Глава 5. Билинейные и квадратичные формы

ГЛАВА 5. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Билинейные формы

Определение билинейной формы и ее различные формы записи

    

Определение. Билинейной формой на линейном пространстве  над полем  называется функция  двух векторных аргументов, принимающая значения из поля , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям.

1*.  : ;

2*.  : ;

3*.  : ;

4*.  : .

Рассмотрим n -мерное линейное пространство  и выберем в нем какой-либо базис:

                                                                                        (5.1)

Каждый вектор пространства  можно разложить по этому базису: . Тогда

          .           (5.2)

Из (5.2) видно, что значение билинейной формыдля любых двух векторов  и  выражается через координаты этих векторов и некоторые числа , которые с аргументами  и  не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим

                                          .                                      (5.3)

Из (5.2) вытекает

                                .                       (5.4)

Равенство (5.4) называется координатной формой записи билинейной формы.

Определение. Матрицей билинейной формы  в базисе (5.1) называется матрица , где .

Обозначим, как обычно,

,  –

координатные столбцы векторов  и  соответственно в заданном базисе. Заметим, что  – число, которое можно рассматривать как матрицу размеров . В таком случае (5.4) можно переписать и так: , откуда получаем

                                     .                                         (5.5)

Это равенство называется матричной формой записи билинейной формы.

Итак, если в  задан базис, то каждой билинейной форме на линейном пространстве  соответствует единственная матрица В – матрица этой билинейной формы в заданном базисе. Докажем, что верно и обратное утверждение.

Теорема 5.1. Пусть в линейном пространстве  задан какой-либо базис (5.1). Тогда для любой квадратной матрицы , на линейном пространстве  существует единственная билинейная форма , матрица которой в заданном базисе совпадает с В, т. е. такая, для которой выполняется условие 5.3).

► Построение. Положим по определению:

Линейность.

 :

;

.

Таким образом, линейность  по первому аргументу доказана. Аналогично проверяется линейность и по второму аргументу.

Выполнение условия (5.3). Так как  (т. е. i -я координата вектора  равна , а j- я координата вектора  – ), то .

Единственность. Предположим, что существует еще одна билинейная форма , не совпадающая с формой , для которой выполняется (5.3). Тогда

,

и мы пришли к противоречию.◄

Таким образом, если в  задан какой-либо базис, то между множеством билинейных форм на линейном пространстве  и множеством квадратных матриц n -го порядка с элементами из поля Р устанавливается

взаимно однозначное соответствие.

Квадратичные формы

    

Определение.Квадратичной формой, соответствующей симметричной билинейной форме  на линейном пространстве V, называется функция одного векторного аргумента .

Пусть задана квадратичная форма ,  – соответствующая ей симметричная билинейная форма. Тогда

,

откуда вытекает, что по квадратичной форме соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже определяется однозначно. Итак, между симметричными билинейными и квадратичными формами на линейном пространстве V  устанавливается взаимно однозначное соответствие, поэтому квадратичные формы можно изучать с помощью симметричных билинейных форм.

Рассмотрим n -мерное линейное пространство . Матрицей квадратичной формы в заданном базисе линейного пространства  называется матрица соответствующей ей симметричной билинейной формы в том же базисе. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.

Обозначим  матрицу квадратичной формы в некотором базисе пространства . Если, как обычно, обозначить Х координатный столбец вектора  в том же базисе, то из равенства 5.5 получаем матричную форма записи квадратичной формы:

                                       .                                          

Теорема 5.4. Пусть в линейном пространстве   заданы два базиса

                                                                                    (5.10)

и

                                       ,                                     (5.11)

и пусть  и  – матрицы квадратичной формы в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. Тогда , где Т – матрица перехода от (5.10) к (5.11).

Доказательство вытекает из теоремы 5.2 и определения матрицы квадратичной формы.

В связи с тем, что матрица перехода Т является невырожденной, то при переходе к новому базису ранг матрицы квадратичной формы не меняется. Поэтому можно сформулировать следующее определение.

Определение. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве , называется ранг ее матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства  (обозначается ).

Теперь запишем квадратичную форму в координатном виде. Для этого вектор  разложим по базису (5.10): . Если  – матрица квадратичной формы  в том же базисе, то в соответствии с равенством (5.4)имеем

                  –                                   (5.12)

координатная форма записи квадратичной формы. Распишем (5.12) подробно при n = 3, учитывая, что

.  (5.13)

Итак, если в   задан базис, то квадратичная форма в координатной записи выглядит как однородный многочлен второй степени от n переменных – координат вектора в данном базисе. Этот многочлен называется видом квадратичной формы  в заданном базисе. Но в приложениях часто такие многочлены возникают самостоятельно, без видимой связи с линейными пространствами (например, вторые дифференциалы функций), поэтому мы сформулируем еще одно определение квадратичной формы.

Определение. Квадратичной формой от n переменных  называется однородный многочлен второй степени от этих переменных, т. е. функция вида (5.12). Матрицей квадратичной формы (5.12) называется симметричная матрица .

Пример составления матрицы квадратичной формы. Пусть

.        (5.14)

Из (5.12) и (5.13) видно, что коэффициент при  совпадает с , т.е. диагональные элементы матрицы квадратичной формы – это коэффициенты при квадратах. Точно так же видим, что  – половина коэффициента при произведении . Таким образом, матрица квадратичной формы (5.14) выглядит так:

.

