Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

 

Позолотина Наталья Андреевна, 9^б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)

 

Новосибирск 2008

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

- сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

- графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.

 

1. Основные понятия и определения

 

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

 

Z = N  -N  {0}

 

Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые обычными дробями в виде , где m є Z, n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде .

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

 

R=Q  I

 

Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: ,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<c a<c

b) a b, b a a=b

c) a b a+c b+c

d) a 0 -a 0

 

Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f₁(x)>f₂(x) ц₁(x)>ц₂(x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f₁(x)>f₂(x) ц₁(x)>ц₂(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N

1) Проверяем правдивость Р(1)

2) Предполагаем, что P(k) истинно

3) Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида ( а₁ а₂ … а_n )( b₁ b_{2 …} b_n ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ а₂ … а_n находится над наибольшим числом из чисел b₁ b_{2 …} b_n и второе по величине из чисел а₁ а₂ … а_n над вторым по величине из чисел b₁ b_{2 …} b_n и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …(d ₁, d ₂,…, d _n) это число вида

 

= а₁b₁…d₁+а₂b₂…d₂+ …+a_nb_n…d_n

 

Доказательство

Действительно,

 

 – =a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁ = (a₁-a₂) (b₁-b₂)

 

Так как последовательности (а₁а₂)(b₁b₂) одномонотонны, то числа a₁-a₂ и b₁-b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

 

(a₁-a₂) (b₁-b₂)  0.

 

Теорема доказана.

 

Упражнения

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

 

=а₁b₁+а₂b₂.

 

Заметим, что а₁b₁+а₂b₂ = а₂b₂+ а₁b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

 

=

 

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

 

=а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃.

 

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

 

а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃= (a₃b₃+а₂b₂)+ а₁b₁ =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а₁ а₂ а₃), (b₁ b₂ b ₃) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем ) любая перестановка чисел b₁ b₂ b ₃. Тогда

 .

Доказательство.

Действительно, если последовательность  отличается от (b₁ b₂ b₃) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа  и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

 

, так как .

 

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

 

a³+b³+c³ a²b+b²c+c²a.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

a³+b³+c³= , a²b+b²c+c²a =

 

А так как последовательности (a², b², c²), (a, b, c) одномонотонны, то

 

.

 

А это значит, что a³+b³+c³ a²b+b²c+c²a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

 

.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

 

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

 

,

.

 

Складывая эти неравенства, мы получаем

 

.

 

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

 

.

 

Вычислив, получаем

 

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b₁ b_{2 …} b_n) то найдется пара чисел k, l (1 k<l n) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и  и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

 

,

так как .

 

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого n N верно

.

 

Доказательство.

 

 

Но последовательности (а₁ а₂ … а_n) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

 (а₁ а₂ … а_n) и ()

 

Поэтому

 

Следствие

Для любого n N верно

 

 

(Неравенство Чебышева).

Доказательство.

В силу теоремы 3 справедливы следующие n неравенства

 

 

Значит

 

 

В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически.

Складываем все и получаем

 

 

Что и требовалось доказать

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

 

a³+b³+c³+d³ a²b+b²c+c²d+d²a.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

a³+b³+c³+d³= , a²b+b²c+c²d+d²a = .

 

А так как последовательности

 

(a², b², c ², d³), (a, b, c, d)

 

одномонотонны, то

 

.

 

А это значит, что a³+b³+c³+d³ a²b+b²c+c²d+d²a.

Что и требовалось доказать.

Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла.

Доказательство.

Действительно, если последовательность (a₁, а₂, …а_n), (b'₁, b'₂,…b'_n), …, (d'₁, d'₂,…,d'_n) отличается от (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …, (d₁, d₂,…,d_n), то найдутся переменные k, l (1 k<l n) такие, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) …(d_k, d_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа , , a_k, a_l … d_k, d_l мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То

есть

 

,

так как .

 

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Пример

Упражнение 1

Пусть а₁, а₂, …а_n - положительные вещественные числа.

Докажите, что

Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами

Доказательство.

Перепишем его в виде:

 

, введя новые переменные

Имеем

Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши.

неравенство одномонотонный последовательность коши

Заключение

 

Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.

Список использованной литературы

1. Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.

2. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.

3. Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4

4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.

 

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

 

Позолотина Наталья Андреевна, 9^б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)

 

Новосибирск 2008

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

- сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

- графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.

 

1. Основные понятия и определения

 

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

 

Z = N  -N  {0}

 

Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые обычными дробями в виде , где m є Z, n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде .

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

 

R=Q  I

 

Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: ,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<c a<c

b) a b, b a a=b

c) a b a+c b+c

d) a 0 -a 0

 

Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f₁(x)>f₂(x) ц₁(x)>ц₂(x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f₁(x)>f₂(x) ц₁(x)>ц₂(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N

1) Проверяем правдивость Р(1)

2) Предполагаем, что P(k) истинно

3) Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида ( а₁ а₂ … а_n )( b₁ b_{2 …} b_n ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ а₂ … а_n находится над наибольшим числом из чисел b₁ b_{2 …} b_n и второе по величине из чисел а₁ а₂ … а_n над вторым по величине из чисел b₁ b_{2 …} b_n и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …(d ₁, d ₂,…, d _n) это число вида

 

= а₁b₁…d₁+а₂b₂…d₂+ …+a_nb_n…d_n