Касательная. Свойство касательной.

Опорный конспект.

Касательная. Свойство касательной.

Касательной называется прямая, которая имеет единственную общую точку с окружностью.

Теорема (свойство касательной). Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство. Дана касательная. Она имеет единственную общую точку с окружностью. Другие точки прямой лежат вне окружности и поэтому дальше от центра (расстояние до них больше радиуса). Значит, длина радиуса, проведенного в точку касания, — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до касательной. А кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

Признак касательной.

Теорема (признак касательной). Прямая, перпендикулярная радиусу в конечной его точке на окружности, является касательной.

Доказательство. (Все рассуждения проводятся как в предыдущей теореме, только в обратном порядке.)

Радиус перпендикулярен к прямой (она еще не касательная!). Длина перпендикуляра — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до прямой. Значит, другие точки прямой лежат дальше от центра. Так как расстояние до них больше радиуса, то все они лежат вне окружности и прямая имеет единственную общую точку с окружностью. А такая прямая является касательной.

Построение касательной циркулем и линейкой.

Построение касательной циркулем и линейкой. Соединяем данную точку с центром окружности. На полученном отрезке как на диаметре строим окружность, которая пересекает данную. Через данную точку и точку пересечения окружностей проводим прямую, которая и будет касательной.

Доказательство. Так как угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой (доказано нами в 7 классе), то построенная прямая проходит через точку на окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. Она является касательной по признаку касательной.

Исследование. Из данной точки вне окружности можно провести две касательных. Задача имеет два решения.

Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Доказательство. Соединим данную точку с центром окружности. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Прямоугольные треугольники равны по катету и общей гипотенузе. Отсюда следует равенство отрезков касательных.

Свойство окружностей, вписанных в угол.

Теорема. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство. Опустив радиусы в точки касания, получим, что центр окружности равноудален от сторон угла. А биссектриса — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (доказано нами в 7 классе).

Взаимное расположение двух окружностей.

R и r — радиусы окружностей, d — расстояние между ними. 1) d > R + r — окружности не пересекаются и расположены внешним образом; 2) d = R + r — касаются внешним образом — одна общая точка; 3) R – r < d < R + r — пересекаются; 4) d = R – r — касаются внутренним образом; 5) d < R – r — не пересекаются и одна расположена внутри другой (концентрические — если центры совпадают).

Центральный угол. Градусная мера дуги. Вписанный угол.

Центральным называется угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. (Иногда говорят просто: центральный угол равен дуге, на которую он опирается, имея в виду их градусные меры.) Полуокружность содержит 180°, окружность — 360°.

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный и вписанный углы соответствующие, если они опираются на одну и ту же дугу окружности, которая заключена внутри угла.

Свойство вписанного угла.

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Случай 1. Сторона вписанного угла проходит через диаметр. Угол АОС равен сумме углов 1 и 2 как внешний. Но ΔАОВ — равнобедренный (ОА = ОВ как радиусы). Поэтому углы 1 и 2 равны. Вписанный угол 1 равен половине центрального угла АОС, а значит, и половине дуги АС.

Случай 2. Стороны угла лежат по разные стороны от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полусумме этих дуг, т. е. половине дуги АС.

Случай 3. Стороны угла лежат по одну сторону от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полуразности этих дуг, т. е. половине дуги АС.

Опорный конспект.

Касательная. Свойство касательной.

Касательной называется прямая, которая имеет единственную общую точку с окружностью.

Теорема (свойство касательной). Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство. Дана касательная. Она имеет единственную общую точку с окружностью. Другие точки прямой лежат вне окружности и поэтому дальше от центра (расстояние до них больше радиуса). Значит, длина радиуса, проведенного в точку касания, — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до касательной. А кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

Признак касательной.

Теорема (признак касательной). Прямая, перпендикулярная радиусу в конечной его точке на окружности, является касательной.

Доказательство. (Все рассуждения проводятся как в предыдущей теореме, только в обратном порядке.)

Радиус перпендикулярен к прямой (она еще не касательная!). Длина перпендикуляра — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до прямой. Значит, другие точки прямой лежат дальше от центра. Так как расстояние до них больше радиуса, то все они лежат вне окружности и прямая имеет единственную общую точку с окружностью. А такая прямая является касательной.