Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-02-01 | 95 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть Х – случайная величина, а М (Х) = а – ее математическое ожидание. Математическое ожидание – средняя характеристика случайной величины. Однако оно не достаточно полно характеризует случайную величину Х, поскольку имеется множество различных распределений с одинаковым средним значением.
Важной характеристикой распределения ДСВ является рассеяние возможных значений случайной величины Х от ее среднего значения а. Для этого рассматривают отклонение (Х – а), т. е. разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием а. Отклонение (Х – а) – также случайная величина. По свойствам математического ожидания М (Х – а) = М (Х) – М (а) = а – а = 0, т. е. среднее значение отклонения всегда равно нулю и не может служить характеристикой рассеяния. Это происходит потому, что при усреднении отрицательные и положительные отклонения компенсируются. Чтобы избежать этого, рассматривают квадрат отклонения (Х – а)2 – неотрицательную случайную величину.
Закон распределения квадрата отклонения (Х – а)2 имеет вид:
(xi – а)2 | (х 1 – а)2 | (х 2 – а)2 | … | (х n – а)2 |
pi | р 1 | р 2 | … | р n |
Дисперсией (рассеянием) случайной величины Х называется
математическое ожидание квадрата отклонения:
= (х 1 – а)2· р 1+ (х 2 – а)2· р 2 + … + (х n – а)2 ·р n.
Дисперсия D (X) – это ожидаемое среднее значение квадратов отклонений. Она служит мерой рассеяния (разброса) значений xi случайной величины X от ее среднего значения а = М (Х).
Очевидно, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Чтобы определить меру рассеяния в тех же единицах, что и случайная величина Х, из дисперсии извлекают квадратный корень и получают характеристику – среднее квадратическое отклонение (СКО):
|
σ(Х) = .
СКО – это мера рассеяния (разброса) значений x i случайной величины X от ее среднего значения а в единицах случайной величины Х.
Пример 5. Найдем дисперсию и СКО случайной величины Х из примера 1.
Решение. Используя закон распределения случайной величины Х, полученный в примере 1:
xi | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,08 | 0,44 | 0,48 |
и значение математического ожидания М (Х) = 1,4, найденное в примере 2, по формуле для вычисления дисперсии, получим:
D (X) = (0 – 1,4)2·0,08 + (1 – 1,4)2·0,44 + (2 – 1,4)2·0,48 =
=1,96· 0,08 + 0,16 ·0,44 + 0,36·0,48 = 0,1568 + 0,0704 + 0,1728 = 0,4.
СКО: σ(Х) = = ≈ 0,63.
Таким образом, основные значения случайной величины Х: Х ≈ 1,4 ± 0,63, т. е. находятся в диапазоне от 0,77 до 2,03, что хорошо согласуется с данными закона распределения случайной величины Х.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0.
2. Постоянный множитель С можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D (С·Х) = С 2· D (Х).
3. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий:
D (Х ± Y) = D (Х) + D (Y).
Это свойство справедливо для любого конечного количества независимых случайных величин.
4. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод:
D (X + C) = D (X),
где С – постоянная величина.
Пример 6. Известны дисперсии независимых случайных величин X и Y: D (Х) = 1 и D (Y) = 3. Найти дисперсию случайной величины Z = 4 X – 2 Y + 7.
Решение. D (Z) = D (4 X – 2 Y + 7) = 42· D (Х) + 22· D (Y) + D (7) =
= 16·1 + 4·3 + 0 = 28.
5.5. Расчетная формула для вычисления дисперсии
Как видно из предыдущего примера, вычислять дисперсию исходя из ее определения довольно сложно даже для закона распределения с небольшим количеством значений случайной величины Х. Можно получить более простую формулу для вычисления дисперсии, если воспользоваться определением дисперсии и свойствами математического ожидания:
|
D (X) = M [(X – a)2] = М (Х 2 – 2 Х·а + а 2) = М (Х 2) – М (2 Х·а) + М (а 2) =
= М (Х 2) – 2 а· М (Х) + а 2 = М (Х 2) – 2 а·а + а 2 = М (Х 2) – а 2.
Здесь учтено, что М (Х) = а. Используя этот факт еще раз, окончательно получим:
D (X) = М (Х 2) – М 2(Х).
Это и есть расчетная формула для вычисления дисперсии, где
Пример 7. Вычислим дисперсию случайной величины Х, из примера 1 по найденной расчётной формуле.
Решение. Имеем распределениеслучайной величины Х:
х i | 0 | 1 | 2 |
р i | 0,08 | 0,44 | 0,48 |
Тогда, М (Х) = 0·0,08 + 1·0,44 + 2·0,48 = 1,4;
М (Х2) = 02·0,08 + 12·0,44 + 22·0,48 = 1·0,44 + 4·0,48 = 2,36;
D (X) = М (Х 2) – М 2(Х) = 2,36 – 1,42 = 2,36 – 1,96 = 0,4,
что совпадает с результатом, полученным в примере 5.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!