝑦� − 𝑏𝑥̅
|
|
𝑖=0
𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − (𝑦� − 𝑏𝑥̅) ∙ ∑
𝑥𝑖 − 𝑏 ∙ ∑𝑁
𝑥𝑖2 = 0
Преобразуем далее второе уравнение системы (3.11):
|
𝑥𝑖2 − 𝑥̅ ∙ ∑𝑁
𝑥𝑖) = ∑𝑁
𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑦� ∙ ∑
𝑥𝑖
(3.12)
|
|
|
|
𝑏 ∙ 𝑁 ∙ (�𝑥�2� − 𝑥̅2) = 𝑁 ∙ (�𝑥�𝑦� − 𝑦� ∙ 𝑥̅) (3.14)
|
𝑥��2�−𝑥̅2
(3.15)
Коэффициенты уравнения прямой линейной регрессии:
𝑏 = �𝑥�𝑦�−𝑦�∙𝑥̅
� �𝑥�2�−𝑥̅2
𝑎 = 𝑦� − 𝑏𝑥̅
(3.16)
Уравнение прямой регрессии принимает вид:
𝑦 = 𝑦� + 𝑏(𝑥 − 𝑥̅) (3.17)
Произведем промежуточные вычисления, необходимые для нахождения численного значения коэффициентов, пользуясь исходными данными из таблицы 3.1. Результаты промежуточных вычислений представлены в таблице 3.4.
Таблица 3.5. Данные для нахождения коэффициентов регрессии.
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | Среднее |
x | 20 | 40 | 60 | 80 | 50 |
y | 0,405 | 0,708 | 0,807 | 0,945 | 0,716 |
x*y | 8,1 | 28,32 | 48,42 | 75,6 | 40,1 |
𝒙𝟐 | 400 | 1600 | 3600 | 6400 | 3000 |
𝒚𝟐 | 0,164025 | 0,501264 | 0,651249 | 0,893025 | 0,552 |
|
3000−50
𝑎 = 0,716 − 0,00859 ∙ 50 = 0,2865 (3.19)
Окончательно уравнение прямой линейной регрессии:
ℎ(𝑁) = 0,716 + 0,00859 ∙ (𝑁 − 50) (3.20)
ℎ(𝑁) = 0,00859 ∙ 𝑁 + 0,2865 (3.21)
Уравнение обратной линейной регрессии имеет вид:
𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑦 (3.22)
Вывод аналогичен приведенному для уравнения прямой линейной регрессии, x и y в формулах меняются местами. Получаем:
|
� 𝑦� �2�−𝑦�2
𝑐 = 𝑥̅ − 𝑑𝑦�
(3.23)
𝑥 = 𝑥̅ + 𝑑(𝑦 − 𝑦�) (3.24)
|
0,552−0,716
𝑐 = 50 − 109,138 ∙ 0,716 = −28,17 (3.26)
Окончательно уравнение обратной линейной регрессии:
𝑁(ℎ) = 50 + 109,138 ∙ (ℎ − 0,716) (3.27)
𝑁(ℎ) = 109,138 ∙ ℎ − 28,17 (3.28)
Углы наклона прямых:
𝛼𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑏 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0,00859) = 0,492° (3.29)
𝛼𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(109,138) = 89,475° (3.30)
𝛽 = 90° − �𝛼𝑥 + 𝛼𝑦� = 0,033° (3.31)
Коэффициент парной корреляции:
𝑟̂ = √𝑏 ∙ 𝑑 = 0,968
𝑇 = 𝑟 ⋅ √𝑛 − 2 = 0,968 ⋅ √65 − 2 = 30,6
√1 − 𝑟2 �1 − 0, 9682
Критерий Стьюдента по приложению 3 для степени свободы n-2 = 63 и уровня значимости α = 0,05:
𝑡табл = 1,6706 < 30,6
Полученное значение больше табличного, гипотеза отвергается. Коэффициент корреляции значительно отличается от нуля, между h и N существует взаимосвязь.
Рис. 3.7. Экспериментальные точки и линии прямой и обратной регрессии.
Проверка данных по среднему и дисперсии с применением критериев Стьюдента и Фишера
По заданию (Табл. 1.1) требуется проверить гипотезу о принадлежности к одной генеральной совокупности средних значений и дисперсий выборок для 20 и 40 обработанных отверстий. Выборки взяты из Табл. 1.3 и сведены в отдельную таблицу:
Таблица 3.6: Выборки значений h (мм) для заданных значений N, со средними значениями и дисперсиями.
