В которой мы рассматриваем понятие бесконечности и его применение в космологии

– Что будет, если сложить две бесконечности? – спросил однажды мой сын Луциан.

– Бесконечность, – стоически ответил я.

– Но как это возможно, чтобы число плюс число равнялось этому же числу? – настаивал Луциан. – Я думал, так может делать только ноль.

Я ответил:

– На самом деле бесконечность – это не число. Это скорее идея.

Луциан закатил глаза и задумался:

– То есть бесконечность – это противоположность нуля, но при этом бесконечность плюс бесконечность равно бесконечность?

– Да.

– Папа, но это странно.

– Именно.

Бесконечность – это то, что не поддается исчислению, хотя математики часто используют термины «счетная и несчетная бесконечность». Да, бесконечности бывают разными. Например, все множество целых чисел (… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…) – это счетная бесконечность. Еще один пример – это совокупность рациональных чисел, то есть чисел, имеющих форму p / q (1/2, 3/4, 7/8 и т. д., кроме деления на ноль). Количество объектов в каждом множестве (также называемое его кардинальным числом) обозначают как алеф‑0. Алеф – это первая буква еврейского алфавита, которая в каббалистической интерпретации обозначает союз неба и земли (

). Значение алеф‑0 бесконечно, но это не наибольшая из возможных бесконечностей. Совокупность действительных чисел, включающая в себя все рациональные и иррациональные числа (то есть числа, которые нельзя представить в качестве частей от целого, такие как √ 2, π, е), имеет кардинальное число алеф‑1. Значение алеф‑1, называемое континуумом, больше алеф‑0 и может быть получено путем умножения алеф‑0 на себя алеф‑0 раз:

. Немецкий математик Георг Кантор, создавший все эти концепции и разработавший теорию множеств, выдвинул гипотезу континуума: не существует множества с кардинальным числом, находящимся между алеф‑0 и алеф‑1. Однако недавние исследования показывают, что гипотеза континуума неразрешима, то есть ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Человеческое сознание создает различные бесконечности даже в упорядоченном пространстве абстрактной математики. Но к вопросу неразрешимости мы еще вернемся, а сейчас давайте перенесем понятия счетной и несчетной бесконечности в космос.

Бесконечен ли космос? Расширяется Вселенная в бесконечность или замыкается сама на себя, как поверхность воздушного шарика? Сможем ли мы когда‑нибудь узнать ее форму? Существование космического горизонта и тот факт, что мы получаем информацию лишь из пространства, ограниченного скоростью света, устанавливают серьезные границы нашего познания. Когда космологи говорят, что Вселенная плоская, на самом деле они имеют в виду (или по крайней мере должны иметь в виду), что измеримая часть Вселенной является плоской или практически плоской с учетом погрешности измерений. Подобная плоскость космоса предполагает, что на самом деле Вселенная гораздо больше, чем мы можем измерить. Но с нашей позиции мы не в состоянии делать никаких заключений о том, что лежит за пределами нашего информационного пузыря, или об общей форме Вселенной.

Разумеется, мы можем и должны рассуждать о том, что находится за космическим горизонтом, и, возможно, такие рассуждения помогут нам что‑то узнать. Иногда вернуться на берег Острова познания может быть полезным. Если вы не житель Древней Месопотамии, где верили, что горизонт является краем мира, то, глядя с берега на океан, вы легко предположите, что он продолжается и за горизонтом. Когда корабль выплывает из‑за горизонта, вы не можете видеть его нижнюю часть, так как Земля круглая. Если вы видите на горизонте остров, вы можете отметить его положение относительно горизонта, а затем забраться на высокую гору и увидеть, что океан продолжается и за островом, а значит, не ограничивается горизонтом, который вы видели у подножия горы. Однако даже с вершины самого высокого пика невозможно осмотреть все океаны и континенты нашей планеты или увидеть, что она представляет собой шар, слегка приплюснутый у полюсов. Исторически наше видение планеты определялось тем, как далеко (или высоко) мы могли на ней продвинуться. Затем, объединив усилия математики и астрономии, ученые смогли сделать гигантский шаг вперед. Это подтверждается расчетами окружности Земли, произведенными Эратосфеном примерно в 200 году до н. э., а также наблюдениями за круглой тенью, которую Земля отбрасывает на Луну во время лунного затмения. Можно привести еще множество других примеров, но окончательное подтверждение того, что Земля круглая, мы получили лишь в 1521 году, когда завершилось кругосветное плаванье Фернана Магеллана и Себастьяна Элькано. Если математические расчеты и толкование теней на Луне еще могли вызывать у людей какие‑то сомнения (пускай и неверные), то путь, пройденный кораблями Магеллана, был непреложной истиной. К сожалению, когда дело доходит до космического горизонта, кругосветное путешествие исключается.

