Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2020-08-20 | 105 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Тема Неопределенный интеграл
Непосредственное интегрирование
Функция F (х) называется первообразной для функции f (x), если F ¢ (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. Если функция f (x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении
F (х) + С,
Где С – постоянная.
Неопределенным интегралом от функции f (x) (или от выражения f (x) dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: f (x) dx = F (х)+C. Здесь ò - знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1°. ( f (x) dx)¢ = f (x).
2°. d ( f (x) dx) = f (x) dx.
3°. dF (x) = F (х) + C.
4°. af (x) dx = a f (x) dx, где а – постоянная.
5°. [ f1 (x) ± f2 (x)] dx = f1 (x) dx ± f2 (x) dx.
6°. Если f (x) dx = F (x) + C и u = j (x), то f(u) du = F (u) + C
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. . 7. .
2. . 8. .
3. . 9. .
4. . 10. .
5. . 11. .
6. . 12. .
13. .
Пример 1. Найти интеграл (x3- 5x2 + 7x - 3) dx.
Решение. Используя свойства 4° и 5°, получаем
К первым трем интегралам правой части применим формулу (2), а к четвертому интегралу – формулу (1) таблицы интегралов:
Пример 2. Найти интеграл ( + ) .
Решение:
( + )2 = ( ) = ( ) =
= + = = +С.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Пусть х = j (t), где j (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Тогда формула замены переменной в этом случае имеет вид
|
f(x)dx = f [j (t)] j¢ (t)dt.
Пример 3. Найти интеграл
Решение:
=
Пример 4. Найти интеграл
Решение:
Ответ должен быть выражен через старую переменную . Подставляя в результат интегрирования , получим
Пример 5. Найти интеграл
Решение:
Пример 6. Найти интеграл
Решение:
Пример 7. Найти интеграл
Решение:
. Возвращаясь к старой переменной, получим
Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
= – ,
где = j(х), = y (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x.
При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, например, для интегралов вида
где - многочлен, за u следует принять , а за dv - соответственно выражение для интегралов вида
за u принимаются соответственно функции а за dv - выражение
Пример 8. Найти интеграл
Решение:
= . По формуле интегрирования по частям находим
Пример 9. Найти интеграл
Решение:
= . Отсюда по формуле интегрирования по частям находим:
4. Интегрирование рациональных функций
Дробной - рациональной функцией называется функция, равная частному от деления двух многочленов:
R(x) = .
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае - неправильной. Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
,
где r(x) - многочлен, степени меньше степени знаменателя Q(x). Таким образом, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби. А интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей типа:
|
1. ; 2. ;
3. ; 4. .
(x2 +рх + q - не имеет действительных корней.)
Интегрирование простейших рациональных дробей:
1. .
2. .
3. Основной способ нахождения интеграла состоит в предварительном выделении полного квадратного трехчлена:
Рассмотрим этот способ на примере.
Пример 10. Вычислить интеграл
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и преобразуем дробь:
х2 +2х -1 = х2 +2х +1-1-1 = (х+1)2 -2.
Тогда = = - =
= - +С.
4. Если введем новую переменную t, положив t = х + и
х2 + рх + q = t2 + a2, где a2 = q - , то интеграл =In можно вычислить с помощью реккурентной формулы
In = .
Кратные интегралы
Двойные интегралы
Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ , ∆σ , …, ∆σ и диаметры d , d2, …, d (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P (ξ ;ηк) и умножим значение функции в точки P на площадь этой области.
Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида
.
Если при max d интегральная сумма имеет определенный конечный предел
I = ,
не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) в области D и обозначается следующим образом:
I = .
Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О , и снизу областью D плоскости хОy.
Основные свойства двойного интеграла:
1.
2. , где с – постоянная.
3. Если область интегрирования D разбита на две области D и D , то
4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то , где S - площадь области D, а m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y)в области D.
Пример 31. Вычислить ,если область D ограничена прямыми y = х, y = 2х, х =2, х =3.
Решение. Вначале построим заданную область D (рис.). Как видно
из графика
D = .
Тогда = 25 .
|
Пример 32. Изменить порядок интегрирования в интеграле:
I = .
Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая x равным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = , y = 4.
Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О (рис.).
Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х
уравнение параболы х = - и х = . Пределы внешнего интеграла y = 0 и х = 4 находим как наименьшее и наибольшее значение y во всей области ОАВ. Следовательно,
.
Рис. 15
Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = r cosj, y = r sinj,
осуществляется по формуле
.
Пример 33. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .
Решение. Полагая х = r cosj, y = r sinj, имеем уравнение окружности
r2 cos2j + r2 sin2j = 1 или r = 1, тогда
= = .
Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле
.
Если область D определена, например, неравенствами , то
.
Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то
.
Пример 34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, x + y = 6.
Решение. Построим данную область Д: , x + y = 6 (рис.16). Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений: и
|
x + y = 6. В результате получим А(4;2), В(3;3). Таким образом,
D= и площадь области равна:
dy =
= (кв.ед.).
Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл 1 - го рода. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А0, А1,…,Аn = В, имеющих длину ∆σ , ∆σ , …, ∆σ . Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку P (ξ ;ηк) и умножим значение функции в точки P на длину соответствующей дуги.
Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида
.
Если при max s интегральная сумма имеет определенный конечный предел
I = ,
то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x, y) и обозначается следующим образом:
.
Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
.
Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода:
1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: .
2. .
3. к , где к - константа.
4. Если К = К1ÈК2, то .
Пример 35. Вычислить интеграл , где L - дуга параболы
у2 = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 ).
Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х: х = . Тогда х¢ = у и интеграл преобразуется к виду = = .
Криволинейный интеграл 2 - го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида
,
где Dк и Dк - проекции дуги на оси Ох и Оу.
Криволинейным интегралом по координатам от выражения Р(х,у)dx+ +Q(x,y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что max Dх и max Dу :
.
Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то
.
Основные свойства криволинейного интеграла 2 - го рода. Криволинейный интеграл 2 - го рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:
.
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла 1 - го рода.
Пример 36. Вычислить интеграл , принимая за линию L:
1) отрезок прямой, соединяющий точки О (0,0) и А(1,1);
2) дугу параболы у = х2, соединяющей эти же точки.
Решение:
1. Уравнение линии интегрирования у = х. Следовательно, dy = dx и = .
2. у = х2, dy = 2xdx и = = =
.
Криволинейные интегралы по замкнутому множеству обозначим символом В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева (обход контура совершается против хода часовой стрелки), называется положительным.
|
Формула Грина. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области Д, то имеет место формула
,
где L - граница области Д, и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.
Пример 37. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L - контур прямоугольника с вершинами
О (0,0), А(5,0), В(5,4) и С(0,4).
Решение. Так как Р(х,у) = х2+у2, Q(x,y) = (х+у)2, то . Таким образом = = = I, Д - область прямоугольника ОАВС (рис.17).
Вычислим двойной интеграл по данной области Д:
Д= . I= .
Тема Неопределенный интеграл
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!