Знал ли Пушкин числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи — элементы числовой возвратной последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (ряда Фибоначчи), в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих, таким образом, последовательность u1,u2, … чисел Фибоначчи задается начальными соотношениями u1 =u2 = 1 и рекуррентным соотношением un+1 = un-1 + un.

 

Многое в структуре произведений поэзии род­нит этот вид искусства с му­зыкой. Четкий ритм, зако­номерное чередование ударных и безударных сло­гов, упорядоченная раз­мерность стихотворений, их эмоциональная насы­щенность делают поэзию

родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обла­дает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся неко­торые черты музыкальных композиций, закономерности музы­кальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция, и чис­ла Фибоначчи.

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С. Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции - мерила гармонии и красоты.

Для анализа метрики стихотворений А.С. Пушкина рассмот­рены его произведения периода 1829-1836 годов, периода созда­ния наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов (без песен западных славян). Число строк в стихотворениях этого пе­риода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные фор­мы встречаются редко; число стихотворений с числом строк бо­лее 60 составило всего девять штук. Средний размер этих стихот­ворений составил 88 строк.

Казалось бы, величина стихотворения, определяемая чис­лом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки досамых больших, насчитываю­щих десятки строк. Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются пред­почтительные и редко встречающиеся размеры. На графике распределения стихотворений А.С. Пушкина по числу строк в них отчетливо выделяется несколько максимумов - наиболее часто встречающихся размеров (см. рисунок). Они явно тяго­теют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Причем по мере увеличения размеров стихотворений эти максимумы как бы «размывают­ся», нивелируются. Максимум в области 46-55 строк выражен совсем слабо.

 

 

Ч 8 12 16 20 24 28 32 36 40 W 48 52 56 60 64 68

 

Проявляется вполне зако­номерная тенденция в твор­ческой манере поэта; он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к чис­лам ряда Фибоначчи. Следу­ет учесть, что законы стихос­ложения требуют, как прави­ло, наличия четного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что сти­хотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно чаше, чем с числом строк 13. Это же справедливо и для интервала 20-22 строки. С учетом этого правомерно сгруппировать стихотворения по их размерам к некоторым областям, расположенным около чисел Фибоначчи. В результате стихотворения распределились следую­щим образом:

5 ± 1 строка - 14,

8 строк - 12, 14 ± 2 строки - 32,

22 ±2-15, 32 ±2-8 штук.

Общее число этих стихотворений составило 81, или около 80% к их общему числу.

... Характерно также, что наиболее выдающиеся произведения поэта, шедевры его творчества явно тяготеют к размерам 8, 13, 21 и 34 строки. К ним относятся стихи «В крови горит огонь жела­ний...», «Я вас любил, любовь еще, быть может...», и, наконец, одно из последних: «Пора, мой друг, пора! покоя сердце просит...», - все они состоят из восьми строк. В таких замечательных произве­дениях поэта, как «Сонет», «Поэту», «Мадонна», «Няне», - 13-14 строк. По 20 строк в таких известных стихотворениях, как «Храни меня, мой талисман», «Во глубине сибирских руд», «Поэт», «Когда в объятия мои», «Я здесь, Инезилья...» и в предсмертном «Я памятник себе воздвиг нерукотворный...»

Числа Фибоначчи не только доминируют в размерах стихот­ворений А.С. Пушкина, они определяют во многих случаях и внут­реннюю композицию стихотворений: число стихов и число строк в них. Из 106 рассмотренных стихотворений его в 54 встречаются числа 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. В 16 произведениях стихи состояли из восьми строк (3 х 8, 5 х 8, 8 х 8). Так, в стихотворении «Моя родословная» - 8 восьмистиший, в стихотворении «Друзьям» и «Дорожные жалобы» - 8 четверостиший. Конечно, число 8 удобно для стихосложения еще и потому, что оно четное. Но ведь четными являются и числа 6 и 10, однако они встречаются в произведениях поэта крайне редко.

... Преобладание в метрике стихотворений А.С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Наличие этих чисел выражает одну из фундаменталь­ных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Характерно, что нечетные числа это­го ряда 3, 13, 15, 21 затрудняют стихосложение, рифмование строк. Но поэт пользуется этими размерностями, так как они отвечают тре­бованиям художественной формы, формы новой, необычной, ориги­нальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.