В данном случае уместно привести двухмерную аналогию. Представьте себе поверхность очень большого шара. На этой поверхности существует галактика, и в ней живут разумные существа. Как и наша Вселенная, эта двухмерная конструкция когда‑то пережила Большой взрыв. Так же как и у нас, у существ из этой Вселенной имеется космический горизонт – участок поверхности шара в форме диска. Если шар достаточно велик, а диск слишком мал, существа будут считать свою Вселенную бесконечной, а ее геометрию – плоской. (Если вы мне не верите, возьмите воздушный шарик и нарисуйте на нем круг. Поверхность внутри круга действительно будет казаться вам плоской.) Но этот вывод будет неверным. Да, поверхность видимого им диска действительно плоская, но поверхность всего шара, то есть их Вселенная, конечна. Смогут ли эти существа когда‑нибудь узнать правду о форме своей Вселенной, если выход за границы диска им недоступен?

Можем ли мы определить форму Вселенной, если находимся на плоскости, ограниченной космическим горизонтом? Если наша Вселенная – это трехмерная сфера, нам не повезло. Судя по текущим данным, радиус кривизны этой сферы, скорее всего, настолько мал, что мы просто не сможем его измерить. Существует еще одно интересное, хотя и не совсем правдоподобное предположение. Наша Вселенная может иметь сложную форму, которую математики называют нетривиальной топологией. Топология – это направление в геометрии, которое изучает непрерывную деформацию пространств. «Непрерывное» в данном случае означает без разрывов, как, например, растягивание и сгибание куска резины. Такие трансформации называют геоморфизмами. К примеру, цельную сферу можно превратить в эллипсоид, в куб или в грушу – но не в кольцо. Кольцо же, в свою очередь, можно превратить в кружку с ручкой. Соответственно, сложная топология космоса может налагать свой отпечаток на наши измерения. Например, если топология подразумевает сложное соединение (то есть если в ней есть отверстия, как в пончике), свет от дальних объектов может определенным образом проявляться в фоновом излучении. В частности, если Вселенная действительно имеет форму кольца и его радиус невелик по сравнению с нашим космическим горизонтом, свет от дальних галактик может несколько раз описывать круг, создавая множественные одинаковые образы, похожие на отражения в зеркалах, стоящих параллельно друг другу. В принципе, такие отражения, или узоры, можно заметить и проанализировать.

Эта история показывает, как несовершенство наших измерительных приборов позволяет нам заниматься рассуждениями. До тех пор пока мы не удостоверимся, что радиус кривизны нашего космического диска точно равен нулю, у нас всегда останется место для фантазий о других топологиях, отличных от скучного плоского трехмерного космоса. Разумеется, существует вероятность, что однажды мы сумеем засечь зеркальные отражения, которые дадут нам основания предположить, что Вселенная имеет несколько иную форму. Гораздо интереснее будет, если мы так никогда их и не обнаружим. Будет ли это означать, что космос действительно плоский? Поскольку мы не в состоянии измерить что‑либо с абсолютной точностью, то, даже если все текущие данные будут указывать на нулевое пространственное искривление в пределах нашего космического горизонта, мы все равно не сможем сказать этого наверняка. В отсутствие сведений о наличии искривления вопрос о форме космоса в принципе не имеет ответа. Сможем ли мы когда‑нибудь найти его? Судя по всему, нет, если только у нас не появится новых фактов. Если бы Вселенная действительно имела форму сферы, как писал Эйнштейн, и если бы в далеком будущем эта сфера схлопнулась, наблюдатели этого последнего момента (если бы они существовали) смогли бы увидеть собственные затылки. Затем они бы исчезли, растворились в небытии, зная, что Вселенная все‑таки была конечной, и затаив в сердцах (если у них были бы сердца) надежду на новый цикл существования, в котором их энергия нашла бы новый способ превращения в сложные материальные формы (возможно, даже такие, которые смогли бы, в свою очередь, задуматься о значении вечности).

Существует и еще одна надежда – что форма Вселенной будет однозначно определена с помощью фундаментальной теории, объединяющей в себе общую теорию относительности и квантовую механику. Одной из главных проблем современной физики является преодоление трудностей, возникающих при достижении сингулярности, будь то в начале времени, как при Большом взрыве, или в конце жизненного цикла звезды при формировании черной дыры. Мы пытаемся описать оба случая с помощью эйнштейновской общей теории относительности, но при этом прекрасно знаем, что она не работает для крайне малых расстояний и/или большой плотности материи. Что же нам делать? Единственный выход – это создать такую физическую теорию, которая успешно описывала бы микромир и одновременно была бы применима к сильным искривлениям пространства и объектам с высокой плотностью. Для этой цели идеально подходит квантовая теория, так как она устанавливает ограничение для небольших расстояний – горизонт, дальше которого мы не можем видеть микромир. Это ограничение возникает вследствие принципа неопределенности Гейзенберга.

