Распределение температуры воды в цилиндрическом слое.

Рис. 2

R

r

r 1

r 2

S 2

S 1

Задача. Пренебрегая конвекцией, получить закон изменения температуры воды в цилиндрическом слое в зависимости от расстояния до струны.

Решение. Обозначим температуру воды вблизи стенки сосуда  (рис.2), радиус сосуда R, температуру струны .

Градиент температуры в сосуде направлен по радиусу от струны к поверхности сосуда, следовательно, величина градиента  равна производной от температуры по радиусу .

Поскольку, в силу закона сохранения энергии в стационарном режиме количество тепла, передаваемое через любые две коаксиальные цилиндрические поверхности симметричные относительно струны (рис.2), одинаково, то, используя закон Фурье, для двух цилиндрических поверхностей S ₁ и S ₂ получим

Учитывая, что площадь цилиндрической поверхности , можно записать следующее соотношение

Откуда видно, что величина градиента температуры в цилиндре убывает обратно пропорционально расстоянию

.

Интегрируя это равенство, получаем закон изменения температуры

.

Константы находим из известных температур поверхности струны и воды у поверхности сосуда:

Возможен другой вариант решения этой задачи при непосредственном решении уравнения Лапласа, поскольку уравнение Лапласа выводится с использованием по сути дела тех же физических соображений о равенстве потоков тепла через некоторые поверхности, которые были использованы в выше указанном варианте решения.

Таблица 3

Множители и приставки для образования десятичных и кратных единиц

Таблица 4

Основные величины, их обозначения и единицы величин в СИ

Таблица 5

 Коэффициент теплопроводности и плотность некоторых строительных материалов