Описание математических методов расчета

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью работы является проект цифрового режекторного фильтра.

В соответствии с техническим заданием расчет цифрового фильтра необходимо произвести двумя методами с использованием различного количества отсчетов импульсной характеристики.

В ходе работы должен быть проведен анализ предметной области, анализ требований, предъявляемых к объекту проектирования, расчет необходимых параметров, оценка погрешности, оформление документации.

АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ ТЗ

 

В задании на курсовую работу требуется рассчитать цифровой режекторный фильтр, который должен иметь следующие параметры:

приведенная нижняя частота задержания 1: 0.2,

приведенная верхняя частота задержания 1: 0.31,

приведенная нижняя частота пропускания 1: 0.13,

приведенная верхняя частота пропускания 1: 0.4.

Расчет следует провести методом частотной выборки и методом наименьших квадратов. Количество отсчетов, для которых необходим расчет импульсных характеристик задано 11, 19 и 33 для каждого из методов расчета.

ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ

 

В соответствии с заданием на курсовую работу, необходимо использовать метод частотной выборки и метод наименьших квадратов.

Для проведения расчетов импульсных было принято решение использовать пакет математического моделирования MathCad 11 Professional фирмы MathSoft Inc. Данный пакет обладает необходимой вычислительной мощностью, содержит значительный набор математических функций и методов, а также предлагает дружественный интерфейс пользователя. Согласно методике, описанной во второй главе, были сформулированы необходимые вычислительные уравнения. Результаты их решения по методу частотной выборки с количеством отсчетов равным 11, 19, 33 представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 - Решение по методу частотной выборки

i	N=11	N=19	N=33
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-0.025	-0.014	7.345e-4
1	-0.063	0.025	5.882e-3
2	-8.189e-3	0.021	-4.457e-3
3	0.273	-0.025	-2.086e-3
4	0.018	-1.154e-3	8.274e-4
5	0.61	-0.084	-5.247e-3
6	0.018	-0.035	-6.28e-3
7	0.273	0.283	-5.3e-3
8	-8.189e-3	0.024	0.03
9	-0.063	0.612	0.02
10	-0.025	0.024	-0.025
11		0.283	-8.947e-4
12		-0.035	-0.089
13		-0.084	-0.034
14		-1.154e-3	0.28
15		-0.025	0.024
16		0.021	0.621
17		0.025	0.024
18		-0.014	0.28
19			-0.034
20			-0.089
21			-8.947e-4
22			-0.025
23			0.02
24			0.03
25			-5.3e-3
26			-6.28e-3
27			-5.247e-3
28			8.274e-4
29			-2.086e-3
30			-4.457e-3
31			5.882e-3
32			7.345e-4

 

Необходимо отметить, что отсчеты импульсной характеристики h(i) симметричны:

 

 для  (23)

 

Результаты вычисления отсчетов импульсной характеристики по методу наименьших квадратов представлены в таблице 2.

 

Таблица 2 - Решение по методу наименьших квадратов

i	N=11	N=19	N=33
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-2.033e-3	-5.807e-3	-2.304e-3
1	-0.09	0.032	3.808e-3
2	-0.034	0.022	-3.432e-4
3	0.281	-0.025	-3.718e-4
4	0.024	-2.033e-3	1.332e-3
5	0.31	-0.09	-7.085e-3
6	0.024	-0.034	-8.398e-3
7	0.281	0.281	-5.807e-3
8	-0.034	0.024	0.032
9	-0.09	0.31	0.022
10	-2.033e-3	0.024	-0.025
11		0.281	-2.033e-3
12		-0.034	-0.09
13		-0.09	-0.034
14		-2.033e-3	0.281
15		-0.025	0.024
16		0.022	0.31
17		0.032	0.024
18		-5.807e-3	0.281
19			-0.034
20			-0.09
21			-2.033e-3
22			-0.025
23			0.022
24			0.032
25			-5.807e-3
26			-8.398e-3
27			-7.085e-3
28			1.332e-3
29			-3.718e-4
30			-3.432e-4
31			3.808e-3
32			-2.304e-3

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В результате проделанной работы были получены расчеты шести цифровых режекторных фильтров, синтезированных различными методами, а именно методом частотной выборки и методом наименьших квадратов при количестве отсчетов N=11, 19, 33.

Согласно данным, представленным в таблице 5, оба метода дают близкое приближение аппроксимируемой функции к желаемой. Как и ожидалось, с ростом количества отсчетов N, точность цифрового фильтра возрастает.

Метод наименьших квадратов дает несколько более точные результаты, чем метод частотной выборки, но является более сложным с точки зрения количества вычислительных операций.

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью работы является проект цифрового режекторного фильтра.

В соответствии с техническим заданием расчет цифрового фильтра необходимо произвести двумя методами с использованием различного количества отсчетов импульсной характеристики.

