Принятие решения по максимизации прибыли на основе линейного программирования

 

Целью работы является определение оптимального объема производства по использованию ресурсов и максимизации прибыли предприятия.

Теоретические положения

Линейное программирование — вид математического моделирова­ния, который служит для поиска оптимального варианта распределе­ния ограниченных ресурсов между конкурирующими работами. Оно получило развитие после Второй мировой войны, и сфера его приме­нения расширялась параллельно с развитием компьютерной индуст­рии, поскольку его практическое использование требует больших вычислительных мощностей. Любая экономическая задача, связан­ная с максимизацией или минимизацией (т.е. оптимизацией) линей­ной целевой функции (например, функции прибыли, полной стои­мости или аналогичных экономических величин) и выраженная в форме комплекса линейных неравенств (например, ограничений по рабочей силе, материалам, капиталу или другим ресурсам), будет за­дачей линейного программирования. Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса, например:

– определение набора продуктов, отвечающих заданным ограни­чениям при минимальных затратах. Примерами служат задачи по со­ставлению марочной смеси бензопродуктов или набора продуктов питания, отвечающих заданным диетическим требованиям;

– определение оптимальных производственных линий и производ­ственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ог­раничения на производственные мощности (например, на размер завода или на машинное время) и где принимаются решения о вы­пуске продукции при наличии ограничений на ресурсы;

– определение оптимальных маршрутов перевозок. В качестве примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся миними­зировать свои расходы на перевозки продукции от места производ­ства на склад.

Это только немногие примеры широкого класса задач, решае­мых методом линейного программирования. По масштабам своего использования это, вероятно, наиболее успешный и широко приме­няемый подход к решению задач о распределении ресурсов, что связано с развитием электронно-вычислительной техники, по­скольку сложные задачи линейного программирования требуют та­кого объема вычислений, на какой способна только современная ЭВМ. Поэтому большинство управляющих бизнесом, которым дей­ствительно необходимо решать задачи линейного программирова­ния, ограничиваются их постановкой и передают на решение техни­ческим специалистам. Вероятность ошибок уменьшается, если дан­ные сводятся в удобную для работы форму.

Линейное программирование может быть использовано только для решения задач, имеющих все четыре представленные далее ха­рактеристики:

— комплекс неотрицательных независимых переменных;

— одну и только одну цель, служащую функцией переменных (например, минимизация затрат или максимизация прибыли);

— наличие ограничений, налагающих пределы на достижение цели. Обычно они имеют вид верхнего или нижнего пределов для сочетания переменных;

— линейный характер количественных соотношений.

Для решения задач линейного программирования разработаны специальные методы: графический и симплексный.

Если имеется три переменных, то задача решается симплексным методом. Симплексный ме­тод может быть использован для решения задачи вручную, однако он лучше всего подходит для постановки решения задачи на ЭВМ.

Если имеются только две переменные, то можно исполь­зовать графический метод. Графический метод практически не используется для решения реальных задач линейного программирования, однако он очень по­лезен для разъяснения базовых концепций, методов и элементар­ной геометрии линейного программирования. Именно поэтому, прежде чем излагать алгебраическую технику симплексного метода, необходимо графически решить задачу с двумя переменными. Можно по­строить график для трех переменных, хотя это достаточно сложно. Модели с четырьмя и более переменными графическому решению не поддаются.

В настоящее время большинство задач линейного программирования решаются с помощью пакета Excel.

Последовательность действий по решению задачи графическим методом:

1. Определение переменных.

2. Определение целевой функции.

3. Определение ограничений.

4. Введение ограничений на значение переменных.

5. Построение горизонтальной и вертикальной оси графика.

6. Построение линии, отражающей первое ограничение.

7. Построение линии, отражающей второе ограничение.

8. Определение области допустимых решений.

9. Определение оптимального решения.

Задание и порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями по решению задачи линейного программирования графическим методом.

2. Определить оптимальный объем производства по использованию ресурсов и максимизации прибыли предприятия.

