Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-12-12 | 39 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим на кривой точки и секущую . При движении точки по этой кривой к точке секущая займет свое предельное положение .
Касательной к данной кривой в точке называется прямая , являющаяся предельным положением секущей при стремлении точки по кривой к точке .
Найдем угловой коэффициент невертикальной секущей и угловой коэффициент невертикальной касательной:
,
.
Из этого равенства вытекает геометрический смысл производной.
Значение производной равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой в точке с абсциссой : .
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной к кривой, называется нормалью к этой кривой. Угловой коэффициент нормали
.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
, где .
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
.
Физический смысл производной заключается в том, что значение производной есть скорость изменения функции в точке . Поэтому
1) если задан закон движения материальной точки по прямой , то скорость движения , а ускорение есть «скорость изменения скорости», то есть ;
2) если есть количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то есть сила тока;
3) если есть количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то есть скорость химической реакции.
Дифференцируемые функции. Дифференциал
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде: , где не зависит от , а функция является бесконечно малой при
Линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается , то есть .
|
Справедлива следующая теорема.
Теорема 8.1. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует конечная производная ; при этом .
, .
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Если функция дифференцируема, то она непрерывна. |
Действительно, для дифференцируемой функции . Отсюда следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть, функция непрерывна.
Непрерывная функция может не быть дифференцируемой. |
Производная суммы, произведения, частного
Отыскание производных непосредственно по определению неудобно и сложно. Для этого существуют ряд правил и формул.
Теорема 8.2. Пусть функции − дифференцируемы. Тогда сумма, разность, произведение этих функций, а при и частное, будут дифференцируемы, причем
, , .
Дифференциалы суммы, произведения, частного дифференцируемых функций вычисляются по формулам:
, , .
Производная сложной функции
Пусть , а . Тогда сложная функция с промежуточным аргументом , независимым аргументом .
Теорема 8.3. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и для ее производной справедлива формула: .
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!