Исследовательская работа на тему:

Исследовательская работа на тему:

«Интересные точки треугольника»

 

 

Выполнили студентки группы 16ФПМ1:

Цветкова Ксения, Новичкова Анна.

 

Руководитель: к.п.н, доцент

Марина Елена Владимировна

 

Пенза, 2020

 

Содержание

Введение. 3

Норма набора чисел. 4

Точка, наименее удаленная от вершин треугольника. 5

Точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая. 10

Точка, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально. 12

Заключение. 13

Список литературы: 14

 

 

 

Введение

В евклидовой плоскости исследуем геометрическую задачу на минимум. В задаче нужно найти точку, наименее удаленную от вершин данного треугольника. Во этом случае длина – обычная (евклидова). Постановка задач выглядит несколько непривычно: что значит «точка, наименее удаленная от вершин треугольника»? У треугольника три вершины, значит, есть три расстояния от точки до этих вершин. Какое из них должно быть наименьшим? Или все три сразу? Именно эти вопросы определили актуальность нашего проекта.

 

Цель работы: исследовать решения задач на минимум, как находится ответ и как правильно он обосновывается, используя понятие нормы.

 

Задачи работы:

1. Изучить понятие нормы числа.

2. Рассмотреть решение задачи Ферма-Торричелли–Штейнера

3. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая.

4. Найти точку, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально.

 

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой.

• Анализ геометрических задач на минимум.

• Решение геометрических задач на минимум.

• Использование компьютерной программы «Математический конструктор 1С», интерактивной компьютерной среды «GeoGebra»

Ожидаемые результаты:точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая – точка пересечения медиан треугольника.

Точка, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально – центр описанной окружности.

 

 

Норма набора чисел

Если нам даны два числа, мы можем легко их сравнить и выяснить, какое больше. А как сравнить два набора чисел? Пусть есть наборы чисел  и . Какой из них больше? Например, простая ситуация: есть двое весов, нам нужно понять, какие работают лучше. Провели три контрольных взвешивания. Первые весы сначала ошиблись на 10 граммов (в какую сторону – не важно), потом на 3 грамма, потом на 4. Вторые весы – соответственно, на 5, 8 и 6 граммов. Получается, что у нас есть два набора чисел  и  Какой из них меньше, те весы точнее. Так какие же? Первое, что можно сделать, – найти максимум трех чисел. У первого набора это 10, у второго 8. По такому измерению больше набор , и, значит, первые весы хуже (они сделали самую большую ошибку). Можно поступить по-другому: сложить числа каждого набора. Здесь получается наоборот: первый набор меньше второго (17 против 19), значит, первые весы лучше. Математикам часто удобнее иметь дело не с суммой чисел и не с максимумом, а со средним квадратическим, т.е. с корнем из суммы квадратов. По этому показателю в каждом наборе получаем  , т.е. весы работают одинаково. Результат зависит от того, как сравнивать. Меры, которые мы при этом использовали, называются        Lp -нормами наборов чисел.

Определение: Пусть дан набор чисел  и число p≥1. Тогда   Lp – нормой данного набора называется величина                             

.

Необходимость сравнивать наборы чисел возникает в математике постоянно, в самых разных задачах. И в большинстве случаев это делается с помощью Lp – нормы. При этом вопрос, какое взять p, решается, исходя из конкретной задачи.

С помощью Lp -нормы можно не только сравнивать наборы чисел, но и по-новому измерять расстояния между точками. Одно из фундаментальных понятий математики – пространства Lp. Общего определения дать не сможем, а рассмотрим только простейший случай: двумерное пространство Lp. Это обычная плоскость, в которой задана обычная декартова система координат, а расстояния между точками определяются как Lp -норма разностей их координат. Lp - расстоянием между точками A и B – его обозначают  – называется Lp – норма набора из двух чисел: разность абсцисс точек А и В и разность ординат. Таким образом, расстояние между точками  и  – это .

 

 

Заключение

В ходе нашей работы мы изучили понятие нормы числа, рассмотрели решение задачи Ферма-Торричелли–Штейнера, исследовали решения задач на минимум: как находится ответ и как правильно он обосновывается, используя понятие нормы.

Нам удалось решить задачу: найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая. Мы доказали нашу гипотезу. Точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая – точка пересечения медиан треугольника.

Продолжением нашей работы считаем решение следующих задач: для произвольного p ≥ 2 нужно найти точку M, для которой величина наименьшая.