 

Предприятие производит и реализует два вида продукции X и Y. Для производства 1 кг продукции X требуется ресурс A и ресурс B, его реализация приносит прибыль C. Для производства 1 кг продукции Y также требуется ресурс A и ресурс B, а его реализация приносит прибыль D. Суммарный запас ресурсов A и B представлен в таблице. Определить объем производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

 

 

Варианты заданий	Вид продук-ции	Ресурс на 1 кг продукции (кг)		Прибыль от реализации 1 кг продукции (руб.)	Суммарный запас ресурсов (кг)
		A	B	C (D)	A	B
1	X	3	8	6	40	60
	Y	7	9	11
2	X	5	3	5	70	50
	Y	6	8	9
3	X	5	3	5	75	55
	Y	7	8	10
4	X	5	3	7	65	50
	Y	5	9	12
5	X	3	5	7	70	45
	Y	8	4	6
6	X	5	6	9	85	60
	Y	9	5	6
7	X	9	4	10	90	75
	Y	6	6	12
8	X	8	5	9	75	80
	Y	6	7	8
9	X	6	5	4	55	60
	Y	4	6	7
10	X	7	3	6	80	45
	Y	4	9	8

 

 

3. Анализ альтернативных вариантов и выбор оптимальных решений

 

Целью работы является определение оптимального варианта решения по выбору коммерческого банка для совместной деятельности предприятия.

Теоретические положения

При многокритериальном выборе следует создать функ­цию F_i (a_{i 1}, a_{i 2},..., a_in), монотонно зависящую от критериев a_{i 1}, a_{i 2},..., a_in. Данная операция называется процедурой (ме­тодом) свертывания критериев.Существуют несколько мето­дов свертывания критериев, например, аддитивной оптими­зации, последовательных уступок и др.

Согласно методу аддитивной оптимизации, выбор наилучшего ва­рианта решения осуществляется на основании аддитивного критерия оптимальности, который характеризуется функцией

где λ _j — весовые коэффициенты, определяющие в коли­чественной форме степень предпочтения (важность) j -го кри­терия оптимальности по сравнению с другими критериями.

Более важному критерию приписывают больший вес, при этом:

Согласно, обобщенная функция цели F_i (a_ij) может быть использована для свертывания частных критериев оп­тимальности, если:

I) частные (локальные) критерии количественно соизмери­мы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число λ _j, которое численно характеризует его важность по отношению к другим кри­териям;

2) частные критерии однородны (имеют одинаковую раз­мерность).

Если критерии неоднородны, т. е. имеют разную размер­ность, то требуется провести их нормализацию, иначе гово­ря, привести к единому, безразмерному масштабу измерения.

 

Рассмотрим один из вариантов нормализации.

1. Вначале определяется максимум каждого критерия:

Выделяются группы критериев, которые максимизиру­ются и минимизируются при решении задачи.

2. Если исходная задача на максимум:

а) для критериев, которые максимизируются, нормали­зованные критерии определяются по формуле           

б) для критериев, которые минимизируются, нормализованные критерии определяются по формуле       

3. Если исходная задача на минимум:

а) для критериев, которые максимизируются, нормали­зованные критерии определяются по формуле        

б) для критериев, которые минимизируются, нормали­зованные критерии определяются по формуле        

4. Рассчитывается оптимальный вариант (стратегия), обес­печивающий максимальное значение целевой функции:

   

Задание и порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями по многокритериальному выбору вариантов управленческих решений методом аддитивной оптимизации.

2. Выбрать наилучший для совместной деятельности коммерческий банк.

 

Предприятие выбирает для партнерства коммерческий банк из числа имеющихся в городе. Некоторые данные по работе коммерческих банков представлены в таблице.