В ходе работы должен быть проведен анализ предметной области, анализ требований, предъявляемых к объекту проектирования, расчет необходимых параметров, оценка погрешности, оформление документации.

АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ ТЗ

 

В задании на курсовую работу требуется рассчитать цифровой режекторный фильтр, который должен иметь следующие параметры:

приведенная нижняя частота задержания 1: 0.2,

приведенная верхняя частота задержания 1: 0.31,

приведенная нижняя частота пропускания 1: 0.13,

приведенная верхняя частота пропускания 1: 0.4.

Расчет следует провести методом частотной выборки и методом наименьших квадратов. Количество отсчетов, для которых необходим расчет импульсных характеристик задано 11, 19 и 33 для каждого из методов расчета.

ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

 

Цифровые системы - это системы с цифровыми сигналами на входе и выходе. Их ядром обычно является ЭВМ. Часто встречаются термины цифровой фильтр или система цифрового управления, которые ярко отражают основную область применения этих систем. Нередко систему цифрового управления, так же называют цифровым фильтром. Цифровой фильтр - это дискретно-временная система, выходной сигнал которой является модифицированной версией входного сигнала. Они относятся к классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным x(i) и выходным y(i) дискретными сигналами определяется следующим разностным уравнением[3]:

 

 (1)

Здесь пределы суммирования N и M и величины  и  коэффициентами (параметрами) фильтра, причем коэффициенты  и  могут быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени i.

В соответствии с общим определением передаточных функций систем автоматического управления передаточной функцией H(z) ЦФ называют отношение z-образов выходного Y(z) и входного X(z) сигналов при нулевых начальных условиях:

 

H(z)=Y(z)/X(z) (2)

 

Комплексные частотные характеристики представляют собой функции частоты , полученные в результате подстановки (где j мнимая единица,  - шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала). Модуль комплексной частотной характеристики , называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме. Аргумент комплексной частотной характеристики , называемый фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала устойчивого фильтра.

Для нерекурсивных фильтров с вещественными коэффициентами справедливы следующие соотношения для АЧХ и ФЧХ[1]:

 

 (3)

 (4)

Импульсная характеристика ЦФ h(i) представляет собой реакцию фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде единичного дискретного скачка:

 

 (5)

 

Из этого определения следует, что импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

 

 (6)

 (7)

На этапе проектирования фильтра необходимо решить следующие задачи: выбрать тип фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида), выбрать аппроксимируемую функцию , задающую требования к заданной частотной характеристике, выбрать аппроксимирующую функцию:

 

 (8)

 

при заданных значениях частоты. При этом, если это равенство обеспечивается без всякого критерия, то задача является неоптимизационной, если же используется какой-либо критерий, то аппроксимационная задача является оптимизационной. Для режекторного фильтра аппроксимируемая функция принимает значения:

 (9)

 

АЧХ проектируемого фильтра:

 

Рис. 1

 

Аппроксимирующая функция  должна удовлетворять следующим требованиям:

вектор коэффициентов {c} должен быть связан с вектором значений импульсной характеристики {h(i)};

функция  должна просто зависеть от вектора аппроксимирующая функция выглядит следующим образом:

 

 (10)

 

Для первого выражения формулы (10) ; , при к=0,1,2… , для второго , при k=0,1,2… .

Метод частотной выборки

При расчете цифрового фильтра методом частотной выборки первым способом дискретизации частоты основываясь на формуле (6) импульсные характеристики рассчитываются следующим образом:

 

 (11)

 

Частотная характеристика записывается в виде:

 

 (12)

 

Фазочастотная характеристика принимается равной при четном N

 

 (13)

при нечетном N

 

 (14)

 

Метод наименьших квадратов

Оптимизационные методы различаются критерием аппроксимации, уточняющим смысл соотношения

 

.(15)

 

Наиболее часто используют два основных критерия аппроксимации: среднеквадратичный критерий, минимизирующий среднеквадратичную погрешность аппроксимации:

 

(16)

 

и наилучший равномерный (чебышевский) критерий, минимизирующий абсолютную погрешность аппроксимации:

 

, .(17)

 

Критерии (16) и (17) могут применяться раздельно и совместно - каждый для определенной области частот.

Метод наименьших квадратов - позволяет при заданных величинах w1, w2 и функциях B(w) и Ф(w,{с}) определить вектор коэффициентов {с}, минимизирующий целевую функцию:

(18)

 

Необходимые и достаточные условия минимума (18) имеют вид уравнений:

 

(19)

 

где K зависит от четности или нечетности N и принимает значения
(N-1)/2 или N/2-1.

С учетом выражения (11) уравнения (19) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов  и, следовательно, значений импульсной характеристики h(i):

 

(20)

где

;(21)

.(22)

 

Решая систему (20) любым из известных методов решения линейных алгебраических уравнений можно получить искомый вектор коэффициентов .