Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2020-12-06 | 174 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть теперь По определению полагают, что
Если же a > 0, то по определению полагают, что
Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.
Пример 1
Вычислить
1)
2)
3)
Решение (Приложение 1)
Пусть a > 0, b > 0, r, s? любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.
1. ar · as = ar + s.
2. ar: as = ar - s.
3. (ar) s = ars.
4. ar · br = (ab) r.
5.
Пример 2
Упростите выражения
1)
2)
Решение (Приложение 1)
Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = xa, x > 0.
Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс "Открытая Математика 2.6. Функции и Графики", параграф 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.
1. К основным свойствам степенной функции y = xa при a > 0 относятся:
2. Область определения функции - промежуток (0; + ).
3. Область значений функции - промежуток (0; + ).
4. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
5. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то
6. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.
Рисунок 2.2.4.1. Степенная функция y = xa при a > 0
Рисунок 2.2.4.2. Степенная функция y = xa при a < 0
К основным свойствам степенной функции y = xa при a < 0 относятся:
· Область определения функции - промежуток (0; + ).
· Область значений функции - промежуток (0; + ).
· Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
· Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то
· График степенной функции при a < 0 изображён на рисунке.
|
Справедливы следующие свойства степенной функции:
·
·
· если n > k.
· на участке x > 1, если
· на участке 0 < x < 1, если
Мы знаем, какой смысл имеет выражение, где a 0, если показатель n — целое число. Например, (–3)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен –3. Число 2–6 означает число, обратное степени 26. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a >0 верно равенство . Например, , так как . Если принять, что равенство имеет место и в том случае, когда — дробное число, то все свойства, верные для целого показателя степени, будут выполняться и для дробного показателя с положительным основанием (это будет доказано на следующих уроках). |
Определение: Если a >0, – дробное число (m – целое, n – натуральное), то . |
По определению имеем: Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя: |
Если – дробное положительное число (m и n – натуральные), то . |
Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как , не имеют смысла. Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: и т. д. Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: как бы оно ни записывалось, результат будет один и тот же. Например: . В общем случае для а >0, m — целого и натуральных n и k получим: . |
Пример 1 | Представим степень с дробным показателем в виде корня: | ||||||
|
Пример 2 | Представим арифметический корень в виде степени с дробным показателем: | ||||||
|
Пример 3 | Укажем допустимые значения переменных в выражениях а) и б) . |
Степень с положительным дробным показателем определена только для неотрицательных оснований, а степень с отрицательным дробным показателем определена только для положительных оснований. Другими словами, основание должно быть положительно, но может равняться нулю при условии, что показатель положителен. а) 3– b 0; b 0. б) a –1>0; a >1. |
|
Известные свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. Перечислим их: |
Для любых a >0, b >0 и любых рациональных чисел p и q:
|
Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном примере способ докаазательства этого свойства. Пусть, например, p = , q = . Докажем, что Приведем дроби и к общему знаменателю: Так как и , то по свойству арифметическкого корня имеем: Переходя к степени с дробным показателем, получим: Следовательно, . Но , поэтому Приведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде. Представим рациональные числа p и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями: и , где k и m — целые числа, а n — натуральное число. Тогда Значит, Из свойства (1) следует, что |
для любого положительного a и любого рационального числа p . |
Действительно, . Свойство (2) следует из свойства (1) и определеения частного. Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при a >0 и любых рациональных p и q . Пусть и , где l и m — целые, а k и n — натуральные числа. Тогда Значит, . Покажем, что |
при любом рациональном p и любом натуральном n . |
Действительно, по определдению степени с дробным показателем и свойству (3) имеем: Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при a >0 и b >0 и любом рациональном p Пусть , где l — целое число и k — натуральное число. Тогда Значит, Свойство (5) можно доказать, представив дробь в виде произведения и применив затем свойство (4). |
Пример 1 | Представим в виде степени выражения: | |||
|
Пример 2 | Представим в виде степени выражение : |
Пример 3 | Вычислим . |
Пример 4 | Найдем значения выражений: | ||
|
| |||||
|
|
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!