Осн компоненты и хар-ки моделей масс обслуж

Осн компоненты и хар-ки моделей масс обслуж

Теория масс обслуж-ия – раздел исследования операций, кот. рассматривает процессы обслуж-ия, т.е удовлетворение запросов, кот. хар-ся наличием состояния ожидания вследствие вероятностного хар-ра возникновения потребностей и их удовлетворения. Стр-ра СМО (Рисунок). Осн эл-ты СМО: 1)заявка на обслуж-ие: поступающая (входной поток) и выбывающая (выходной); 2)механизм обслуж-ия (обслуживающие узлы и приборы). Функцион. возможности СМО опред-ся сочетанием след факторов: 1)закон распределения вер-стей моментов поступления заявок (единичных или групповых); 2)распределение продолжит-ти обслуж-ия; 3) конфигурация обслуживающей сис-мы (последовательная, параллельная, комбинированная); 4)дисциплина очереди, т.е. принцип, в соотв-ии с которым поступающая заявка подключается к очереди на обслуживание: а)первым пришел-первым обслуж-ся; б)первым пришел-последним обслужив-ся; в)случ. хар-р заявок. 5)приоритетные хар-ки заявок определяют способ группировки поступающих требований по критерию приоритетности (системы с приоритетом и без приоритета); 6)вместимость блока ожиданий (ограниченная, неограниченная очередь);7)ёмкость (мощность) источника требований (конечная, бесконечная); 8)Бихевиоральные (поведенческие) хар-ки.

 

Роль пуассон и экспонен распределений в ТМО

Св-ва входных и выходн потоков: 1)Вер-сть наступления события в интервале времени [t;t+h], зависит только от величины h, т.е. не зависит ни от кол-ва события до момента t, ни от положения t на оси времени, т.е. моделируются случ. процессы. 2)Вер-сть реализации события на бесконечно малом отрезке времени 1>P(h)>0. 3)На отрезке h реализуется не более 1 события. Св-ва исп-ся при выводе ф-лы вер-сти наступления n-событий в интервале h. В соотв-ии с 1 -м св-вом: события явл-ся равновероятными и статистически независимыми пр n=0: P₀(t+h)=P₀(t)* P₀(h). В соотв-ии со 2-ым св-ом: для бесконечно малого h: 0< P₀(h)<1. Реш-ие ур-ия: P₀(t)=e^(-αt), t ≥ 0, где α - частота наступления событий в единицу времени. Для бесконечно малой неравной нулю величины h:

В силу 3-го св-ва: P₁(h)=1-P₀(h) ≈ αh, т.е. вер-сть наступления одного события в интервале h прямо пропорциональна его величине. Процесс, описываемый ф-ей P_n(t) явл-ся случайным, в том смысле, что длина интервала времени, в течение которого происходит каждое последующее событие не зависит от времени, которое понадобится для реализации предшествующего события – св-во отсутствия памяти. Это характерно для экспоненциального распределения.

СМО неограниченной мощности

(M/M/1):(GD/∞/∞) –обозначение Кенделла. Осн з-чи: 1)необх-мо получить ур-ие в конечных разностях для вер-сти Pn; 2)перейти к пределу при t->∞ и получить ф-лы для Pn(t), соответствующие стационарному режиму.

(M/G/1):(GD/∞/∞)- сис-ма располагает одним узлом обслуж-ия, входной поток явл-ся пуассоновским. Распределение продолжительности обслуживания является произвольным со средним E(t) и дисперсией var(t).

(M/M/C):(GD/∞/∞) – много узлов, конечная цель параллельного обслуж-ия - повышение скорости обслуж-ия. Сис-ма эквивалентна сис-ме с одним обслуживающим прибором, быстродействие кот увелич-ся в n-раз при наличии в системе n- требований.

(M/M/∞):(GD/∞/∞) – модель самообслуж-ия, т.е. сам клиент выступает в кач-ве обслуживающего узла. Исп-ся для оценки хар-к с многоканальным обслуж-ием для определения допустимых значений «с».

 

 

СМО ограниченной мощности

(М/М/1):(GD/N/∞) – макс. длина очереди: N-1, т.е. при наличии в сис-ме N-заявок ни одна из дополнительных заявок на обслуж-ие не может присоединиться к очереди в блоке ожиданий. Число допускаемых в сис-му требований контролируется ограничением на длину очереди.

(M/M/C):(GD/N/∞) – модель для параллельного обслуж-ия, но с ограничением на вместимость блока ожидания. Длина очереди не может превышать N-C. Исп-ся обобщенная многоканальная модель.

 

СМО с приоритетами

У входа в блок обслуж-ия формируются неск очередей, в каждой из кот заявки имеют различные уровни предпочтения. Первая очередь обладает наивысшим приоритетом, последняя – самым низким. Частота поступлений и продолжит-ти обслуживания неодинаковы. Дисциплина очереди – первым пришел-перым обслуж-ся. Обслуж-ие осущ-ся по одному из правил: а)правило прерывания – начатое обслуж-ие прерывается при поступлении заявки с более высоким приоритетом. б)без прерывания (NPRP). 1)Для одноканальной сис-мы (M i /G i /1):(NPRP/∞/∞): F i (t)-произвольная ф-ция распред-ия продолжит-ти обслуж-ия из i-ой очереди со средним Е i (t) и дисперсией var i (t).

