Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2020-08-20 | 184 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.
Пример 11. Найти интеграл
Решение. Так как каждый из двухчленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде
Освобождаясь от знаменателей, получим
При х = 1 6 = 3А, А = 2;
при х = 2 11 = -2В, В= - ;
при х = 4 27 = 6С, С = .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
Таким образом,
Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.
Пример 12. Найти интеграл
Решение. Множителю соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю - простейшая дробь Итак,
Освободимся от знаменателя:
х = 1 | 2 = 4А; A = |
x = -3 | 10 = -64D; D = - |
x = 0 | 1= -3B + 3C + |
x = -1 | 2 = 1- 4B + 8C + |
Откуда В = , С = .
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид
Таким образом, получим
=
Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.
Пример 14. Найти интеграл
Решение. Разлагаем дробь на простейшие дроби
Освобождаемся от знаменателя:
. Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:
при х2: | 0 = А+В |
x: | 0 = A+C |
x0: | 1 = A |
Откуда найдем А = 1, В = -1, С = -1.
Итак,
Следовательно,
= ln|x|-
- - = ln|x| - -
- +C.
Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.
|
Пример 13. Найти интеграл
Решение. Так как есть двукратный множитель, то
Освобождаясь от знаменателей, получим
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
1 |
Следовательно,
=
=
6. Интегрирование иррациональных функций
Неопределенный интеграл вида интегрируется
путем введения новой переменной .
Интегралы вида интегрируются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.
Пример 15. Вычислить интеграл .
Решение:
=
= , где
Пример 16. Вычислить интеграл .
Решение:
=
Интеграл вида , где n Î Z, интегрируются путем введения новой переменной t n = ax + b.
Пример 17. Вычислить интеграл .
Решение:
=
= -2t-2 = -2 +С.
Интегралы вида , где Pn (x) - многочлен степени n, вычисляются с помощью реккурентной формулы
= , (21)
где Q n - 1 (x) - многочлен степени (n - 1) с неопределенными коэффициентами и l - число. Коэффициенты многочлена и число l находятся при помощи дифференцирования тождества (21).
Пример 18. Вычислить интеграл .
Решение. Применяем формулу (21):
= (Ах+В) . Дифференцируем это тождество: . Откуда
х2 = А(х2 + 4) + х(Ах+В) + l.
Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:
х2: 1 = А +А
х: 0 = Вх
х0: 0 = 4A + l.
Итак, А = , В = 0, l = -2. Следовательно,
= = +С.
Интеграл от дифференциального бинома , где m, n, p - рациональные числа:
1) если р - целое число, то делаем замену х = t s, где s - общий знаменатель дробей m и n;
2) если - целое число, то делаем замену а+bх n = t s, где s - знаменатель дроби р;
3) если +р - целое число, то делаем замену ах – n+b = t s, где s - знаменатель дроби р.
Пример 19. Вычислить интеграл
Решение:
= =
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!