Где ты, «ауреа медиокритас»?

 

Линейное программирование вышло на просторнейшее индустриально‑аграрное поле деятельности, охватив широкий спектр задач: о распределении посевных площадей, о составлении кормовых рационов, о перевозках грузов, о построении транспортных и энергетических сетей, о подборе шихты для выплавки чугуна и стали, о проектировании и эксплуатации нефтяных месторождений, о планировании производства, об автоматическом регулировании…

А говорят, все началось с «головоломки фанерного треста»: как лучше всего раскраивать материалы, чтобы поменьше оставалось отходов… Потом частную задачу обобщили: как организовать весь комплекс мероприятий, чтобы добиться максимального эффекта?

Метод Канторовича, этот изумительно эффективный и универсальный инструмент, доступен даже тем, кто не искушен в премудростях высшей математики, – достаточно постичь школьный курс алгебры.

Зачастую выкладки легко и быстро проделываются вручную – карандашом на бумаге, разве что с помощью логарифмической линейки или арифмометра.

Правда, при нескольких десятках анализируемых факторов (скажем, типов продукции) без электронных вычислителей уже не обойтись. Сколько же времени теперь отнимают у них подобные многовариантные задачи? Понятно, что не век, не год. Тогда, может, месяц, неделю? Несколько минут! И это у «Стрелы», которая вовсе не слывет чемпионом быстродействия.

Вот что значит остроумное математическое решение! Полученное творцом, оно стало для робота руководством к действию.

Математический аппарат, разработанный Леонидом Витальевичем Канторовичем, оперирует лишь теми функциональными взаимосвязями, которые называются линейными. Графически они изображаются прямыми (не кривыми) линиями. Следствия (результаты) здесь прямо пропорциональны причинам (воздействиям). Удвоил площадь делянки – двукратно вырос и валовой урожай, снятый с нее. Если взять шесть дорог, то одновременно по ним удастся пустить в полтора раза больше грузовиков, чем по четырем.

Между тем встречаются и нелинейные зависимости. Они хорошо знакомы оптикам и радиофизикам.

Или вот простой пример из колхозной жизни: время ожидания в очереди, выстроившейся к элеватору, обратно пропорционально количеству пунктов для приема зерна (такая функция изображается кривой – гиперболой).

Состояние системы нередко меняется с течением времени: возьмите летящую ракету, технологический процесс, шахматную партию, военную кампанию. Да и сельскохозяйственное или промышленное производство имеет свою динамику – его показатели в следующем году иные, чем в предшествующем. Здесь применимы другие подходы. Один из них – динамическое программирование. Его основы заложены американцем Р. Беллманом.

По схеме Беллмана задача предварительно членится на ряд последовательных шагов: в играх это ходы, в работе предприятий – квартальные или годовые планы. Оптимальное решение отыскивается для каждого этапа отдельно, но не близоруко («будь что будет, лишь бы сейчас было хорошо»), а с учетом всей цепочки дальнейших мероприятий. Любая тактическая операция допускает временные потери во имя окончательного стратегического успеха.

Следует, однако, оговориться, что линейное программирование тоже допускает многошаговый анализ, так что оно приложимо и к некоторым динамическим задачам (перспективное хозяйственное планирование, выработка оптимальной стратегии в конфликтных ситуациях, скажем, в сражении – при артобстреле, бомбардировке и так далее).

В наши дни теория оптимального планирования и управления бурно прогрессирует. Родившаяся совсем недавно, она успела богато приумножить доставшееся ей наследие – аппарат классического вариационного исчисления. Создатели его тоже занимались задачами на минимум и максимум, но главным образом в академическом плане (допустим: найти систему линий наименьшей протяженности между несколькими пунктами – это похоже на поиск рациональной транспортной сети). В современном вариационном исчислении, а оно нашло широкое применение в механике, оптике, электродинамике, важные результаты принадлежат М. А. Лаврентьеву, Н. Н. Боголюбову, Н. М. Крылову, Л. А. Люстернику и другим советским ученым.

Новые блестящие страницы в эту главу математики вписаны за последние годы Л. С. Понтрягиным и его учениками. Речь идет о знаменитом «принципе максимума». Он стал теоретической опорой в практике оптимального управления.