; Sk=∑ρi<1; Sо=0;

; ; ;

2) Для многоканальной сис-мы (M i /G i /С):(NPRP/∞/∞):

;

В первом случае входной поток -Пуассоновский, а распред-ие продолж-ти обслуж-ия произвольное. Во втором -входные и выходные потоки Пуассовонские.

 

Тандемы очередей

Моделир-ся пуассоновские процессы в сис-мах с последоват. расположением узлов. Процесс обслуж-ия завершается только после прохождения заявки через все узлы обслуживания. Двухфазная модель с нулевой вместимость юблока ожидания. Вводится условие недопустимости образования очередей возле узлов обслуживания. Для построения модели надо оценить состояние сис-мы в произвольный момент времени, т.е. каждый из узлов м.б. занят или свободен. Считается, что первый узел заблокирован, если обслуживание завершено, а второй не готов к приему заявки. Т.к. образование очереди запрещено, то заявка, обслуженная первым узлом, не имеет право на ожидание в промежутке м/у первым и вторым узлом. Состояние узлов: 0 – свободен, 1 –занят, b –заблокирован. {(i,j)}= {(0;0);(1;0);(0;1);(1;1);(b;1)}. Опред-ся вер-сти переходов состояний в интервале [t;t+h]. Эти вер-сти указываются в матрице [5;5]. Незаполненные ячейки м-цы соответствуют невозможным переходам. Многофазная модель с неогранич вместимостью. Требования, поступают на вход на первого узла, генерируются источником бесконечно большой емкости, распределены по з-у Пуассона со средней интенсивностью λ. Требования, обслуженные первым узлом,поступают на вход второго и так, пока каждая заявка не пройдет всю цепочку, состоящую из k-узлов. Каждый узел состоит из неск параллельно фукционирирующ. узлов.

Модель выхода

Это обработка реализации случ. велеичин. Обеспечивает накопление, обработку и анализ инф-ции о детерминиров. входах и управляющих воздействиях на моделируемую сис-му. Предполагает: 1) опред-ие числовых хар-ки с.в.; 2) исследование случ распределений входов и их соответствие нормальному закону распред.; 3)проверка значимости зависимости м/у входами и выходами.

Числовые хар-ки: 1) формулы выборочных средних и границ доверит. интервалов для их оценки; выборочных относительных и абсолют. показ-лей вариации; формы распред-ия; 2) критерии согласия, исп-мые для проверки соответствия эмпирич. законам распред-ия; 3) идентификация линейной и нелинейной завис-ти м/у показ-лями: линейный парный коэф-т корреляции; индекс корреляции; 4) спецификация регрессионных моделей, отражающих зависимость выходных хар-к от вектора входных параметров.

 

Модель обратной связи

Обратная связь – обратное воздействие выходных результатов управляемой системы на процесс управления. Выходные результаты после определенных преобразований подаются на вход системы с определенным знаком. Таким образом, обратная связь изменяет интенсивность процесса, регулирует выходной результат. Построение модели основано на теории планирования эксперимента. Она позволяет сократить число экспер-тов, сохраняя при этом заданную точность модели за счет обоснованного выбора значений управляемых параметров. Модель обр.связи – регрессионная модель(функция отклика). В виде полиномиального ур-ия: у=b₀+b₁х₁+b₂х₂+b₁₁х₁+… коэф-ты полинома, определяющие значение в частных производных в точке, вокруг которой происходит разложение целевой ф-ции в ряд. Инф-ия, необходимая для проведения эксперимента, формируется в виде матрицы- план эксперимента. Для получения коэф-та регрессии с высокой точностью и достоверностью к плану эксперимента предъявляется требование, регулирующие формир-ие значений факторов по спец. правилам. В зависимости от объема или числа экспер-тов различают полный и дробный факторный эксперименты. Полный – реализуются всевозможные сочетания факторов, следовательно, объем этого эксперимента равен 2ⁿ. Св-ва факторов: 1.семетричности; 2.нормированности; 3.ортогональности.

3.6 Основные теории планирования эксперимента 

Планирование – форма управленческой деят-ти, заключающаяся в подготовке различных вариантов управленч решений в виде прогнозов, проектов программ и планов, обосновании их оптимальности, обеспечение возможности выполнения и проверки их выполнения. Мат. методы этой теории основаны на кибернетическом представлении данного процесса в виде черного ящика. Факторы м.б.: 1.управляемые и неупр-ые – в завис-ти от возможности целенаправленного выбора уровней в допустимых пределах; 2.наблюдаемые (значения, кот наблюдаются и регистрируются)и ненабл-ые (сопутствующие факторы); 3.колич-ные и качествен; 4.фиксированные – когда исследуются все интересующие значения факторов, случайные – используются только в выборке. Осн требования к факторам: 1.управляемость -возможность установки и поддержания выбранного требуемого уровня фактора постоянным; 2.непосред-ное воздействие на объект, т.е. фактор должен не зависеть от других. Требования к совокупности факторов: 1.совместимость; 2.независимость. Особенности модели планирования эксперимента: 1.адекватность; 2.содержательность; 3.простота реализации на ЭВМ.