Идея этого принципа, который мы рассмотрим более подробно во второй части книги, состоит в том, что наблюдатель, занимающийся измерением положения объекта с постоянно увеличивающейся точностью, в конце концов наткнется на стену, информация из‑за которой будет ему недоступна. Иными словами, квантовая теория предполагает некоторую естественную расплывчатость материи, конечное минимальное значение, меньше которого не бывает. Объект может быть сколь угодно маленьким, но ниже этого значения его размер не опустится. В Природе не существует «точечных» частиц, так как любые материальные структуры в какой‑то момент распадаются на квантовую неопределенность и заполняют некоторый объем. В каком‑то смысле минимальный объем – это барьер между тем, что мы можем узнать о физической реальности, и тем, что навсегда останется скрытым от наших глаз. Более того, в квантовой физике сама попытка узнать больше, то есть выйти за границы, установленные неопределенностью, не имеет смысла. Предположение о том, что наши возможности познания Вселенной ограниченны, сводило Эйнштейна с ума.

Логично предположить, что этот же подход применим и к космосу, то есть что существует минимальное расстояние в пространстве, меньше которого быть не может. Если развить этот подход, окажется, что пространство не непрерывно, а размыто и что движение из одной точки в другую не может происходить напрямую. Если это так, то сингулярность в принципе невозможна, так как пространство нельзя сжать до нулевого объема. Этого взгляда придерживаются сторонники квантовой теории гравитации, такие как Абэй Аштекар, Ли Смолин, Мартин Божовальд и др. Они предполагают, что границы неопределенности, действующие в квантовой механике и применимые к свету и материальным объектам, можно распространить на пространство и время – концептуальные инструменты, которые мы используем для описания материальных объектов и их движения. Но обоснована ли такая экстраполяция?

Существует и противоположный подход, приверженцы которого утверждают, что нужно не «квантифицировать» космос, а, наоборот, избавиться от самого понятия точечных частиц. Идея проста: если мельчайшая из существующих частиц материи имеет некое пространственное продолжение, то такие частицы невозможно сжать до нулевого объема. Именно это и утверждает квантовая механика. Материальные объекты одновременно представлены как частицами, так и волнами, так как у них имеется пространственное продолжение. Основываясь на этом, теория струн утверждает, что мельчайшими объектами во Вселенной являются не электроны, не кварки, не другие частицы, о существовании которых мы знаем благодаря ускорителям вроде Большого адронного коллайдера, а одномерные линии энергии, которые могут пересекаться и переплетаться различными способами. Форма таких линий, а также тот факт, что они часто формируют закрытые петли, означают, что у этих объектов (струн) есть пространственное продолжение, а значит, их нельзя сжать до нулевого объема. Следовательно, если динамика ранней Вселенной основывалась на суперструнах, они не могли сформировать сингулярность.

Теорию суперструн часто называют теорией всего, имея в виду, что потенциально она предлагает единое объяснение для всех частиц материи (которые представляются как различные виды вибрации базовых струн) и для четырех сил Природы (также описываемых через переносящие их частицы, выраженные в форме вибраций). Я посвятил подробному разбору теории всего и стремлений к всеобщему объединению часть своей книги A Tear at the Edge of Creation и предлагаю всем, кого заинтересовала эта тема, прочесть ее. В ней я обращаю внимание на то, что само понятие окончательного ответа несовместимо с научным методом. Учитывая, что мы можем накапливать научные знания только с помощью измерения естественных процессов, мы по определению не можем быть уверены в том, что знаем о существовании всех сил Природы или частиц. В любой момент может появиться новая технология, которая откроет нам что‑то неожиданное и заставит нас пересмотреть свои текущие представления. Представления о всеобъемлющей Божественной Вселенной – это всего лишь романтическая фантазия. В лучшем случае теория суперструн или те идеи, которые придут за ней, смогут объединить все наши знания о частицах и их взаимодействии на момент их возникновения. Но это ни в коем случае не будет последним словом по данному вопросу[65]. Вспомните о космологах далекого будущего, живущих в статичной и темной Вселенной, которую мы рассматривали пару страниц назад. Как бы выглядела их окончательная теория всего? Наверняка она казалась бы им очень убедительной, даже если с нашей точки зрения была бы абсолютно неправильной. Можем ли мы быть уверены, что мы хоть в чем‑то лучше, что мы не упускаем из виду большую часть космической картины? Наука умеет обнаруживать то, что существует в пределах досягаемости, но то, чего она обнаружить не может, нельзя и полностью исключать. Это приводит нас к важнейшему вопросу: уникальна ли наша Вселенная? Или есть и другие, сосуществующие с ней в некой бесконечной множественной структуре? Если Мультивселенная реальна, как нам об этом узнать? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разобраться, что могло бы дать толчок к такому безудержному росту вселенных. Для этого мы рассмотрим нормальное и метастабильное состояние материи и поговорим о том, как они могли повлиять на космос в его первые годы жизни.

Глава 13. Вниз по склону