Нынешняя технология имеет дело со сложными процессами и агрегатами. Нелегко найти для них наиболее правильную линию поведения, которая обеспечила бы максимальную их эффективность. Вот, к примеру, синтез аммиака. Его ведут при сотнях градусов, ускоряя тем самым превращение исходных веществ в конечный продукт. Только вот беда: нагревание стимулирует и обратную реакцию – разложение аммиака на водород и азот. А это явно нежелательно. Понизить температуру? Нельзя: взаимодействие будет слишком вялым. Чтобы непрерывно подбадривать его без ущерба для производительности, давление поднимают до тысячи с лишним атмосфер.

А если и того пуще? Да, но тогда придется увеличить затрату электроэнергии, чтобы быстрее вращать моторы компрессоров. Себестоимость продукта незамедлительно поползет вверх. Кроме того, если подать особенно мощный напор, тем паче резко, рывком, то, чего доброго, нарушится герметичность труб или самой камеры. Так недолго и до аварии.

Чрезмерная интенсификация процесса не лучше недогрузки, ибо сопряжена с преждевременным износом установок, с возросшими эксплуатационными расходами, причем ей отнюдь не всегда сопутствует увеличение продуктивности, по крайней мере заметное и оправданное.

Ограничения, ограничения, ограничения – на каждом шагу ограничения. Тем не менее можно и нужно найти среди множества вариантов «золотую середину» («ауреа медиокритас», как говорил Гораций), такое сочетание технологических параметров, которое будет наиболее целесообразным в допустимых пределах, – оптимальный режим. И не только найти его, а. поддерживать сколь угодно долго, разумно меняя тактику по ходу дела. Эту проблему призвано решить оптимальное управление. Иногда оно напоминает балансирование на канате: малейшее отклонение в сторону рискованно, ибо грозит потерями – либо из‑за нежелательной перегрузки оборудования, либо из‑за недоиспользования его резервов. Такие «шатания» нередко обусловлены всякого рода случайностями, неравномерностями, которым подвержена работа любого технического объекта – будь то реактор, самолет или ракета. Умные приборы должны незамедлительно помочь оступившейся системе, снова направить ее на путь истинный.

Но и сами они, опекуны‑регуляторы, наделены далеко не полной свободой действий: их корректирующие усилия тоже ограниченны. Так, мощность двигателя имеет свой потолок, руль ракеты поворачивается не на любой угол, а лишь до упора или до какого‑то иного предела.

Эти жесткие рамки поведения в математике выражаются неравенствами: переменная величина, принимая разные значения, всегда остается меньше самого верхнего из них и одновременно больше самого нижнего. Порой ей разрешено достигать их, но никак не превосходить – неравенство дополняется равенствами для одной или обеих крайних точек разрешенного интервала, а математические трудности от этого только усугубляются.

Подобными ограничениями классическое вариационное исчисление не занималось и не интересовалось, так что оно оказалось совершенно беспомощным перед новыми проблемами, поставленными эпохой автоматизации. Взяв его методы на вооружение, теория оптимального управления вынуждена была прибегнуть к их радикальной модернизации.

Устаревший арсенал пополнился мощной математической техникой: это прежде всего понтрягинский принцип максимума и беллмановское динамическое программирование. Оба они сводят расчет оптимального управления к вариационной задаче о максимуме или минимуме какого‑то главного показателя, характеризующего эффективность процесса (например, суточная производительность промышленного агрегата, запас топлива или промежуток времени, необходимый для того, чтобы вывести спутник на орбиту). Любой основной критерий зависит от регулирующих воздействий.

Его взаимосвязь с ними описывается формулой, куда входят также регулируемые параметры системы.

Эта‑то функция и исследуется по всем правилам специальной математической процедуры при обязательном условии: найденный результат должен полностью удовлетворять тому самому набору неравенств, которыми учтены ограничения, наложенные на рассматриваемые факторы. Принцип максимума, подразумевающий использование обыкновенных дифференциальных уравнений, требует почти вдесятеро меньше вычислений, чем динамическое программирование, которое оперирует уравнениями в частных производных (их решение гораздо сложнее). Вот почему метод Понтрягина признан более совершенным. Неспроста сами американцы именно этим способом делают расчеты при выводе спутников на орбиту.