№ | N, шт. | № | N, шт. | ||
20 | 40 | 20 | 40 | ||
1 | 0,3 | 1,3 | 13 | 0,2 | 0,25 |
2 | 0,3 | 0,5 | 14 | 0,6 | 1 |
3 | 0,7 | 0,6 | 15 | 0,35 | 0,8 |
4 | 0,2 | 0,8 | 16 | 0,2 | 0,8 |
5 | 0 | 0,7 | 17 | 0 | 0,9 |
6 | 1 | 1 | 18 | 0,3 | 0,4 |
7 | 0,5 | 0,9 | 19 | 0,15 | 0,2 |
8 | 0,5 | 0,7 | 20 | 0,2 | 0,4 |
9 | 0,2 | 0,6 | 21 | 0,3 | 0,9 |
10 | 0,8 | 0 | 22 | 0,1 | 0,5 |
11 | 0,4 | 0,9 | ℎ�, мм. | 0,368 | 0,643 |
12 | 0,8 | 0 | 𝑆2, мм2 | 0,069 | 0,108 |
Проверка по средним значениям
Проведем проверку гипотезы о принадлежности средних значений двух выборок к одной генеральной совокупности с применением критерия Стьюдента. Для проверки по данному критерию воспользуемся формулой:
𝑡 = |𝑥�� 𝑎 � − 𝑥 � � 𝑏 � | ∙ � 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 (𝑛 𝑎 + 𝑛 𝑏 − 2), (3.32)
�𝑛𝑎𝑆2−𝑛𝑏𝑆2
𝑛𝑎+𝑛𝑏
𝑎 𝑏
где 𝑥�𝑎�, 𝑥� 𝑏� - средние значения выборок,
𝑛𝑎, 𝑛𝑏 - объемы выборок,
∑𝑛𝑎 (𝑥𝑎𝑖 − 𝑥̅𝑎)2 ∑𝑛𝑏 (𝑥𝑏𝑖 − 𝑥̅𝑏)2
𝑆2 = 𝑖=1 , 𝑆2 = 𝑖=1 ,
𝑎
𝑥𝑎𝑖, 𝑥𝑏𝑖 − i-тые элементы выборок.
𝑛𝑎 − 1 𝑏
𝑛𝑏 − 1
𝑡 = |0,643−0,368|
√22∙0,108−22∙0,069
∙ �22∙22∙(22+22−2) = 6,381 (3.33)
|
𝑓 = 𝑛𝑎 + 𝑛𝑏 − 2 = 22 + 22 − 2 = 42 и уровня значимости 𝛼 = 0,05; 𝑡табл = 2,018.
𝑡 > 𝑡табл - гипотеза отвергается, средние значения двух выборок не относятся к одной генеральной совокупности.
Проверка дисперсий
Проведем проверку гипотезы о принадлежности дисперсий двух выборок к одной генеральной совокупности с применением критерия Фишера.
Критерий Фишера:
Где 𝑆2 > 𝑆2.
2
|
|
1
2 1
𝐹 = 0,108 = 1,565 (3.35)
0,069
Сравниваем данное значение с табличным (Приложение 4). Для чисел степеней свободы
𝑓1 = 𝑛1 − 1 = 22 − 1 = 21; 𝑓2 = 𝑛2 − 1 = 22 − 1 = 21 и уровня значимости 𝛼 = 0,05, 𝐹табл = 2,05.
𝐹 < 𝐹табл - гипотеза принимается, дисперсии двух выборок относятся к одной генеральной совокупности.
Выводы
o Анализ выборки N показал отсутствие грубых ошибок при проведении эксперимента, это означает, что условия проведения эксперимента нарушены не были, оператор не допустил ошибок, однако данная выборка не подчиняется нормальному закону распределения, согласно проверке по критерию САО, проверке по размаху, проверке с помощью ЭВМ в ПО «NORM».
o Расчет по корреляционной таблице для N и h показал, что между этими двумя параметрами существует положительная корреляция: большим значениям N соответствуют большие значения h.
o В результате аппроксимации данных графическим способом и на ЭВМ было установлено, что с наибольшим по модулю коэффициентом корреляции R=-0,9956, зависимость h(N) аппроксимирует степенная функция ℎ = 1,940335 − 3,76897 ∗ 𝑏 ∙ 𝑁−0,3.
o Вывод уравнений линейной регрессии показал, что углы наклона линий прямой и обратной регрессии отличаются незначительно, найденный по ним коэффициент корреляции так же близок к единице и равен 𝑟̂ = 0,968. Это говорит о том, что экспериментальная зависимость близка к линейной.
o В результате проверки средних значений выборок h для двух разных чисел отверстий установлено, что они не относятся к одной генеральной совокупности. Это значит, что износ инструмента неодинаков для разного количества обработанных отверстий. Проверка дисперсий для этих двух выборок показала, что они относятся к одной генеральной совокупности. Это значит, что измерения износа были выполнены с одинаковой точностью для этих двух выборок.
