Многогранники . Правильные многогранники.

МНОГОГРАННИКИ. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

Определение. Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

  Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Определение. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1) все его грани – равные правильные многоугольники;

2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;

3) все его двугранные углы равны.

Следствия. В правильном многограннике равны:

а) все ребра;

б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Существует всего пять правильных многогранников:

Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр	Правильный икосаэдр	Куб (гексаэдр)	Правильный додекаэдр
Составлен из четырёх равносторонних треугольников	Составлен из восьми равносторонних треугольников.	Составлен из двадцати равносторонних треугольников	Составлен из шести квадратов	Составлен из двенадцати правильных пятиугольников

 

Следствие. Выпуклых многогранников, у которых в каждой грани больше пяти ребер или в каждой вершине сходится более пяти ребер не существует.

Теорема Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.   Г + В = Р + 2

                         Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.               Г + В - Р = 2

Правильный многогранник

Число

граней вершин рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30

ПРИЗМА

 

Определение. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки многоугольников. 

 

Основания                       ABCDE, KLMNP              

Боковые грани             Все грани, кроме оснований. ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP

Боковые ребра              AK, BL, CM, DN, EP

Высота                            KR

Диагональ                       BP

Диагональное сечение EBLP

 

 

• основания призмы равны.
• у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.
• у призмы боковые ребра параллельны и равны.

                         

Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

Определение. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

 

• Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
• Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
• Боковые ребра правильной призмы равны.
• Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

                                      ПРЯМОЙ                                                                       НАКЛОННЫЙ

 

 

Определение. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

 

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

AA ` BB `= DD ` CC `, AA ` BB `|| DD ` CC `

Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

 

A`O = OC, B`O = OD

 

 

Определение. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники.

 

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длина непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда их три: длина, ширина, высота.

Центр симметрии прямоугольного параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.

Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

 

А`С<sup>2</sup>= А`А² + АД² +ДС².

 

ПИРАМИДА

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

 

А- вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE- ребра пирамиды;

ADE, AEB, ABC, ACD- боковые грани пирамиды;

BCDE- основание пирамиды;

AО- высота;

AF- апофема;

AEC-диагональное сечение.

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

У правильной пирамиды боковые ребра равны, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

 

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Если сечение пирамиды параллельно основанию, то мы получим усеченную пирамиду.

Определение. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

 

 

А₁А₂ А₃А₄А₅ и В₁В₂В₃В₄В₅ - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

А₁В₁ В₂А₂, В₂А₂В₃А₃… - боковые грани усечённой пирамиды. 

 СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды

 

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ЦИЛИНДР.

Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар, сфера.

Определение. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

прямая OO` - ось цилиндра

отрезок OO`- высота,

отрезок АА`= ВВ` - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O`, O`В`) – основание цилиндра

 

 

Если секущая плоскость цилиндра проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра. Такое сечениеназывается осевым.

 

Определение. Цилиндр называется равносторонним, если осевое сечение является квадратом.

 

 Е сли секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Задача №1. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если рассто­яние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Решение:

А₁В₁ВА- прямоугольник. Из ∆АСО по теореме Пифагора АС=

AС= , AB=2

S=AB∙H= =2 ∙8=16∙4=64 см²

 

 

Ответ: 64 см²

 

Задача №2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Решение:

AA ₁ B ₁ B – квадрат, AB ₁ = 20 см, AB = H;  

                     (см²).

Ответ:   (см²).

КОНУС.

 

Определение. Конусом (круговым конусом), называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания- образующие конуса.

 

Определение Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

 

 

т. S – вершина конуса

круг (О,ОА) – основание конуса

SA=SB – образующие конуса

Отрезок SO – высота конуса

Прямая SO – ось конуса

 

 

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

 

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса

 

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Определение. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры- высотой усеченного конуса.

h — высота усеченного конуса,

r₁  и r₂   — радиусы основания усеченного конуса, l — образующая усеченного конуса.

               

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

 

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция.

Задача №1. Высота конуса равна 15 см², а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Решение:

Из ∆РОВ по теореме Пифагора

 

Ответ:

Задача № 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если = 30 .

Решение:

SOB – прямоугольный, в нем катеты – SO, OB, гипотенуза – SB, = cos30  , ОВ = R (радиус основания) ОВ= SB∙  = 6   см.

В основании конуса лежит круг: S = R ,    S  =  (см )

Ответ:  (см )

Задача № 3. В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 см, радиус меньшего основания 3 см, высота 6 см. Найдите радиус большего основания.

Решение:

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. ВД- диагональ данной трапеции. Из вершины В опустим высоту. ВК=ОО₁=6см. По теорема Пифагора, из ∆ДВК- прямоугольный, найдем ДК.  см. ДК=8 см. ДК=ДО₁+О₁К, О₁К=ОВ= 3 см.

Следовательно ДО₁= ДК- О₁К=8-3=5 см.

Ответ: 5 см.

ШАР.

Определение .  Шар - тело, которое состоит из всех точек пространства, находящих на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Точка называется центром шара, а расстояние- радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

 

О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

 

 

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Плоскость, проходящая через центр шара называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы-  большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

 

Определение. Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

 

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

 

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Задача № 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36 (м ). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S = r  , где r- радиус сечения.

   36  = r     r = 36 (м ), r = 6 см.

2. ОО^’ Х – прямоугольный

     (ОО^’ ) = OX - O^’X  - по  т. Пифагора

      (ОО^’ ) =100 – 36 =64, ОО^’ = 8 м

Ответ: 8 м

Задача № 2. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

 

Решение.

АК ОК. По теореме Пифагора из треугольника ОАК: АК² = АО² – ОК²,                      АК = = 15. AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы,   

AM = АО-ОМ = 17 – 8 = 9 см.

Ответ: 9. см

МНОГОГРАННИКИ. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

Определение. Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

  Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Определение. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1) все его грани – равные правильные многоугольники;

2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;

3) все его двугранные углы равны.

Следствия. В правильном многограннике равны:

а) все ребра;

б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Существует всего пять правильных многогранников:

Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр	Правильный икосаэдр	Куб (гексаэдр)	Правильный додекаэдр
Составлен из четырёх равносторонних треугольников	Составлен из восьми равносторонних треугольников.	Составлен из двадцати равносторонних треугольников	Составлен из шести квадратов	Составлен из двенадцати правильных пятиугольников

 

Следствие. Выпуклых многогранников, у которых в каждой грани больше пяти ребер или в каждой вершине сходится более пяти ребер не существует.

Теорема Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.   Г + В = Р + 2

                         Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.               Г + В - Р = 2

Правильный многогранник

Число

граней вершин рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30

ПРИЗМА

 

Определение. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки многоугольников. 

 

Основания                       ABCDE, KLMNP              

Боковые грани             Все грани, кроме оснований. ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP

Боковые ребра              AK, BL, CM, DN, EP

Высота                            KR

Диагональ                       BP

Диагональное сечение EBLP

 

 

• основания призмы равны.
• у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.
• у призмы боковые ребра параллельны и равны.

                         

Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

Определение. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

 

• Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
• Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
• Боковые ребра правильной призмы равны.
• Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

                                      ПРЯМОЙ                                                                       НАКЛОННЫЙ

 

 

Определение. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

 

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

AA ` BB `= DD ` CC `, AA ` BB `|| DD ` CC `

Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

 

A`O = OC, B`O = OD

 

 

Определение. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники.

 

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длина непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда их три: длина, ширина, высота.

Центр симметрии прямоугольного параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.

Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

 

А`С<sup>2</sup>= А`А² + АД² +ДС².