В 1962 году академик Л. С. Понтрягин и его сотрудники – доктора физико‑математических наук В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко – за совместный вклад в теорию оптимальных процессов и автоматического регулирования разделили честь называться лауреатами Ленинской премии.

Это крупное достижение советской математики не столько увенчало собой большой труд маленького коллектива, сколько послужило отправным пунктом для дальнейших плодотворных изысканий в том же направлении. По следам москвичей устремились киевляне. В Институте кибернетики АН УССР разработан новый способ решения вариационных задач, синтезировавший идеи Понтрягина и Беллмана.

Он позволил подготовить стандартные программы, по которым электронные проектировщики успешно выбирают оптимальные трассы для транспортных, энергетических и газовых магистралей.

Так. прогресс математики и кибернетики расширяет возможности счетной техники, увеличивает эффективность ее использования. Впрочем, содействие здесь обоюдное: машина платит сторицей, помогая математике, кибернетике и другим наукам.

Успехи и неудачи «электронного мозга» дали мощный импульс мозгу живому: познай самого себя.

Что есть мысль и чувство? Где грань между роботом и творцом? Проникновение в тайны своего естества вручит человеку ключи к самоуправлению и самосовершенствованию.

 

Без машины как без рук

 

Человек и машина… Практические выгоды такого союза очевидны.

«Одна из великих проблем, с которой мы неизбежно столкнемся в будущем, – проблема взаимоотношения человека и машины, проблема правильного распределения функций между ними, – писал Норберт Винер в своей последней книге „Творец и робот“. – Человеку – человеческое, машине – машинное. В этом и должна, по‑видимому, заключаться разумная линия поведения при организации совместных действий людей и машин. В наше время мы остро нуждаемся в изучении систем, включающих и биологические и механические элементы… Одна из областей, где можно использовать такие смешанные системы, – это создание протезов, заменяющих собой конечности или поврежденные органы чувств.

Немалая работа над созданием искусственных конечностей ведется в России, в США и в других странах группой ученых, к которой принадлежу и я. Эта работа по своим принципам намного интересней, так как она действительно использует кибернетические идеи. Искусственные руки уже были изготовлены в России, и они даже позволили некоторым инвалидам вернуться к продуктивному труду».

Летом 1960 года в Москву на I Международный конгресс по автоматическому управлению съехались посланцы разных континентов. Во время одного из докладов к доске подошел 15‑летний парнишка.

Он уверенно вывел на ней белым по черному: «Привет участникам конгресса!» Писал эти слова безрукий юноша. Брать мел, держать его, вырисовывать буквы, проделывать многие иные манипуляции молодому человеку позволял протез, побуждаемый к достижению цели лишь волей хозяина.

Когда мы хотим взять какой‑то предмет, из мозга по нервным волокнам к мускулам‑исполнителям тотчас поступает директива: «Сократиться!» Она представляет собой серию дискретных биоэлектрических сигналов. Чем сильнее наше желание, тем чаще импульсы.

Пусть теперь у пострадавшего ампутирована часть предплечья. У локтя еще сохранились остатки мышц, двигавших когда‑то пальцами. Когда инвалид, используя свой давний навык, пытается согнуть отсутствующую кисть, в недрах усеченной живой ткани возникают скачки электрохимических потенциалов.

Их воспринимают электроды, наложенные на культю. По проводам биоточные сигналы передаются в полупроводниковый блок управления, который запросто умещается в кармане. Там они преобразуются в соответствующую команду. Приказ адресуется миниатюрному электромоторчику, который питается от батарейки. Микродвигатель через систему рычажков заставляет искусственные пальцы сжиматься.

«Способ биоэлектрического управления» – так называлось авторское свидетельство от 27 марта 1957 года, выданное советским ученым и инженерам А. Е. Кобринскому, М. Г. Брейдо, В. О. Гурфинкелю, А. Я. Сысину, Я. С. Якобсону. А в конце 1959 года в СССР появилось первое в мире искусственное предплечье, функционирующее по этому принципу.