Приложения
Приложение 1
Табл. 5.1. Квантили распределения максимального относительного отклонения 𝑟1−𝑃.
n | Уровень значимости α |
n | Уровень значимости α | ||||||
0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | ||
4 | 1,65 | 1,69 | 1,71 | 1,72 | 15 | 2,33 | 2,49 | 2,64 | 2,8 |
5 | 1,79 | 1,87 | 1,92 | 1,96 | 16 | 2,35 | 2,52 | 2,67 | 2,84 |
6 | 1,89 | 2 | 2,07 | 2,13 | 17 | 2,38 | 2,55 | 2,7 | 2,87 |
7 | 1,97 | 2,09 | 2,18 | 2,27 | 18 | 2,4 | 2,58 | 2,73 | 2,9 |
8 | 2,04 | 2,17 | 2,27 | 2,37 | 19 | 2,43 | 2,6 | 2,75 | 2,93 |
9 | 2,1 | 2,24 | 2,35 | 2,46 | 20 | 2,45 | 2,62 | 2,78 | 2,96 |
10 | 2,15 | 2,29 | 2,41 | 2,54 | 21 | 2,47 | 2,64 | 2,8 | 2,98 |
11 | 2,19 | 2,34 | 2,47 | 2,61 | 22 | 2,49 | 2,66 | 2,82 | 3,01 |
12 | 2,23 | 2,39 | 2,52 | 2,66 | 23 | 2,5 | 2,68 | 2,84 | 3,03 |
13 | 2,26 | 2,43 | 2,56 | 2,71 | 24 | 2,52 | 2,7 | 2,86 | 3,05 |
14 | 2,3 | 2,46 | 2,6 | 2,76 | 25 | 2,54 | 2,72 | 2,88 | 3,07 |
Приложение 2
Табл. 5.2. Критические границы отношения R/S
n |
Нижние границы |
Верхние границы | ||
а=0,05 | а=0,10 | а=0,10 | а=0,05 | |
8 | 2,5 | 2,59 | 3,308 | 3,399 |
10 | 2,67 | 2,76 | 3,57 | 3,685 |
12 | 2,8 | 2,9 | 3,78 | 3,91 |
14 | 2,92 | 3,02 | 3,95 | 4,09 |
16 | 3,01 | 3,12 | 4,09 | 4,24 |
18 | 3,1 | 3,21 | 4,21 | 4,37 |
20 | 3,18 | 3,29 | 4,32 | 4,49 |
25 | 3,34 | 3,45 | 4,53 | 4,71 |
30 | 3,47 | 3,59 | 4,7 | 4,89 |
35 | 3,58 | 3,7 | 4,84 | 5,04 |
40 | 3,67 | 3,79 | 4,96 | 5,16 |
45 | 3,75 | 3,88 | 5,06 | 5,26 |
50 | 3,83 | 3,95 | 5,14 | 5,35 |
Приложение 3
Табл. 5.3. Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия)
для некоторых значений доверительной вероятности P и числа степеней свободы v.
Приложение 4
Табл. 5.4. Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости 𝛼 = 0,05.
𝛼 = 0,05 | 𝑓1 | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 | 24 | ||
𝑓2 | 1 | 161,45 | 199,5 | 215,72 | 224,57 | 230,17 | 233,97 | 238,89 | 243,91 | 249,04 |
2 | 18,51 | 19 | 19,16 | 19,25 | 19,3 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | |
3 | 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | |
4 | 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | |
5 | 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | |
6 | 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4 | 3,84 | |
7 | 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | |
8 | 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | |
9 | 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,23 | 3,07 | 2,9 | |
10 | 4,96 | 4,1 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | |
11 | 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,2 | 3,09 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | |
12 | 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3 | 2,85 | 2,69 | 2,5 | |
13 | 4,67 | 3,8 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,77 | 2,6 | 2,42 | |
14 | 4,6 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,7 | 2,53 | 2,35 | |
15 | 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,9 | 2,79 | 2,64 | 2,48 | 2,29 | |
16 | 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | |
17 | 4,45 | 3,59 | 3,2 | 2,96 | 2,81 | 2,7 | 2,55 | 2,38 | 2,19 | |
18 | 4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2,51 | 2,34 | 2,15 | |
19 | 4,38 | 3,52 | 3,13 | 2,9 | 2,74 | 2,63 | 2,48 | 2,31 | 2,11 | |
20 | 4,35 | 3,49 | 3,1 | 2,87 | 2,71 | 2,6 | 2,45 | 2,28 | 2,08 | |
21 | 4,32 | 3,47 | 3,07 | 2,84 | 2,68 | 2,57 | 2,42 | 2,25 | 2,05 | |
22 | 4,3 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,4 | 2,23 | 2,03 | |
23 | 4,28 | 3,42 | 3,03 | 2,8 | 2,64 | 2,53 | 2,38 | 2,2 | 2 | |
24 | 4,26 | 3,4 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 1,98 |
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!