Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2021-04-18 | 53 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.
Доказательство неравенств с минимальным числом переменных
а1*b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда
= a1b1.
Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.
Случай с двумя последовательностями из двух переменных
Если = a1b1. то =а1b1+а2b2
Теорема 1. Пусть (а1а2) (b 1 b 2) – одномонотонные последовательности. Тогда
Доказательство
Действительно,
– =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2)
Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак. Поэтому
(a1-a2) (b1-b2) 0.
Теорема доказана.
Упражнения
Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1
Упражнение №1.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство
a3 +b3 a2b+b2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
a3 +b3 = , a2b+b2a =
А так как последовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то
А это значит, что a3 +b3 a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Докажем это же неравенство, но другим способом.
Значит a3 +b3 a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.
Упражнение №2.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство.
а2+b2.
Доказательство.
Заметим, прежде всего, что
|
а2+b2 = , ,
А так как последовательности (), () одномонотонны, то
.
Что и требовалось доказать.
Случай с двумя последовательностями из трех переменных
Рассмотрим последовательность (а1,а2,а3) и (b 1, b2,b3), и запишем в виде таблицы
Если последовательность (а1,а2,а3) (b1, b2 ,b3) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наибольшим из чисел b 1,b2,b3, а второе по величине а1,а2,а3 находиться над вторым по величине из чисел b 1,b2,b3, и где наименьшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наименьшим из чисел b 1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.
Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, то =а1b1+а2b2+a3b3
Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.
Лемма. Если (а1, а2, …а n) и (b 1, b2,… bn) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.
Доказательство.
Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.
=а1b1+а2b2.
Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть
=
Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.
=а1b1+а2b2+a3b3.
Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть
а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =
Лемма доказана
Теорема 2. Пусть (а1 а2 а3), (b1 b2 b 3) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем ) любая перестановка чисел b1 b2 b 3. Тогда
.
Доказательство.
Действительно, если последовательность отличается от (b1 b2 b3) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть
|
, так как .
Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана
Упражнения
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!