Гуманное изобретение советских специалистов служит сотням калек у нас и за рубежом, избавляя их от гнетущей беспомощности, возвращая им вместе с трудоспособностью радостное жизнеощущение.

В последние годы автоматами успешно имитируются также и другие органы: сердце, легкие, почка, ухо, даже нос. Неплохое дополнение к электронному мозгу и фотоэлектрическому глазу, не правда ли?

Может статься, из таких вот, разве что более совершенных, узлов и смонтируют когда‑нибудь искусственное разумное существо…

Биоэлектрическая рука подвела нас к целой коллекции моделей. Перед нами аппараты, которые по своим функциям, порой даже по форме и величине, напоминают тот или иной; натуральный объект, в данном случае физиологический. Что касается конструкционных материалов, внутреннего устройства, то здесь уже сходство весьма и весьма отдаленное, если вообще оно есть. Впрочем, модель всегда отражает лишь некоторые свойства оригинала – те, что наиболее существенны в условиях какой‑то задачи. И в зависимости от этого она в одних случаях представляет собой мертвый муляж, в других – действующий макет, в третьих…

…Ровные строчки цифр. Их напечатала на перфокартах электронная вычислительная машина «Киев».

Так подытожила она результаты, полученные за несколько секунд. А работа ее заключалась вот в чем: моделировался биологический процесс, начавшийся миллионы лет назад и продолжающийся по сию пору, – эволюция живых существ.

Жизненная среда, ее обитатели, их рождение, размножение и смерть, сохранение и изменение у них наследственных черт от поколения к поколению; гибель особей, не приспособленных к окружающим условиям, и естественное искоренение их рода; выживание лишь тех экземпляров, чье поведение, чьи качества наилучшим образом отвечали суровой действительности; передача этих благоприятных признаков от родителей к детям и закрепление их за потомками – как воссоздать сложную динамичную картину миллионолетней драмы? Ее участники, ее движущие силы, будь они материализованы в виде статичной диарамы или даже кинофильма, оказались бы словно убитыми до появления на свет: ведь в любой серии самых превосходных кадров каждая следующая сцена уже заготовлена заранее, и при новом просмотре она неотвратимо повторится.

Не такую модель реализовали в своей программе, названной «эволютором», киевляне А. А. Летичевский и А. А. Дородницына по идее В. М. Глушкова. Они ввели в цепочку событий элемент случайности, присущий самой природе. Отклонения от первоначальной линии поведения, вызванные у организмов «мутациями», были всякий раз неожиданными. При повторных машинных проигрываниях всей биологической эпопеи отдельные ее фрагменты и результаты не совпадали. Зато еще доказательней выявились общие закономерности, которым подчинены любые случайности.

Так советские ученые создали не мертвую иллюстрацию к дарвиновскому учению, а некое живое подобие исторических событий в биосфере.

Член‑корреспондент АН СССР А. А. Ляпунов (Новосибирск) и его московская сотрудница О. С. Кулагина – авторы другой аналогичной работы – считают, что на кибернетической модели эволюционного процесса удастся исследовать механизмы естественного отбора.

В «эволюторе» нет ни самих организмов, ни даже простых муляжей. Перед нами не что иное, как набор правил, который превращается в последовательность импульсов в радиоэлектронных схемах машины.

Но это самая настоящая модель. Теперь моделирование – неотъемлемая сторона всякого творческого поиска – все чаще осуществляется в «уме», в «воображении» машины.

Вот пример из химической технологии.

Проектирование промышленного аппарата обычно проходит долгий путь постепенного увеличения габаритов. Сначала, конечно, просто колба. Лабораторная установка. За ней укрупненная, опытная, дальше полупромышленная, наконец, заводская.

Но есть иной путь.

Еще в 30‑е годы молодой ученый, ныне академик, директор Новосибирского института катализа Георгий Константинович Боресков сформулировал и решил первые задачи по математическому моделированию химических процессов. Его замыслы простирались далеко. Рассчитывать заводские реакторы, минуя канительные промежуточные этапы, не строя полупромышленных установок, а исходя из анализа уравнений, выведенных на основе лабораторных экспериментов… Интересные, бесспорно, в теоретическом плане идеи Борескова пугали тогда громоздкостью и трудоемкостью расчета, требовавшего высокой квалификации как в математике, так и в химии. Положение изменилось с появлением вычислительных машин.

