Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2021-04-18 | 58 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Найти область определения функции.
2. Определить точки пересечения ее графика с осями координат, точки разрыва функции.
3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
5. Найти асимптоты графика функции.
ПРИМЕР 3. Провести полное исследование функции
1. Областью определения функции является множество
2. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: (2;0), (0;4). Точкой разрыва является x=-1.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю.
Приравняем производную к нулю
Решая квадратное уравнение , получим
В интервале (производная больше нуля), следовательно, функция возрастает.
В интервале функция убывает.
В интервале (-1;2) функция убывает.
В интервале функция возрастает.
Определим экстремум. Так как при переходе через точку x=-4 производная меняет свой знак с + на – в этой точке функция имеет локальный максимум: значение функции в этой точке y(-4)=-12. При переходе через точку x=-1 производная не меняет своего знака, следовательно, в этой точке нет экстремума. При переходе через точку x=2 производная меняет свой знак с – на +, следовательно, в точке x=2 функция имеет локальный минимум: значение функции в этой точке y(2)=0.
4. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.
Приравняем вторую производную к нулю . Очевидно, что в интервале , значит кривая выпукла. В интервале кривая вогнута. Так как при x=-1 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
|
5. Найдем асимптоты графика функции. Т.к. x=-1 является точкой разрыва, то она является вертикальной асимптотой, причем:
Находим асимптоты:
,
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота f(x)=x-5.
ПРИМЕР 4. Провести полное исследование функции
1. Область определения функции
2. Так как y=0 при x=0, то график функции проходит через начало координат.
3. Исследуем функцию на монотонность.
Если , то 1-x=0, откуда x=1. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала:
В интервале , и функция в этом интервале возрастает;
В интервале , и функция убывает. Таким образом, в точке x=1 будем иметь локальный максимум (т.к. знак производной меняется с плюса на минус): значение функции в этой точке
4. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной: Приравняем вторую производную к нулю, получим x=2.
В интервале т.е. кривая выпукла в этом интервале.
В интервале т.е. кривая вогнута. Так как в точке x=2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке график функции имеет перегиб:
5. Найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты в виде y=kx+b.
Таким образом, прямая y=0 – горизонтальная асимптота при Значит, при наклонных асимптот нет.
3.6. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти экстремумы функций:
1. (Отв. x=1 т.минимума)
2. (Отв. x=2 т.max; x=4 т.min)
2. Исследовать методами дифференциального исчисления функции:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!