Группа. На сравнение рисунка и математической записи.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ.

СМЫСЛ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

 

В действующем курсе математики начальной школы смысл умножения сводиться к сложению одинаковых слагаемых. Из курса математики известно, что если А и В – целые положительные числа, то А*В = А+А+А+А+… (В-раз, при В > 1).

А*1=А, при В=1.

А*0=0, при В=0.

Теоретико-множественная трактовка определения лежит в основе разъяснения смысла умножения учащимся. На специальном уроке М2М ч.2 с. 48 вводят действие умножение, создают проблемную ситуацию.

1) Мама для каждого члена семьи на тарелку положила по 2 яблока. В семье 4 человека. Сколько всего яблок положила мама?

2+2+2+2=8 (ябл.)

А теперь предположите, что мы в школьной столовой. На завтрак учащимся трех классов, каждому на тарелку положили по 2 яблока. В трех классах – 93 человека. Сколько всего яблок положили на тарелки? какой рис. можно сделать? какую запись?

Учащиеся на доске пытаются сделать рисунок и математическую запись, но сбиваются. Следовательно, такая запись неудобна.

В математике существует другое действие, с помощью которого удобно сделать такую запись – это действие умножение. Учитель: Мы по 2 взяли 93 раза. Это записывают так: 2*93=186.

Результат этого действия вы пока не можете найти, но научитесь, а я сообщаю, что получится 186.

Предлагаем подобные упражнения и выполняем к ним рисунки и математические записи. На первых порах выполняем две записи (одну на сложение, другую на умножение) и соотносим  сумму и произведение. Обращаем внимание на смысл каждого компонента действия умножения. М2М ч.2 с. 48 №1

3*4. Первое число показывает, какое число мы повторяем (3). Второе показывает. сколько раз повторяем (4раза), т.е. по 3 взяли 4 раза. В нач. классах важна последовательность этих компонентов, т.е., если по 3 взяли 4 раза, то нельзя писать 4*3.

Далее предлагаются упражнения на закрепление смысла умножения. Для этого используют упражнения двух групп.

Группа. На сравнение рисунка и математической записи.

а) 1.составь запись по рисунку (на рис. показано чередование, повторение какой-то группы предметов или геометрических фигур либо в строчку, либо в столбик).

Если считать, что здесь по 2 повторили 4 раза, то 2*4.

Но если считать, что по 4 взяли 2 раза, то 4*2.

 2.Наоборот, по математической записи составить рисунок;

б) выбери запись, соответствующую этому рисунку. Дан рисунок (как в задании1) и записи: 2*4; 4*2; 2*3; 3*4; 2+4. Т.е. записи подбирают правильные или неправильные, с типичной ошибкой;

в) выбери рисунок к этой записи;

г) исправь ошибку в записи, чтобы она соответствовала рисунку;

д) исправь ошибку в записи;

е) закончи запись так, чтобы она соответствовала рисунку;

ж) закончи рисунок так, чтобы он соответствовал записи;

з) установи соответствие между несколькими рисунками и несколькими записями. Подберите такие задания самостоятельно.

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с тремя свойствами умножения:

1.переместительный закон;

2.сочетательный закон;

3.распределительный закон умножения относительно сложения.

Первый закон, с которым знакомятся учащиеся, является переместительный закон. Для его вывода используют эмпирическое обобщение.

1)задание. В качестве первой ситуации можно предложить такое задание: «…положите перед собой 4 ряда по 2 круга».

 

Сколько кругов перед вами? Это можно выяснить двумя способами: а) здесь 4 горизонтальных строки по 2 круга в каждой, т.е. всего 2*4=8 (результат можно пересчитать, если дети не знают этот случай); б) с другой стороны здесь 2 вертикальных столбика по 4 круга в каждом. Всего 4*2=8. Сравните записи: чем похожи? (одинаковые множители, одинаковые произведения), говорим на языке правила; чем отличаются? (множители поменялись местами). Делаем первый промежуточный вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

2) задание. Предлагаем готовый рисунок.

 

Объясните записи

3*6=18        и     6*3=18

Проводим анализ записей с точки зрения терминологии. Чем похожи? Чем отличаются? И делаем второй промежуточный вывод.

3) задание. Аналогично разбираем такую же третью ситуацию. Главное, чтобы использовались другие числа. И делаем вывод.

