Методы расчёта эквивалентных сопротивлений

а) метод эквипотенциальных узлов

Если в цепи, содержащей сопротивления, имеются точки, потенциалы которых равны, то такие точки можно рассматривать как один узел. Потенциал же такого узла равен общему значению потенциалов точек, сведённых в данный узел. Операция сведения в один узел правомочна, так как электрические условия в этих точках не изменяются при соединении их проводником, не имеющим сопротивления. Нахождению эквипотенциальных точек часто помогает симметрия включения участков цепи.

 

3. Найти сопротивление участка цепи между точками А и В. Считать сопротивление каждого проводника равным R.

Решение:

Точки С и D симметричны относительно прямой, проходящей через точки А и В. Следовательно, потенциалы φ_C и φ_D равны. Соединив точки С и D в один узел, получим эквивалентную схему, которую можно разложить на элементы последовательного и параллельного соединений. Сопротивление между точками А и В можно рассчитать, используя вышеприведённые схемы.

 

4. Вычислить сопротивление участка цепи АВ,изображённого на рисунке. Считать сопротивление каждого проводника, заключённого между двумя узлами, равным R.

Решение:

Если к точкам А и В присоединить источник тока, то потенциалы точек 2 и 5 будут равны и эти точки можно объединить в один узел, не изменив при этом сопротивления цепи. Аналогичные рассуждения справедливы и для точек 1 и 6, которые могут быть представлены другим узлом. В результате получаем новую эквивалентную схему цепи, сопротивление которой равно .

 

б) метод исключения участков цепи

Идея этого метода состоит в том, чтобы исключить участок цепи, включённый между двумя эквипотенциальными узлами. Полученная схема будет эквивалентна исходной, так как по исключённому участку ток не “течёт”.

 

5. Найти сопротивление участка цепи, изображённого на рисунке, между точками А и В. Сопротивление каждого участка R.

Решение:

 

Из соображений симметрии видно, что токи на участках АС и AD равны. Поэтому узлы С и D имеют одинаковые потенциалы. После исключения участка CD получим эквивалентную цепь, сопротивление которой равно R /2.

6. Определить сопротивление участка цепи между точками А и В. Все сопротивления между соседними точками одинаковы и равны R.

Решение: 

 

Участок цепи между точками 4 и 5 можно исключить, так как потенциалы этих точек одинаковые. Точки 4 и 5 симметрично расположены относительно прямой, проходящей через точки А и В цепи. Указанные ниже эквивалентные схемы позволяют получить окончательный ответ: .

7. Имеются N клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми сопротивлениями R. Определить сопротивление между любыми двумя клеммами.

Решение:

Рассмотрим вспомогательную схему. Две клеммы А и В соединены друг с другом сопротивлением R. Остальные (N – 2) клеммы соединены с А и В такими же проводниками, сопротивления которых R. Таким образом, имеем сопротивление R и параллельно ему включённые ветви сопротивлением 2 R. Всего таких ветвей будет (N – 2). Следовательно, общее сопротивление между точками А и В такой схемы:

.

 

Из симметрии видно, что если между клеммами А и В создать разность потенциалов, то потенциалы остальных (N – 2) клемм будут равны между собой, т. е. сопротивление этих участков можно не учитывать. Окончательно:

.

в) метод размножения узлов

Операция, обратная той, которая была изложена ранее в методе эквипотенциальных узлов, т. е. замена одного узла несколькими эквипотенциальными не нарушит электрических условий в остальной части цепи.

 

8. Определить сопротивление участка цепи между точками А и В. Сопротивления отдельных участков одинаковы и равны R.

Решение:

В этой задаче можно вместо узла О изобразить три узла О ₁, О ₂, О ₃, так как разность потенциалов между точками:

;

;

.

Следовательно, φ_О1 = φ_О2 = φ_О3 и узлы О ₁, О ₂, О ₃ эквипотенциальны. Окончательный ответ: .

 

9. Вычислить сопротивление цепей, схемы которых изображены на рисунках (а, б, в). Считать сопротивление каждого проводника, заключённого между двумя узлами, равным R.

Решение:

Поскольку ни одна из приведённых выше цепей не содержит ни одной пары проводников, соединённых между собой последовательно или параллельно, то необходимо обратить внимание на возможную симметрию цепей. В данном случае точки входа и выхода каждой цепи лежат на осях симметрии. В результате получим следующие эквивалентные схемы:

 

г) метод расчёта сопротивлений, основанный на замене проводников, включённых треугольником на проводники, включённые звездой (и наоборот)

 

Предложенный метод позволяет быстро рассчитать сопротивления участков цепи в том случае, когда не удаётся установить симметричного распределения токов.

Имеются три узла (точки 1, 2, 3) электрической схемы, между которыми включены сопротивления R ₁, R ₂, R ₃ по схеме треугольника, как показано на рис.а.

 

Рассчитаем сопротивления r ₁, r ₂, r _3, которые необходимо подключить по схеме "звезда" (рис. б), чтобы сопротивления между точками 1, 2, 3 не изменилось.

В первом случае сопротивление между точками 1–2 получается из выражения

,

.

 

Во втором случае (рис. б) сопротивление между точками 1 и 2 равно

r ₁₂ = r ₁ + r ₂.

Аналогично для точек 2 и 3 (R ₂₃) и 1 и 3 (R ₁₃) имеем:

,         r ₂₃ = r ₂ + r ₃,

                           ,     r ₁₃ = r ₁ + r ₃.

По условию задачи r ₁₂ = R ₁₂, r ₂₃ = R ₂₃, r ₁₃ = R ₁₃.

Из этих уравнений получаем:

     

 

10. Найти сопротивление участка цепи между точками А и В, если сопротивления между узлами указаны на рисунке (а).

Решение:

Сопротивления R ₁, R ₂, R ₃, из участка цепи между точками 1, 2, 3 (рис. а) включены по схеме "треугольник". Данный участок цепи можно заменить на эквивалентный, включённый по схеме "звезда" с сопротивлениями r ₁, r ₂, r ₃. Эквивалентная схема представлена на рис. б.

 

 

Общее сопротивление между точками А и В равно:

,

где

 

д) расчёт сопротивлений участков цепи с использованием правил Кирхгофа

При расчёте разветвлённой цепи данным методом следует применять следующий порядок:

- произвольно выбрать направления токов во всех участках разветвлённой цепи, отметив их стрелками на чертеже;

- при составлении уравнений для узлов токи считать положительными, если они втекают в узел и отрицательными, если они вытекают из узла;

- следует помнить, что число независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа, всегда на одно меньше числа узлов, имеющихся в данной цепи;

- выбрать направление обхода контуров цепи;

- написать уравнения, соответствующие второму правилу Кирхгофа, соблюдая правило знаков: токи, совпадающие с направлением обхода, записывать со знаками "+", обратные направлению обхода – со знаками "–". ЭДС считать положительными, если они повышают потенциал в направлении обхода (при обходе по контуру сначала встречается отрицательный полюс источника, затем положительный);

- если в полученном ответе какой-либо ток будет иметь отрицательный знак, то это указывает на ошибочность первоначального выбора направления данного тока.

Лабораторная работа № 4