 

Список литературы:

1. Журнал «Квант» - 2012 год, №2.

2. Точки Ферма, прямые Эйлера и кое-что еще Н.Белухов, А.Заславский, О.Заславский, П.Кожевников, Д.Креков

Ссылка на источник: https://www.turgor.ru/lktg/2017/2/2-1ru-sol.pdf

3. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.: МЦНМО, 2011.

 

 

Исследовательская работа на тему:

«Интересные точки треугольника»

 

 

Выполнили студентки группы 16ФПМ1:

Цветкова Ксения, Новичкова Анна.

 

Руководитель: к.п.н, доцент

Марина Елена Владимировна

 

Пенза, 2020

 

Содержание

Введение. 3

Норма набора чисел. 4

Точка, наименее удаленная от вершин треугольника. 5

Точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая. 10

Точка, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально. 12

Заключение. 13

Список литературы: 14

 

 

 

Введение

В евклидовой плоскости исследуем геометрическую задачу на минимум. В задаче нужно найти точку, наименее удаленную от вершин данного треугольника. Во этом случае длина – обычная (евклидова). Постановка задач выглядит несколько непривычно: что значит «точка, наименее удаленная от вершин треугольника»? У треугольника три вершины, значит, есть три расстояния от точки до этих вершин. Какое из них должно быть наименьшим? Или все три сразу? Именно эти вопросы определили актуальность нашего проекта.

 

Цель работы: исследовать решения задач на минимум, как находится ответ и как правильно он обосновывается, используя понятие нормы.

 

Задачи работы:

1. Изучить понятие нормы числа.

2. Рассмотреть решение задачи Ферма-Торричелли–Штейнера

3. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая.

4. Найти точку, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально.

 

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой.

• Анализ геометрических задач на минимум.

• Решение геометрических задач на минимум.

• Использование компьютерной программы «Математический конструктор 1С», интерактивной компьютерной среды «GeoGebra»

Ожидаемые результаты:точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая – точка пересечения медиан треугольника.

Точка, для которой наибольшее из трех расстояний до вершин данного остроугольного треугольника минимально – центр описанной окружности.

 

 

Норма набора чисел

Если нам даны два числа, мы можем легко их сравнить и выяснить, какое больше. А как сравнить два набора чисел? Пусть есть наборы чисел  и . Какой из них больше? Например, простая ситуация: есть двое весов, нам нужно понять, какие работают лучше. Провели три контрольных взвешивания. Первые весы сначала ошиблись на 10 граммов (в какую сторону – не важно), потом на 3 грамма, потом на 4. Вторые весы – соответственно, на 5, 8 и 6 граммов. Получается, что у нас есть два набора чисел  и  Какой из них меньше, те весы точнее. Так какие же? Первое, что можно сделать, – найти максимум трех чисел. У первого набора это 10, у второго 8. По такому измерению больше набор , и, значит, первые весы хуже (они сделали самую большую ошибку). Можно поступить по-другому: сложить числа каждого набора. Здесь получается наоборот: первый набор меньше второго (17 против 19), значит, первые весы лучше. Математикам часто удобнее иметь дело не с суммой чисел и не с максимумом, а со средним квадратическим, т.е. с корнем из суммы квадратов. По этому показателю в каждом наборе получаем  , т.е. весы работают одинаково. Результат зависит от того, как сравнивать. Меры, которые мы при этом использовали, называются        Lp -нормами наборов чисел.

Определение: Пусть дан набор чисел  и число p≥1. Тогда   Lp – нормой данного набора называется величина                             

.

Необходимость сравнивать наборы чисел возникает в математике постоянно, в самых разных задачах. И в большинстве случаев это делается с помощью Lp – нормы. При этом вопрос, какое взять p, решается, исходя из конкретной задачи.

С помощью Lp -нормы можно не только сравнивать наборы чисел, но и по-новому измерять расстояния между точками. Одно из фундаментальных понятий математики – пространства Lp. Общего определения дать не сможем, а рассмотрим только простейший случай: двумерное пространство Lp. Это обычная плоскость, в которой задана обычная декартова система координат, а расстояния между точками определяются как Lp -норма разностей их координат. Lp - расстоянием между точками A и B – его обозначают  – называется Lp – норма набора из двух чисел: разность абсцисс точек А и В и разность ординат. Таким образом, расстояние между точками  и  – это .