Выберем теперь в пространстве  опять два базиса (5.10) и (5.11) и обозначим, как обычно,  – координатные столбцы вектора  в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. При переходе от базиса (5.10) к базису (5.11) координаты вектора меняются по закону:

                                                  ,                                    (5.15)

где  - матрица перехода от (5.10) к (5.11). Заметим, что матрица  – невырожденная. Запишем равенство (5.15) в координатной форме:

                                        ,                                         (5.16)

или подробно:

                                                        (5.17)

С помощью равенства (5.17) (или (5.16), что одно и то же) от переменных  переходим к переменным .

Определение. Линейным невырожденным преобразованием переменных называется преобразование переменных, заданное системой равенств (5.16) или (5.17), или одним матричным равенством (5.15), при условии, что  – невырожденная матрица. Матрица Т называется матрицей этого преобразования переменных.

Если в (5.12) вместо переменных  подставить их выражения через переменные  по формулам (5.17), раскрыть скобки и привести подобные, то получим другой однородный многочлен второй степени: 

.

В этом случае говорят, что линейное невырожденное преобразование переменных (5.17) переводит квадратичную форму  в квадратичную форму . Значения переменных  и , связанные соотношением (5.15) (или соотношениями (5.16) либо (5.17)), будем называть соответствующими при заданном линейном невырожденном преобразовании переменных.

Определение. Набор переменных называется нетривиальным, если в нем значение хотя бы одной из переменных отлично от нуля. В противном случае набор переменных называется тривиальным.

Лемма 5.2. При линейном невырожденном преобразовании переменных тривиальному набору переменных соответствует тривиальный набор.

►Из равенства (5.15), очевидно, вытекает: если , то и . С другой стороны, используя невырожденность матрицы Т, опять же из (5.15) получаем , откуда видно, что при , также и .◄

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных нетривиальному набору переменных соответствует нетривиальный набор.

Теорема 5.5. Если линейное невырожденное преобразование (5.15) переводит квадратичную форму  с матрицей А в квадратичную форму  с матрицей А', то  (другая формулировка теоремы 5.4).

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняет знака.

Замечание. В отличие от матрицы перехода и матрицы линейного оператора, матрица линейного невырожденного преобразования переменных пишется не по столбцам, а по строкам.

Пусть заданы два линейных невырожденных преобразования переменных:

                                 ,                                 (5.18)

и

                                 .                              (5.19)

Применим их последовательно:

                          .                 (5.20)

Композицией линейных невырожденных преобразований переменных (5.18) и (5.19) называется их последовательное применение, т. е. преобразование переменных  Из (5.20) видно, что композиция двух линейных невырожденных преобразований переменных также является линейным невырожденным преобразованием переменных.

Определение. Квадратичные формы называются эквивалентными, если существует линейное невырожденное преобразование переменных, переводящее одну из них в другую.

                                     

Квадратичных форм

Назовем r -м усечением квадратичной формы

                                                                  (5.24)

квадратичную форму . Пусть

 –

матрица квадратичной формы (5.24). Главными минорами матрицы А называются ее миноры, расположенные в левом верхнем углу. Будем обозначать  главный минор r -го порядка матрицы А. Очевидно, что  совпадает с определителем матрицы квадратичной формы .

Теорема 5.9 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительными. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы нечетного порядка были отрицательными, а четного – положительными.

► Доказательство для положительной определенности.

Необходимость. Дано: квадратичная форма положительно определена. Тогда для любого нетривиального набора переменных , значит, положительно определена и квадратичная форма , и поэтому , на основании следствия к теореме 5.8.

Достаточность. Дано: . Доказательство проведем методом математической индукции по количеству переменных.

1. Проверяем утверждение при . Имеем , т. е. квадратичная форма k положительно определена.

2. Пусть утверждение верно для квадратичных форм от (n –1)-й переменной. Докажем его для квадратичных форм от n переменных.

Так как , то, по предположению индукции, квадратичная форма  положительно определена, а значит, существует линейное невырожденное преобразование переменных

 

                                                  (5.25)

с матрицей , приводящее  к нормальному виду . Рассмотрим следующее преобразование переменных:

                       .                   (5.26)

Если Т – матрица преобразования (5.26), то , а значит, (5.26) – линейное невырожденное преобразование переменных. Применив (5.26) к форме (5.24), получаем:

[(5.26)]

                 .    (5.27)

Обозначим  и положим

 

                                                      (5.28)

 

Очевидно, (5.28) – линейное преобразование переменных с матрицей

 

.

 

Так как , то (5.28) – линейное невырожденное преобразование переменных, которое переводит квадратичную форму (5.27) в квадратичную форму

                .                     (5.29)

Применяя к форме (5.24) композицию преобразований (5.26) и (5.28), получаем квадратичную форму (5.29). Таким образом, (5.29) эквивалентна исходной квадратичной форме (5.24).

Обозначим  матрицу формы (5.29). Так как при линейном невырожденном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняет знака и так как det A = , то

.

Поэтому квадратичная форма (5.32) положительно определена согласно теореме 5.8, а значит, положительно определена и исходная квадратичная форма.

Доказательство для отрицательной определенности. Обозначим ,  – матрицу квадратичной формы ,  – главные миноры матрицы . Тогда

{ k отрицательно определена} {  положительно определена}

◄

Замечание. Можно доказать, что если хотя бы один минор четного порядка матрицы квадратичной формы есть число отрицательное, то эта квадратичная форма знаконеопределена.

Определение. Симметричная билинейная форма называется положительно определенной, если положительно определена соответствующая ей квадратичная форма.

ГЛАВА 5. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Билинейные формы