Л а б о р а то р н а я  р а б о т а  № 1.8

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИ РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА

 

Цель работы: 1) изучение влияния параметров разрядной цепи на процесс разряда конденсатора; 2) приобретение навыков применения электронного осциллографа для исследования переходных процессов.

 

Общие сведения

 

Процессы, происходящие при изменении режима электрической цепи, называют переходными. Они возникают в цепях, содержащих индуктивные и емкостные элементы, и обусловлены тем, что энергия магнитного и электрического полей не изменяется мгновенно.

Расчет токов и напряжений переходного режима производят с помощью уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. В электрической цепи с постоянными параметрами R, L, C эти уравнения представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение линейного дифференциального уравнения равно сумме частного решения данного уравнения и общего решения его (при равенстве нулю правой части).

Частное решение находят для установившегося режима, полученные при этом токи и напряжения называют принужденными ().

Токи и напряжения, полученные в результате общего решения уравнения без правой части, называют свободными (). Постоянные интегрирования уравнений для свободных составляющих определяют из начальных условий, используя два закона коммутации:

1. Ток в ветви с индуктивностью не изменяется скачком.

2. Напряжение на емкостном элементе не изменяется скачком.

Алгебраическая сумма принужденной и свободной составляющих дает ток или напряжение переходного режима:

 

.

Рассмотрим переходный процесс при разряде конденсатора, заряженного до напряжения U ₀, через резистор с сопротивлением R (рис. 8.1, а).

 

 

Рис. 8.1

 

По второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации

 

.

 

Так как , то .

Принужденная составляющая отсутствует, поэтому

 

,

 

где  – постоянная времени – это время, за которое свободная составляющая уменьшается в e = 2,718 раз;

 – коэффициент затухания.

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий:

при

 

, т.е. .

Выражения для напряжения на конденсаторе при его разряде и тока разряда (рис. 8.1, б) имеют вид

 

.

 

В процессе разряда конденсатора вся энергия его электрического поля превращается в тепло в резисторе R:

 

.

 

При подключении заряженного конденсатора к катушке с активным сопротивлением R и индуктивностью L (рис. 8.2, а) в зависимости от соотношения параметров R, L, C возможен апериодический или периодический (колебательный) разряд конденсатора.

В случае апериодического разряда напряжение на конденсаторе u_c и ток i изменяются только по величине, не изменяя направления. С энергетической точки зрения это означает, что запасенная в конденсаторе энергия электрического поля  преимущественно поглощается в сопротивлении R и лишь небольшая часть переходит в энергию магнитного поля катушки . Начиная с некоторого момента времени, в тепло преобразуется не только оставшаяся энергия электрического поля конденсатора, но и энергия, запасенная в магнитном поле катушки.

При колебательном разряде напряжение u_c и ток i изменяются как по величине, так и по направлению. Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в активном сопротивлении. В процессе колебаний первоначально запасенная энергия  постепенно преобразуется в тепло в активном сопротивлении и рассеивается в окружающем пространстве.

 

Рис. 8.2

 

Процессы, возникающие в контуре (рис. 8.2, а), описываются следующим дифференциальным уравнением:

 

.                             (8.1)

 

Принужденный режим в цепи отсутствует и ; . Подставляя значение  в уравнение (8.1), после дифференцирования получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

 

,                     (8.2)

 

которому соответствует характеристическое уравнение

 

.

 

Решение уравнения (8.2), т.е. характер разряда конденсатора, зависит от вида корней характеристического уравнения

 

,

 

которые могут быть действительными разными, действительными равными и комплексными сопряженными.

Апериодический разряд имеет место, если корни действительные и различные, т.е.

 

.

 

В этом случае напряжение и ток

 

;

 

.

 

Кривые изменения напряжения на емкости и тока контура приведены на рис. 8.2, б.

Предельный случай апериодического разряда – критический разряд – имеет место, если

 

,

 

где R _кр – критическое сопротивление – такое наименьшее сопротивление контура, при котором процесс разряда еще имеет апериодический характер.

 

Колебательный разряд конденсатора будет при условии, если

 

 

Корни в этом случае комплексные и сопряженные

 

,

 

где  – коэффициент затухания;

 – угловая частота свободных колебаний цепи R, L, C;

 – период свободных колебаний.

Выражения напряжения u_c и тока i при колебательном разряде конденсатора

 

;

 

.

 

Кривые изменения u_c и i в функции времени даны на рис. 8.3. Они представляют собой затухающие синусоидальные колебания с угловой частотой свободных колебаний  и коэффициентом затухания d, зависящими от параметров контура R, L, C.

 

 

 

Рис. 8.3

 

Кривые u_c и i касаются огибающих  и  (изображены пунктиром), когда синус равен единице. При  ордината огибающей в  раз меньше начального значения огибающей. Поэтому величину  называют постоянной времени колебательного контура.

Сопротивление R оказывает существенное влияние на скорость колебательного разряда конденсатора. Кроме того, по мере увеличения R уменьшается частота свободных колебаний w_св и увеличивается их период Т _св. Когда ; ; , что соответствует апериодическому разряду.

В настоящей работе процесс разряда конденсатора исследуется с помощью электронного осциллографа, на экране которого наблюдаются кривые напряжения и тока конденсатора. Для этой цели необходимо, чтобы разряд конденсатора периодически повторялся во времени с определенной частотой, что достигается с помощью быстродействующего поляризованного реле РП (рис. 8.4).

 

Рис. 8.4

 

При подключении обмотки реле к источнику переменного напряжения средний контакт начинает вибрировать с частотой сети (; ), периодически замыкая контакты реле. При этом в левом положении контакта конденсатор заряжается до напряжения U ₀, в правом – разряжается. Пренебрегая временем переключения контактов, можно считать, что процесс разряда конденсатора, наблюдаемый на экране осциллографа, длится  секунды.

Предварительное задание к эксперименту

 

При заданных в табл. 8.1 параметрах цепи R и C:

1) рассчитать постоянную времени t цепи разряда конденсатора через резистор (см. рис. 8.1);

2) вычислить критическое сопротивление R _кр цепи рис. 8.2, а при разряде конденсатора на катушку индуктивности с параметрами ;

3)определить частоту свободных колебаний w_св и коэффициент затухания d колебательного контура R, L, C. Полученные значения записать в табл. 8.2.

 

Т а б л и ц а  8.1

 

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8
R, Ом	21	21	35	35	70	70	49	91
C, мкФ	10	3	10	3	10	3	10	3