4)Сравниваем все полученные записи и делаем общий вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

Э то правило облегчит вычисления, например, 2*148=148*2, 148*2=148+148

Но переместительное свойство нельзя использовать при записи решения задач, т.к. для начальной школы очень важен смысл действия. Например, если дана задача «сшили 48 платьев, на каждое потратили по 2 м ткани. Сколько всего ткани израсходовали?», то нельзя записать как 48*2, а можно 2*48.

Сочетательное свойство умножения. Это свойство в зависимости от построения учебника по разным программам изучается либо во 2, либо в 3 классе, и по-разному формируется. По программе Н.Б. Истоминой свойство формируется так: два соседних множителя можно заменить их произведением, а по программе М.И. Моро это свойство представлено в виде правила умножения числа на произведение, показаны различные способы умножения числа на произведение двух чисел, т.е. по программе Моро объединяет переместительное и сочетательное свойства.

Для вывода этого правила по программе НБ Истоминой используют эмпирическое обобщение.  Рассматривают при этом подобные рисунки:

а)Обведите два прямоугольника 6 на 7

Сколько всего квадратов в этих прямоугольниках? Первый способ: можно вычислить, сколько всего квадратов в первом прямоугольнике (6*7), а т.к. таких прямоугольников два, то затем это произведение умножим на 2. Получим: (6*7)*2=42*2=84.

Второй способ: в каждом прямоугольнике по 7 строчек квадратов. Сначала узнаем, сколько таких строк в двух прямоугольниках (7*2), а т.к. в каждой строке по 6 квадратов, то всего 6*(7*2)=6*14=84. Сравниваем обе записи: чем похожи? чем отличаются? Обращаем внимание на то, что в них соседние множители заменили произведением (группировали) и от этого произведение не изменилось. Делаем первый промежуточный вывод: два соседних множителя можно заменить их произведением и от этого все произведение не изменится. (Уточните)  (*)

б) Вторая ситуация аналогична первой, но можно предложить подобные рисунки и готовые записи, для объяснения (см. учебник Истоминой Н.Б).

в) Сравниваем записи, полученные в первом и во втором случаях, и делаем общий вывод (*).  

Это свойство также облегчает вычисления. Например,   14 * 30= 14*(3*10)      

По программе Моро 4 кл. (Найти!) при рассмотрении правила умножения числа на произведение рассматривают такие варианты: 6 * (3*5)=(6*3) * 5

                                                                                        6 * (3*5)=(6*5) * 3

                                                                                        6 * (3 * 5)=6 * 15

Таким образом, это правило включает в себя не только сочетательное, но и переместительное свойство умножение (М4М).

Так же в начальном курсе рассматривают распределительное свойство умножения относительно сложения. Его изучают в виде двух правил:

П.1.умножение суммы на число (3 кл.)

П.2.умножение числа на сумму (4 кл.)

Такой разрыв во времени объясняется тем, что эти правила являются теоретической основой различных вычислительных приёмов.

П.1.: теоретическая основа - внетабличное умножение вида 14*3.

П.2.: теоретическая основа приёма – письменное умножение на двух- и трёхзначное число. Например, 14* 12

Для вывода П.1.   М3М ч.2 с. используют эмпирическое обобщение и рассматривают ситуации:

1) положите перед собой 2 ряда кругов, в каждом из которых по 3 красного цвета и по 4 синего

Сколько всего кругов перед вами? 1 способ: можно сначала

узнать сколько всего кругов в первом ряду – 3+4, а затем,

т.к. два одинаковых ряда, эту сумму умножить на 2.

Получим: (3+4) * 2=7*2=14.

2 способ: можно сначала узнать, сколько всего красных кругов (3*2), затем узнать, сколько всего синих кругов (4*2), а затем общее количество кругов, т.е. сложим:

(3*2)+(4*2)=6+8=14. Сравниваем записи и подмечаем, что значения выражений одинаковы. Следовательно, можно составить общую запись: (3+4)*2=3*2+4*2. Просим прочитать это равенство с помощью терминов (первое слагаемое, второе слагаемое, число, произведение). Делаем первый промежуточный вывод.

2)Можно рассмотреть страницы учебника или рисунки на доске. Аналогично.

                                                       (2+5)*3

                                                       (2*3)+(5*3) Объясните, что обозначает эта               

запись и найдите значение выражений.

Составьте равенство и прочитайте его с помощью терминов.

В качестве 3) ситуации, можно предложить решить двумя способами задачу. Например, «3 класса сделали к празднику каждый по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети?» Предлагаем готовые способы решения:

(6+4) * 3 = 30 (м.)