В коротких стихотворениях размером в 4-8 строк, как прави­ло, выражена одна мысль, эмоциональное состояние поэта. Но сти­хотворения более значительные по размеру, содержащие 12-14 или 20-22 строки, очень часто включают в себя две мысли, два эмоциональных нюанса. Поэтому такие стихотворения состоят как бы из двух частей. Такое деление стихов на две части бывает сим­метричным - произведение делится на две равные части. Но зна­чительно чаше части стихотворения не равны по размеру, асим­метричны. В таких произведениях отношение большей части к меньшей очень часто отвечает рядом расположенным числам Фи­боначчи (или близко к ним, учитывая четность числа строк) и, сле­довательно, близко к золотой пропорции. Некоторые стихотворе­ния А.С. Пушкина очень четко отвечают этой закономерности внутренней композиции.

В стихотворении «Поедем, я готов; куда бы вы, друзья...» со­держится 13 строк. В нем выделяются две смысловые части: пер­вая в 8 строк и вторая в 5 строк.

В стихотворении «Элегия» («Безумных лет угасшее веселье...») две части - 6 строк и 8 строк. В стихе «Нет, я не дорожу мятежным наслажденьем...» также выделяются две части размером в 6 и 8 строк.

... После приведенного анализа стихотворений А.С. Пушкина уже не, кажется простой случайностью тот факт, что его роман в стихах «Евгений Онегин» состоит из 8 глав, в каждой главе в сред­нем около 50 стихов (а глава 7-я состоит из 55 стихов), а каждый стих состоит из 14 строчек. Похоже, что основная схема построе­ния «Евгения Онегина» основана на близости к трем числам Фи­боначчи: 8, 13, 55. Тяготение Пушкина к этим числам очевидно и, конечно, не случайно.

... Тяготение к определенным стихотворным формам харак­терно для каждого поэта, оно и определяет его индивидуальность. Для А.С. Пушкина характерно большое разнообразие таких форм, но есть у него и наиболее излюбленные. По-видимому, сюда отно­сится и неосознанное, интуитивное тяготение к числам 5, 8, 13, 21, 34, 55. Ведь интуиция в творчестве А.С. Пушкина была необы­чайно сильной и плодотворной, во многом она и определила гени­альность его произведений.

... В метрике и композиции стихов А.С. Пушкина сосуществу­ют два начала, обеспечивающие их гармонию: симметрия и асим­метрия. Симметрия стихотворений выражается в четном числе рифмованных строк, в наличии 4-, 6- и 8-стиший, в парном коли­честве стихов в произведениях. Некоторые стихотворения сим­метричны по смысловому содержанию, которое делит их на две равные части (например «Город пышный, город бедный...», «Счас­ тлив тот, кто избран своенравно...», «И.И. Пущину» и др.). Про­стота симметричных построений придает стихам красоту упоря­доченности, легкость восприятия, строгость и монументальность.

Различные формы асимметрии проявляются в существовании непарного числа строк, наличии структур стихосложения 3 х 5, 5 х 3, 5 х 7 и т. п., несимметричном расположении кульминацион­ных моментов, границ раздела стихотворений на различные по содержанию или интонации части. Асимметрия придает стихам живость, повышает эмоциональное воздействие. Одним из выра­жений асимметрии в метрике и композиции стихов является золо­тая пропорция, подчинение метрики числам Фибоначчи. Как из­вестно, числа Фибоначчи отражают особенности роста живого, эти же особенности проявляются и в рождении, и в росте стихот­ворных творений поэта. Сочетание этих двух основ гармонии и порождает удивительное разнообразие художественных форм в поэзии А.С. Пушкина.

... Рассмотрим композицию «Пиковой дамы». В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини. В повести (издания 1978 г.) 853 строки. Кульминационный момент повести - это смерть графини. Ему отвечает 535-я строка: «Потом покатилась навзничь... и осталась недвижима». Эта строка расположена в по­вести почти точно в месте золотого сечения, так как 835: 535 = 1,6. Читатель может возразить, что кульминационным моментом является восклицание Германна: «Старая ведьма! Так я ж застав­лю тебя отвечать» - или момент, когда Германн убедился, что она умерла. Не будем вдаваться в мелкие детали этой сцены, тем бо­лее что речь идет здесь о разнице всего в несколько строк.

Наличие золотой пропорции и определяет основной план ком­позиции «Пиковой дамы», придает ей гармоническую асиммет­ричность: медленное нарастание эмоционального напряжения повествования, кульминация - смерть графини и постепенный спад эмоционального накала во второй части повествования.

Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция? В пер­вой главе золотому сечению отвечает 68-я строка (всего в главе 110 строк): «Сен-Жермен задумался». Но ведь это уже узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: от­кроет ли Сен-Жермен свою тайну графине, выручит ли ее, изба­вив от огромного карточного долга, или... графиня будет обрече­на на разорение и позор.

Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135-ю строку: «Однажды - это случилось два дня после вечера, описанного...» Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С. Пушкин совершен­но точно определил это место во второй главе в золотом сечении - будто по калькулятору рассчитывал число строк; ведь 219: 135 = 1,62.

Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. С помощью Лизы он проникает в дом графини, прячется в темном кабинете и ждет возвращения графини. «Он был спокоен; сердце его билось ровно, как у человека, решившегося на что-нибудь опасное, но необходимое. Часы пробили первый и второй час утра, - и он ус­лышал далекий стук кареты. Невольное волнение овладело им. Карета подъехала и остановилась».

Последняя фраза начинает новый отсчет времени для Герман­на (и для графини). Эта фраза приходится на 131-ю строку тре­тьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив

212: 131, мы полу­чим точно золотую пропорцию (212: 131 = 1,618)! Это порази­тельно! Какое фантастически точное интуитивное владение поэтом законами гармонической композиции!

В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция при­ходится на 70-ю строку: «Лизавета Ивановна выслушала его с ужа­ сом». Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы. Она вспомнила слова Томского: «У этого человека, по крайней мере, три злодейства на душе!» Она поняла с ужасом, что Германн ви­новник смерти графини, что Германна влекла не любовь к ней, а жажда денег.

В V главе описано посещение Германном похорон графини. Германн был «чрезвычайно расстроен» видом покойницы. В трак­тире он много выпил. «Возвратясь домой, он бросился, не разде­ваясь, на кровать и крепко заснул». Эта 46-я строка пятой главы разделила повествование на две части: первая - похороны графи­ни и приход к ней Германна и вторая - сон Германна, во время которого к нему явилась графиня и назвала три заветные карты - тройка, семерка, туз. Эта 46-я строка также отвечает золотой про­порции, ведь всего в этой главе 75 строк (75: 46 = 1,63).

В последней главе кульминационный момент заключен в возгла­се Германна: «Старуха!», который приходится на самый конец - на 5-ю строку от заключительной части повествования. Золотая пропор­ция приходится на 77-ю строку: «Германн выпил стакан лимонаду и отправился домой», которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в компози­ции последней главы повести присутствует золотая пропорция.

... Совпадение кульминационных моментов в произведениях прозы у А.С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близ­кое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность ве­ликого поэта и писателя.

III. Заключение

Как видно, в лицейские годы чистая и прикладная математика юным Александром Пушкиным не воспринималось как «милые предметы». Зато впоследствии, когда он писал о своём стремлении «в просвещении стать с веком наравне», поэт, несомненно, проявил большой интерес к математике, что нашло отражение в его гениальных творениях. Друг поэта П. А. Вяземский (1792 – 1878) писал о Пушкине, что был «страстен и к наукам естественным и особенно математическим, которые составляли значительный капитал его познаний и были до конца любимым предметом его учёных занятий и глубоких исследований».

 

Теоретическая и практическая значимость исследования заключается в том, что этим материалом можно развеять миф о нелюбви поэта к точной науке математике, использовать в качестве доказательства близость таких явлений человеческой мысли и творчества как литература и математика.

Литература

1. А. С. Пушкин в воспоминаниях современников. – В 2-х т. – М.: 1981. – Т. 1.
2. Депман И. Я. История арифметики. – М.: Учпедгиз, 1959.
3. Краюхин С. Поверив алгеброй гармонию «Слова…», поэт обнаружил серебряное сечение. – Газета «Известия», № 19 /1996, 1 февраля.
4. Марков А. А. Пример статистического исследования над текстом «Евгений Онегина», иллюстрирующий связь испытаний в цепь. – Известия Академии наук. – Серия 8. – СПб. – Т. 8. - № 3, 1999г, с. 153 – 162.
5. Пушкин А. С. Полное собрание сочинений. – Т. 9. – М.: Академия, 1987.
6. Пушкин А. С. Сочинения. – В 3-х т. – М.: Художественная литература, 1985 – 1987.
7. Пушкин А. С. Собрание сочинений. – Т. 7. – М.: Наука, 1964, с. 144.
8. Тарзиманова Г. Стихотворение Лобачевского. – Журнал «Квант»,

№ 8/1980, с. 18 – 19.

1. Френкель В. Я. Пушкин и точные науки. – Журнал «Квант», № 8/1978, с. 28-32.
2. О теории вероятности и математической статистике (переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова). – М.: Наука, 1977.