Подводя итоги 1963 года, президент нашей академии М. В. Келдыш заявил: «Получены первые результаты методов физического и математического моделирования к расчету некоторых химико‑технологических процессов, что сокращает сроки перехода от лабораторных опытов к промышленной реализации процессов. Эта проблема настолько важна, что на ней должны быть сосредоточены усилия и химиков, и физиков, и математиков».

Вместо 10–15 лет 2–3 года! В пять раз ускорилось внедрение новых процессов и аппаратов в современную технологию благодаря чудесному катализатору – математическому моделированию с помощью электронных машин.

Краеугольным камнем этого метода стала идея, высказанная Г. К. Боресковым и М. Г. Слинько в 1958 году. Не нужно создавать промышленный реактор в миниатюре! Цель лабораторных экспериментов вовсе не в том, чтобы максимально приблизиться к реальным заводским условиям. Конечно, теплофизические и гидродинамические факторы играют там огромную роль, здесь же они, накладываясь на чисто химические закономерности, только мешают изучить главное – кинетику взаимодействия.

Как же учесть тогда его физические стороны?

Например, как переносится тепло вместе с веществом, как оно передается стенкам сосуда и катализатору, как лучше подводить его или отводить. Наконец, существенны и гидродинамические характеристики процесса: ведь реакция идет не в спокойной, неподвижной среде, а в непрерывном потоке!

Все это уже выяснено учеными для подавляющего большинства практически важных процессов.

Зачастую можно воспользоваться готовыми результатами.

Остается установить химические закономерности и совместить их с физическими, чтобы затем перенести это сочетание в крупномасштабные условия. Как показал член‑корреспондент АН СССР Михаил Гаврилович Слинько, такая «проекция» не по плечу теории подобия, хоть она верой и правдой служит авиаконструкторам и кораблестроителям, испытывающим миниатюрную модель и сразу же пересчитывающим полученные результаты для всамделишного лайнера. Выход из положения – машинный анализ математической модели, то есть всего набора кинетических, теплофизических, гидродинамических уравнений.

С октября 1962 года в Институте катализа установлена «своя» вычислительная машина МН‑14.

В отличие от цифровых она называется аналоговой.

Грубо говоря, явления, протекающие в ее электрических цепях, схожи с теми, что наблюдаются в химическом аппарате, во всяком случае описываются одинаковыми уравнениями – как правило, дифференциальными.

Поневоле вспоминается высказывание Владимира Ильича Ленина: «Единство природы обнаруживается в „поразительной аналогичности“ дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явлений». В свое время великий русский кораблестроитель академик А. Н. Крылов также подметил эту особенность. Казалось бы, что общего между движением небесных светил и качкой корабля? «Если написать только формулы и уравнения без слов, – говорил Алексей Николаевич, – то нельзя отличить, какой из этих вопросов разрешается: уравнения одни и те же».

Вот и здесь: с одной стороны – концентрации, температуры, давления, с другой – напряжение электрического тока; законы же их изменения, допустим, сложения (интегрирования), одинаковы.

Машина «превращается» в реактор. Она «в уме» варьирует его характеристики и параметры технологического процесса, отбирая наилучшее сочетание.

Именно так на МН‑14 Институтом катализа был опробован новый способ получения формальдегида – важного полупродукта в производстве полимеров.

Три‑четыре дня моделирования – и перед химиками лежали готовые результаты. Вместе с лабораторными исследованиями все это заняло меньше четырех месяцев. Расчеты сразу же поступили в конструкторское бюро для проектирования заводского контактного аппарата.

Тем временем Новосибирский химзавод параллельно разрабатывал конструкцию обычным путем.

Монтаж, налаживание, пуск одной лишь опытной установки отняли почти год. Предстояла следующая стадия – изготовление и освоение полупромышленного варианта, и лишь после этого можно было приступить к созданию заводского агрегата.

Содружество химиков, математиков и машин высвободило колоссальные ресурсы времени и средств.