Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2021-03-17 | 57 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Экспоненциальное распределение (считается, что это самый тяжелый случай), при котором вероятность завершения обслуживания за время t равна:
,
где –– интенсивность обслуживания заявок, которая связана со средним временем обслуживания заявок: = 1/ , где .
Смещенное экспоненциальное распределение –– всегда есть некоторая постоянная составляющая времени на прием заявки.
Регулярное обслуживание –– время обслуживания есть величина постоянная (нет случайного процесса).
По наличию взаимопомощи в обслуживании заявок
По наличию взаимопомощи в обслуживании заявок выделяют:
· без взаимопомощи –– заявка обслуживается с интенсивностью µ одним из n параллельно работающих устройств (многоканальное устройство).
· со взаимопомощью –– предполагается, что процесс обслуживания заявки, поступающей на вход n -канального устройства, возможно распределить между n каналами, например, делением (декомпозицией) процесса на n равноценных по времени выполнения подпроцессов, тогда интенсивность обслуживания одной заявки возрастает до n µ.
ТЕМА 4. Построение аналитических моделей типовых схем СМО - на примерах одно- и многоканальных СМО без очереди (с отказами) и с ограниченной очередью
Замечание. При построении АМ есть очень важные аспекты, на которые надо особо обратить внимание на такие понятия как: 1) понятие состояния СМО, 2) граф состояний, 3) проставление на графе интенсивностей переходов СМО из одного состояния в другое (особенно для графов многоканальных СМО).
Что такое состояние системы? – это общее количество заявок в системе - в устройстве (или в устройствах) на обслуживании и в очереди (или в очередях).
|
Что такое интенсивность? – это количество заявок за единицу времени – появляются или обслуживаются… В литературе по теории массового обслуживания принято интенсивность вх. потока обозначать λ, а интенсивность обслуживания обозначать µ (мю). Отношение λ/µ = ρ (ро-не путать с р, P).
Построение моделей расчёта характеристик одноканальных систем
Одноканальная Система с одноместной очередью
Рассмотрим систему М/М/1/1 –– это одноканальная система с одноместной очередью, поток заявок и обслуживание экспоненциальные.
Структурная схема системы показана на Рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 –– Одноканальная СМО с одноместной очередью
Эта система имеет три состояния:
1. S0 –– система свободна (устройство обслуживания не занято, очередь пуста).
2. S1 –– устройство занято, очередь пуста.
3. S2 –– система занята (устройство и место в очереди заняты).
Граф состояний системы показан на Рисунок 4.2.
Рисунок 4.2 –– Граф состояний одноканальной СМО с одноместной очередью
Система уравнений Колмогорова, построенная по графу состояний, имеет вид:
– λ P 0 + µ P 1=0; (1)
λ P 0 – (λ+µ) P 1 +µ P 2=0; (2)
λ P 1 – µ P 2=0; (3)
P 0 + P 1+ P 2 =1. (4)
Особенностью системы уравнений Колмогорова является то, что одно уравнение всегда лишнее, но только не последнее – нормирующее. Одно из уравнений, например, уравнение (2), из данной системы уравнений удалим как избыточное: для определения 3 неизвестных (вероятности состояний) достаточно трёх уравнений, включая обязательное –– нормирующее уравнение.
– λ P 0 + µ P 1=0; (1) – λ P 1 – µ P 2=0; (2)
|
P 0 + P 1+ P 2 =1 (3)
Из (1) находим .
Из (2) находим .
Тогда уравнение (3) получаем в виде , из которого получаем
P 0 = 1/(1+ ρ + ρ2) = (1– ρ)/(1– ρ3),
так как 1+ ρ + ρ2 = (1– ρ3)/(1– ρ) –– как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой b 1=1, знаменатель q = ρ.
4.1.2. Одноканальную СМО с ограниченной очередью длины m –– систему М/М/1/m.
Структурная схема этой системы аналогична схеме системы М/М/1/1, только длина очереди не 1, а m. Граф состояний системы показан на Рисунке 4.3.
Система имеет m + 2 состояния:
· S 0 –– система свободна;
· S 1 –– устройство занято, очереди нет;
· S 2 –– в очереди 1 заявка;
· S 3 –– в очереди 2 заявки;
· …
· Sm –– в очереди m – 1 заявка;
· Sm +1 –– в очереди m заявок (следующей заявке будет отказано).
Система уравнений КОЛМОГОРОВА:
–λ P 0 + µ P 1 = 0;
λ P 0 –(λ+µ) P 1 +µ P 2 = 0;
λ P 1 – (λ +µ) P 2 + µ P 3 = 0;
…
λ Pm– 1 – (λ +µ) Pm + µ Pm+ 1 = 0;
λ Pm – µ Pm +1 = 0;
P 0 + P 1 + P 2 + … + Pm + Pm +1 = 1 или .
Используя результаты, полученные при расчете характеристик системы М/М/1/1, здесь будем иметь следующие результаты решения системы уравнений:
P 1 = ρ P 0;
P 2 = ρ2 P 0;
P 3 = ρ3 P 0;
…
Pm = ρ m P 0;
Pm +1 = ρ m +1 P 0.
P 0 =1/(1+ ρ+ ρ2+ ρ3 +.... + ρ m +1) = (1 – ρ)/(1 – ρ m +2), так как в знаменателе снова имеем геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем ρ<>1.
Характеристики одноканальной СМО с ограниченной очередью:
1. Вероятность простоя системы P 0 = (1 – ρ)/(1 – ρ m +2).
2. Вероятность потерь (отказов): , ρ<>1.
3. Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок) .
4. Абсолютная пропускная способность А = λ q –– интенсивность потока обслуженных заявок.
5. Среднее число заявок в очереди .
Вероятности соответствующего числа заявок в очереди:
· нет заявок в очереди P 0 + P 1;
· одна заявка в очереди P 2;
· две заявки в очереди P 3 и т.д.
= 1ρ2 P 0 + 2 ρ3 P 0 +...+ m ρ m +1 P 0 = ρ2 P 0(1 + 2ρ +...+ m ρ m –1) =
= ρ P 0 = .
Ряд, представленный в полученном выражении суммой, можно свернуть, но получаемая при этом формула сложна. Вот что получается
|
При вычислениях (особенно на компьютере) удобнее воспользоваться выражением
= ρ P 0 .
6. Среднее число заявок на обслуживании вычисляется по формуле:
= 0* P 0 + 1*(1 – P 0),
так как в состоянии S0 на обслуживании заявок нет заявок, а в остальных состояниях на обслуживании находится одна заявка (как при отсутствии очереди, так и наличии её!).
Для вероятности 1– P 0 получаем
1 – P 0 = ((1 – ρ m +2) – (1 – ρ))/(1 – ρ m +2) = (ρ – ρ m +2)/(1 – ρ m +2).
Поэтому
= (ρ – ρ m +2)/(1 – ρm+2).
7. Среднее число заявок в системе (в очереди и на обслуживании):
.
8. Среднее время ожидания в очереди определяется из следующих соображений.
первая заявка в очереди ждет, пока будет обработана заявка, находящаяся на обслуживании в приборе, вторая заявка в очереди ждет, пока будут обработаны заявка, находящаяся в приборе, и первая заявка в очереди, т.е. пока будут обработаны две заявки, и т.д.
Вероятность нахождения заявки только в канале равна P 1, вероятность того, что длина очереди равна 1, равна P 2 и т.д.
Воспользовавшись формулой оценки математического ожидания случайной величины, получаем среднее время ожидания заявки в очереди
Умножив и разделив это выражение на ρ, получаем
9. Среднее время пребывания заявки в системе
.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!