Научно-исследовательская деятельность.

В области научно-исследовательской деятельности способность и готовность:

 ─ принимать участие в научно-исследовательских работах в качестве исполнителя, выполняя техническую работу с применением компьютерных технологий;

 ─ обрабатывать результаты научно-исследовательской работы, оформлять материалы для получения патентов и авторских свидетельств, готовить к публикации научные статьи и оформлять технические отчеты;

 Экспериментальная деятельность.

В области экспериментальной деятельности способность и готовность:

─ участвовать в разработке технического задания и программы проведения экспериментальных работ.

1.2. Задачами дисциплины являются изучение основных понятий линейной алгебры и дифференциального исчисления функций нескольких переменных; формирование способности применять стандартные методы и модели к решению типовых задач сопоставлять различные методы решения задачи, обосновывать выбор аналитического метода решения задачи; овладение принципами математических рассуждений и математических доказательств, методами математического моделирования и анализа.

 

1.3. Изучение дисциплины основано на следующих курсах  учебного плана:

1. Математический анализ

2. Аналитическая геометрия

1.4. После освоения данной дисциплины студент подготовлен к изучению следующих курсов учебного плана.

1. Интегралы и дифференциальные уравнения.

2. Кратные и криволинейные интегралы, ряды.

3. Теория функций комплексного переменного.

4. Теоретическая механика.

5. Физика.

6. Уравнения математической физики.

7. Теория вероятностей и математическая статистика.

8. Случайные процессы.

9. Дискретная математика.

10. Численные методы.

11. Методы оптимизации.

 

  

Приобретаемые компетенции

 

После освоения дисциплины студент должен приобрести следующие знания, умения и навыки, соответствующие компетенциям, определяемым основной образовательной программой (ООП)

После освоения дисциплины студент должен приобрести следующие знания, умения и навыки, соответствующие компетенциям, определяемым основной образовательной программой (ООП).

 

Студент должен знать

основные определения, понятия и теоремы курса;

аксиоматику линейного и евклидова пространств; преобразование координат векторов, вычисления в ортонормированном базисе, линейные операторы, собственные векторы и собственные значения, квадратичные формы и их приложения;

правила дифференцирования функций нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в геометрии, физике и технике;

методы исследования функции нескольких переменных на условный и безусловный экстремумы.

 

Студент должен уметь

применять стандартные методы к решению типовых задач;

записывать в координатах и преобразовывать при замене базиса основные объекты линейной алгебры (векторы, линейные операторы, квадратичные формы);

дифференцировать функции нескольких переменных, исследовать их на экстремум.

Студент должен иметь навыки

применения аналитических методов линейной алгебры и функций нескольких переменных в практических исследованиях.

 

3. Структура дисциплины

Для специальностей без итогового контроля в виде отдельного модуля

Семестр 1	Трудоемкость в кредитн. ед.	Часы общ. / ауд.	Контрольные мероприятия	Рейтинг макс. / мин.
Модуль 1 Линейная алгебра	2	60 / 34	ДЗ№1, Контроль по модулю (РК)	50 / 30
Модуль 2 Функции нескольких переменных	2	59 / 34	ДЗ№2 или КР,   Контроль по модулю (РК)	50 / 30

Для специальностей с итоговым контролем в виде отдельного модуля

Семестр 1	Трудоемкость в кредитн. ед.	Часы общ. / ауд.	Контрольные мероприятия	Рейтинг макс. / мин.
Модуль 1 Линейная алгебра	1,5	49 / 34	ДЗ№1, Контроль по модулю (РК)	35 / 22
Модуль 2 Функции нескольких переменных	1,5	40 / 34	ДЗ№2 или КР,   Контроль по модулю (РК)	35 / 22
Модуль 3 Итоговый контроль	1	30		30/16

 

4. Содержание дисциплины

Виды учебной работы

Виды учебной работы

Объем в часах по семестрам

Всего 02 семестр 17 недель Лекции 34 34 Семинары 34 34 Лабораторные работы     Практические занятия     Самостоятельная работа 51 51 Итого в часах 119 119 Итого в зачетных единицах 4 4 Проверка знаний:   Зачет или экзамен

Семестр 2

Модуль 1 Линейная алгебра

      Аксиоматика линейного пространства. Примеры линейных пространств. Следствия из аксиом. Линейные комбинации векторов, линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Размерность линейного пространства. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Подпространства линейных пространств, их свойства, размерность. Линейная оболочка системы векторов. Ранг системы векторов.

Скалярное произведение, аксиомы скалярного произведения. Евклидово пространство. Примеры. Неравенство Коши — Буняковского. Норма вектора, неравенство треугольника. Ортогональная система векторов, ее линейная независимость. Существование ортонормированного базиса (процедура ортогонализации Грама — Шмидта). Матрица Грама и её свойства.

Понятие линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора, ее преобразование при замене базиса, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Подобные матрицы.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен, его инвариантность относительно базиса. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва). Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.  Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе. Самосопряженный оператор. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора. Существование в евклидовом пространстве ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные матрицы и их свойства. Ортогональные операторы и их матрицы. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования.

Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи.  Преобразование квадратичной формы при замене базиса. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Модуль 2 Функции нескольких переменных      

Функция нескольких переменных (ФНП) как отображение вида . График ФНП. Примеры ФНП и их геометрическое представление. Линии (поверхности) уровня. Окрестности, открытые, замкнутые и ограниченные множества в . Связные множества, области. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.    Свойства ФНП, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве в .

Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для . Дифференцируемые ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Дифференцируемость сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Неявно заданные функции. Теорема о неявной функции.

Производная ФНП по направлению. Градиент функции и его свойства. Уравнения касательной и нормали к линии уровня функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Экстремум ФНП. Необходимые и достаточные условия экстремума ФНП. Частный случай — функция двух переменных. Условный экстремум функции двух переменных. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточные условия условного экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение . Координатные функции. Геометрическая интерпретация ВФНП в случае . Предел и непрерывность ВФНП. Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Матрица Якоби, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае. Теорема об обратной функции.