 

 

Варианты заданий	Банк	Район нахождения, балл	Банковские услуги, балл	Репутация, балл	Качество обслуживания, балл	Квалификация персонала, балл	Нахождение на рынке банковских услуг, лет	Максимальный срок кредитования, лет	Лимит кредитования на одного заемщика, млн. руб.	Процентная ставка при кредитовании, %	Рассмотрение заявок и оформление кредита, дни
1	«А-банк»	-	8	10	5	9	-	4	15	20	35
	«Б-банк»	-	4	6	4	6	-	5	10	22	40
	«К-банк»	-	8	5	5	8	-	4	12	23	25
	«Л-банк»	-	9	6	4	5	-	3	7	24	20
	«Ф-банк»	-	5	7	3	7	-	5	6	18	30
2	«А-банк»	6	-	8	3	7	6	-	12	24	25
	«Б-банк»	10	-	4	6	5	3	-	8	20	45
	«К-банк»	9	-	5	5	8	7	-	15	20	35
	«Л-банк»	5	-	6	4	5	4	-	7	24	20
	«Ф-банк»	7	-	7	3	7	3	-	6	18	30
3	«А-банк»	6	7	-	3	7	6	3	-	24	25
	«Б-банк»	8	4	-	4	6	2	5	-	22	40
	«К-банк»	7	5	-	3	7	3	5	-	18	30
	«Л-банк»	5	9	-	4	5	4	3	-	24	20
	«Ф-банк»	9	8	-	5	8	7	4	-	20	35
4	«А-банк»	6	7	8	-	7	6	3	12	-	25
	«Б-банк»	7	5	7	-	7	3	5	6	-	30
	«К-банк»	9	8	5	-	8	7	4	15	-	35
	«Л-банк»	5	9	6	-	5	4	3	7	-	20
	«Ф-банк»	8	4	6	-	6	2	5	10	-	40
5	«А-банк»	6	7	8	3	-	6	3	12	24	-
	«Б-банк»	8	4	6	4	-	2	5	10	22	-
	«К-банк»	9	8	5	5	-	7	4	15	20	-
	«Л-банк»	5	9	6	4	-	4	3	7	24	-
	«Ф-банк»	7	5	7	3	-	3	5	6	18	-
6	«А-банк»	7	5	7	3	-	-	5	6	18	30
	«Б-банк»	8	4	6	4	-	-	5	10	22	40
	«К-банк»	9	8	5	5	-	-	4	15	20	35
	«Л-банк»	5	9	6	4	-	-	3	7	24	20
	«Ф-банк»	6	7	8	3	-	-	3	14	24	25
7	«А-банк»	6	7	8	-	7	6	-	12	24	25
	«Б-банк»	8	4	6	-	6	2	-	10	22	40
	«К-банк»	9	8	5	-	8	7	-	15	20	35
	«Л-банк»	5	9	6	-	5	4	-	7	24	20
	«Ф-банк»	7	5	7	-	7	3	-	6	18	30
8	«А-банк»	6	7	-	3	7	6	3	-	24	25
	«Б-банк»	8	4	-	4	6	2	5	-	22	40
	«К-банк»	9	8	-	5	8	7	4	-	20	35
	«Л-банк»	5	9	-	4	5	4	3	-	24	20
	«Ф-банк»	7	5	-	3	7	3	5	-	18	30
9	«А-банк»	6	-	8	3	7	6	3	12	-	25
	«Б-банк»	8	-	6	4	6	2	5	10	-	40
	«К-банк»	9	-	5	5	8	7	4	15	-	35
	«Л-банк»	5	-	6	4	5	4	3	7	-	20
	«Ф-банк»	7	-	7	3	7	3	5	6	-	30
10	«А-банк»	-	7	8	3	7	6	3	12	24	-
	«Б-банк»	-	4	6	4	6	2	5	10	22	-
	«К-банк»	-	8	5	5	8	7	4	15	20	-
	«Л-банк»	-	9	6	4	5	4	3	7	24	-
	«Ф-банк»	-	5	7	3	7	3	5	6	18	-

 

В задании используются условные данные, не совпадающие с реальными.

Критерии (параметры, характеристики), указанные в баллах, максимизируются.

Весовые коэффициенты λ _j, определяющие в коли­чественной форме степень предпочтения (важность) j -го кри­терия оптимальности по сравнению с другими критериями, устанавливаются самостоятельно в соответствии с личным взглядом на имеющуюся ситуацию и решаемую задачу.