 

3.7)Оптимизация в имитационном моделировании Оптимизация – процесс нахождения экстремума рассматриваемой функции, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; процесс выработки оптимальных решений по приведению системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Специфика оптимизации по сравнению с оптимизацией на основе аналитических моделей проявляется: 1. в имитационном моделировании оценивается результат работы системы при заданных значениях управляемых переменных, которые рассматриваются как входные данные. 2.оптимизационный процесс реализуется с помощью систематического изменения значения управляемых переменных с последующим получением результатов прогона. 3.в расчетах есть ошибка выборки, которая влияет на разброс оценок результатов, разбросы не связаны с изменением входных величин, что приводит к неоднозначности оценок различных комбинаций управляемых переменных, которые лежат в основе оптимизации. При этом существует возможность уменьшения влияния ошибок за счет увеличения количества прогонов модели и за счет использования статистических тестов.

 

 

Проблемы моделирования СМО

Обусловлены степенью сложности мат. описания сис-мы. Категории сис-мы в зависимости от степени предсказуемости поведения её эл-тов:

1) целенаправленные системы (узлы и клиенты – это люди); 2)полуавтоматически, человек в роли заявки или прибора. 3)Автоматизированные. ТМО более подходит для полуавтоматич сис-м, которые обусловлены гибкостью мат. моделей обслуж-ия. Проявляется она на след этапах анализа СМО с помощью мат. методов: 1)построение и аналитич реализация модели, отклонение от теоретических законов распределений.

2)получение числовых операц хар-к сис-мы с помощью сложных формул. 3)оценка чувствительности, т.е. оценка влияния изменений, заложенных в исходные предпосылки моделир-ия на операц хар-ки сис-мы. Универс способа проверки гибкости не сущ-ет, т.к. заранее известны показ-ли эф-ти этой сис-мы, т.е. можно выбрать осн предположения, при которых модельное описание сис-мы можно упрощать., оставляя в допустимых пределах ошибки опред-ия числовых хар-к. 1)Изменение функцион. хар-к сис-мы т.о., чтобы логическим путем достичь желательных операц хар-к и одновременно сделать сис-му, поддающуюся анализу. 2)Признание справедливыми некоторые допущения относительно реальной сис-мы. Их можно представить с помощью станд-ых модулей без риска.

 

Подготовка исход. данных и проверка гипотез

1) Выбор момент или интервала наблюдения сис-мы: нужно выбирать период повышенной загруженности сис-мы, когда существенно повышается интенсивность потока требований. 2)Два способа сбора данных: либо регистрация интервалов м/у последовательными событиями, либо подсчет числа заявок в единицу времени.

При помощи χ² –критерия проверяется статистич гипотеза о соответствии эмпирич распред-ия n, т.е. числа поступающих и выбывающих в единицу времени заявок, теоретич распределению Пуассона. Проверка заключется в сопоставлении эмпирической частоты fn с ожидаемым значением частоты f ’ n, получаемой при допущении, что имеет место пуассоновское распределение вер-стей. Теоретические частоты f ’ n для каждой группы рассчитываются в соответствии с распред-ием Пуассона: (1), где N – общее кол-во наблюдений; λ – параметр распределения, λ>0.  Вычисления интенсивности входного потока λ и выходного потока µ осущ-ся: (2), где k – кол-во интервалов.

  (1);    (2)

 

Осн компоненты и хар-ки моделей масс обслуж

Теория масс обслуж-ия – раздел исследования операций, кот. рассматривает процессы обслуж-ия, т.е удовлетворение запросов, кот. хар-ся наличием состояния ожидания вследствие вероятностного хар-ра возникновения потребностей и их удовлетворения. Стр-ра СМО (Рисунок). Осн эл-ты СМО: 1)заявка на обслуж-ие: поступающая (входной поток) и выбывающая (выходной); 2)механизм обслуж-ия (обслуживающие узлы и приборы). Функцион. возможности СМО опред-ся сочетанием след факторов: 1)закон распределения вер-стей моментов поступления заявок (единичных или групповых); 2)распределение продолжит-ти обслуж-ия; 3) конфигурация обслуживающей сис-мы (последовательная, параллельная, комбинированная); 4)дисциплина очереди, т.е. принцип, в соотв-ии с которым поступающая заявка подключается к очереди на обслуживание: а)первым пришел-первым обслуж-ся; б)первым пришел-последним обслужив-ся; в)случ. хар-р заявок. 5)приоритетные хар-ки заявок определяют способ группировки поступающих требований по критерию приоритетности (системы с приоритетом и без приоритета); 6)вместимость блока ожиданий (ограниченная, неограниченная очередь);7)ёмкость (мощность) источника требований (конечная, бесконечная); 8)Бихевиоральные (поведенческие) хар-ки.