(6 * 3)+(4 * 3)=30 (м.)

Объясняем решение, сравниваем записи, делаем общую запись: (6+4)*3=6*3+4*3.

4)Сравниваем все полученные записи и делаем общий вывод: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить. Таким образом, это свойство помогает в некоторых случаях области вычисления, мы распределяем сумму на два слагаемых и каждое слагаемое умножаем отдельно. Например, 15*3=(10+5)*3=(10*3)+(5*3).

При рассмотрении П.2. – умножение числа на сумму, можно использовать для вывода эмпирическое обобщение или можно  провести аналогию.

Например, на доске два выражения: (6+3)*4 и 4*(6+3)

а) Читаем их и сравниваем: чем похожи? чем отличаются? (если в первом случае сумму умножали на число, то во втором – число умножали на сумму).

б) Как найти значение этих выражений? Мы знаем правило умножения суммы на число. Читаем это правило.

в) Как вы думаете, если наши выражения так похожи, то можно ли использовать аналогичное правило для нахождения значения второго выражения? Делаем предположение.

г) Пользуясь нашими предположениями, находим значение второго выражения двумя способами:        4* (6+3)= (4*6)+(4*3)

                                                      4 * 9 =36         

Мы получили одинаковые значения выражений. Следовательно, наше предположение – верно и при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.          

 

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ.

СМЫСЛ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

 

В действующем курсе математики начальной школы смысл умножения сводиться к сложению одинаковых слагаемых. Из курса математики известно, что если А и В – целые положительные числа, то А*В = А+А+А+А+… (В-раз, при В > 1).

А*1=А, при В=1.

А*0=0, при В=0.

Теоретико-множественная трактовка определения лежит в основе разъяснения смысла умножения учащимся. На специальном уроке М2М ч.2 с. 48 вводят действие умножение, создают проблемную ситуацию.

1) Мама для каждого члена семьи на тарелку положила по 2 яблока. В семье 4 человека. Сколько всего яблок положила мама?

2+2+2+2=8 (ябл.)

А теперь предположите, что мы в школьной столовой. На завтрак учащимся трех классов, каждому на тарелку положили по 2 яблока. В трех классах – 93 человека. Сколько всего яблок положили на тарелки? какой рис. можно сделать? какую запись?

Учащиеся на доске пытаются сделать рисунок и математическую запись, но сбиваются. Следовательно, такая запись неудобна.

В математике существует другое действие, с помощью которого удобно сделать такую запись – это действие умножение. Учитель: Мы по 2 взяли 93 раза. Это записывают так: 2*93=186.

Результат этого действия вы пока не можете найти, но научитесь, а я сообщаю, что получится 186.

Предлагаем подобные упражнения и выполняем к ним рисунки и математические записи. На первых порах выполняем две записи (одну на сложение, другую на умножение) и соотносим  сумму и произведение. Обращаем внимание на смысл каждого компонента действия умножения. М2М ч.2 с. 48 №1

3*4. Первое число показывает, какое число мы повторяем (3). Второе показывает. сколько раз повторяем (4раза), т.е. по 3 взяли 4 раза. В нач. классах важна последовательность этих компонентов, т.е., если по 3 взяли 4 раза, то нельзя писать 4*3.

Далее предлагаются упражнения на закрепление смысла умножения. Для этого используют упражнения двух групп.

группа. На сравнение рисунка и математической записи.

а) 1.составь запись по рисунку (на рис. показано чередование, повторение какой-то группы предметов или геометрических фигур либо в строчку, либо в столбик).

Если считать, что здесь по 2 повторили 4 раза, то 2*4.

Но если считать, что по 4 взяли 2 раза, то 4*2.

 2.Наоборот, по математической записи составить рисунок;

б) выбери запись, соответствующую этому рисунку. Дан рисунок (как в задании1) и записи: 2*4; 4*2; 2*3; 3*4; 2+4. Т.е. записи подбирают правильные или неправильные, с типичной ошибкой;

в) выбери рисунок к этой записи;

г) исправь ошибку в записи, чтобы она соответствовала рисунку;

д) исправь ошибку в записи;

е) закончи запись так, чтобы она соответствовала рисунку;

ж) закончи рисунок так, чтобы он соответствовал записи;

з) установи соответствие между несколькими рисунками и несколькими записями. Подберите такие задания самостоятельно.