Задачи по базовому разделу I

Входной контроль

(1 уровень)
Вопросы	Ответы
Выражение a2+10a+25 эквивалентно выражению	(а+5)2
Выражение (a-5)(а+5) эквивалентно выражению	(а2-52)
Целой частью дроби 7/2 является	3
Целой частью дроби 9/5 является	1
а×(3/4) равно
:  равно
+  равно
Наименьший общий знаменатель дробей 3/4 и 5/8 равен	8
Наименьший общий знаменатель дробей 2/15 и 1/2 равен	30
Уравнение 3x2+6x=12 эквивалентно уравнению	x2+2x-4=0
Уравнение  = эквивалентно уравнению	= 1
Уравнение  = эквивалентно уравнению	8x=15
Уравнение  = эквивалентно уравнению	8x-15=0
2,25 равно	2
5  равно	5,5
0,03 равно	3×10-2
28,12 равно	0,2812×100
0,0005 равно	5×10-4 или 5/10000
равно	8,12
Квадратное уравнение имеет максимум	2 корня
Кубическое уравнение имеет максимум	3 корня
Дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен	b2-4ac
Если дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен 0, то уравнение имеет	1 решение
Если дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 < 0, то уравнение имеет	0 действительных корней
Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0 с дискриминантом D есть
Комплексным называется число	содержащее корень из отрицательного числа и содержащее мнимую часть
Мнимая единица i это
Если i – мнимая единица, то i2 равно	-1
Если i – мнимая единица, то i3 равно	- i
Если i – мнимая единица, то i4 равно	1
Число p приблизительно равно	3,14
Экспонента e приблизительно равна	2,71

Задачи по базовому разделу I

Вариант 1.

1) Найдите: [7;15]∩[10;25];

A∩B = {10; 11; 12; 13; 14; 15}

2) Из группы студентов на занятия в художественную школу ходят 7 человек, а в спортивные секции - 18, причем 5 человек одновременно занимаются искусством и спортом. Сколько студентов не посещают никаких занятий, если всего в группе 25 человек?

25-18+7-5 = 5

3) Проверьте с помощью таблиц истинности закон контрапозиции (А ® В) «( ® ).

A	B			А ® В	®	(А ® В) «( ® )
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	1

Вариант 2.

1) Найдите: (-1;1)∩[-1;0);

A∩B = { Ø }

 

2) В – подмножество множества А, их пересечение – Ø. Что можно сказать о множестве В?

B = Ø

3) Составьте таблицу истинности для функции ( Ù ) Ú X и нарисуйте еѐ логическую схему.

X	Y			Ù	( Ù ) Ú X
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1

X

                                                                  F

Y                                                             

Вариант 3.

1) Найдите: (-1;1]∩[-1;0);

A∩B = { Ø }

2) Заштрихуйте множество А È (В\С):

B                                      C

      A

3) Составьте таблицу истинности для функции ( Ù Y) Ú , и нарисуйте еѐ логическую схему

X	Y			Ù Y	( Ù Y) Ú
0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0

 X

 Y

                                                                      F

Вариант 4.

1)  Найдите: (0; 5) È [0; 5].

AÈB = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 }

2)  Заштрихуйте множество А Ç (С È В):

B                                  C

     A

3) Проверьте с помощью таблиц истинности закон дистрибутивности конъюнкции: А Ù (В Ú С) «(А Ù В) Ú (А Ù С)

A	B	C	B Ú C	А Ù В	А Ù С	А Ù (В Ú С)	(А Ù В) Ú (А Ù С)	А Ù (В Ú С) «(А Ù В) Ú (А Ù С)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Вариант 5.

1) Найдите: [5; + ∞) È [0; + ∞);

AÈB = [0; + ∞)

 

2) Степень декартова произведения множеств всех рыб в Тихом океане, всех натуральных чисел и всех звезд в Галактике равна...

3

3) Составьте таблицу истинности для функции Ú X, и нарисуйте еѐ логическую схему.

X	Y			Ú		Ú X
0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1

X

                                                                           F

Y                                                                       

Задачи по базовому разделу 2.

Тема III.1: Свойства вероятностей случайных событий

В урне содержится 5 черных и 4 белых шара. Наудачу извлечен один шар. Найти

Же номером 18.

 

n = 20
m = 1 (один из двадцати номеров)

P₁ =
P₂ =

P = P₁·P₂ =  = = 0,0025

 

Перфораторщица.

Обозначим через событие А – ошибку перфораторщицы. Тогда, В₁ – ошибка сделана первой перфораторщицей, В₂ – ошибка сделана второй перфораторщицей. Причем Р(В₁) = 0,5 и Р(В₂) = 0,5, т.к. обе работали одинаково.

Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна Р_В1(А) = 0,1;

Условная вероятность того, что вторая перфораторщица допустит ошибку, равна Р_В2(А) = 0,2;

Вероятность того, что наудачу взятая перфокарта окажется с ошибкой, по формуле полной вероятности равна: Р(А) = Р(В₁) ∙ Р _В1(А) + Р(В₂) ∙ Р _В2(А) = 0,5 ∙ 0,1 + 0,5 ∙ 0,2 = 0,15

Искомая вероятность того, что взятая перфокарта произведена первой перфораторщицей, по формуле Бейеса равна:

Р_А(В₁) =  =  = 0,66666

 

Виде таблицы:

 

Xi	15	19	24	27	30
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 15*0.1 + 19*0.2 + 24*0.3 + 27*0.1 + 30*0.3 = 24.2

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 15²*0.1 + 19²*0.2 + 24²*0.3 + 27²*0.1 + 30²*0.3 – 24.2² = 24.76

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 4.98

 

Xi	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,2	0,2	0,1	0,4

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.2 + 4*0.1 + 5*0.4 = 3.5

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 1²*0.1 + 2²*0.2 + 3²*0.2 + 4²*0.1 + 5²*0.4 – 3.5² = 2.05

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 1.43

 

Xi	5	7	9	11	13
pi	0,2	0,2	0,2	0,1	0,3

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 5*0.2 + 7*0.2 + 9*0.2 + 11*0.1 + 13*0.3 = 9.2

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 5²*0.2 + 7²*0.2 + 9²*0.2 + 11²*0.1 + 13²*0.3 – 9.2² = 9.16

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 3.03

 

Xi	2	4	6	7	13
pi	0,1	0,1	0,3	0,2	0,3

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 2*0.1 + 4*0.1 + 6*0.3 + 7*0.2 + 13*0.3 = 7.7

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 2²*0.1 + 4²*0.1 + 6²*0.3 + 7²*0.2 + 13²*0.3 – 7.7² = 14.01

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 3.74

 

Xi	9	10	11	12	13
pi	0,3	0,2	0,1	0,1	0,3

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 9*0.3 + 10*0.2 + 11*0.1 + 12*0.1 + 13*0.3 = 10.9

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 9²*0.3 + 10²*0.2 + 11²*0.1 + 12²*0.1 + 13²*0.3 – 10.9² = 2.69

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 1.64

 

Xi	0,8	0,9	1,1	1,5	1,7
pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,5

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0.8*0.1 + 0.9*0.2 + 1.1*0.1 + 1.5*0.1 + 1.7*0.5 = 1.37

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 0.8²*0.3 + 0.9²*0.2 + 1.1²*0.1 + 1.5²*0.1 + 1.7²*0.5 – 1.37² = 0.2681

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 0.52

 

Xi	2,5	3,5	4,0	4,5	5,0
pi	0,5	0,1	0,1	0,1	0,2

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 2.5*0.5 + 3.5*0.1 + 4.0*0.1 + 4.5*0.1 + 5.0*0.2 = 3.45

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 2.5²*0.5 + 3.5²*0.1 + 4.0²*0.1 + 4.5²*0.1 + 5.0²*0.2 – 3.45² = 1.0725

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 1.04

 

Xi	1,5	1,9	2,4	2,7	3,0
pi	0,2	0,2	0,3	0,1	0,2

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1.5*0.2 + 1.9*0.2 + 2.4*0.3 + 2.7*0.1 + 3.0*0.2 = 2.27

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 1.5²*0.2 + 1.9²*0.2 + 2.4²*0.3 + 2.7²*0.1 + 3.0²*0.2 – 2.27² = 0.2761

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 0.53

 

 

Xi	0,15	0,19	0,24	0,27	0,30
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0.15*0.1 + 0.19*0.2 + 0.24*0.3 + 0.27*0.3 + 0.30*0.1 = 0.236

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 0.15²*0.1 + 0.19²*0.2 + 0.24²*0.3 + 0.27²*0.3 + 0.30²*0.1 – 0.236² = 0.001924

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 0.04

 

Xi	900	1090	1024	1027	1030
pi	0,4	0,2	0,1	0,1	0,2

 

Математическое ожидание m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 900*0.4 + 1090*0.2 + 1024*0.1 + 1027*0.1 + 1030*0.2 = 989.1

Дисперсия d = ∑x²_ip_i - M[x]².
Дисперсия D[X].
D[X] = 900²*0.4 + 1090²*0.2 + 1024²*0.1 + 1027²*0.1 + 1030²*0.2 – 989.1² = 5811.69

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = = = 76.23

 

Тест к Разделу 2.

Случайные события

 

1. Раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

1) математическая логика

2) математическая статистика

3) математическое моделирование

4) теория вероятностей.

 

2. Событие, которое обязательно происходит в результате данного испытания:

1) невозможное событие

2) противоположное событие

3) достоверное событие

4) несовместные события.

 

3. Событие, состоящее в том, что данное событие A не наступило:

1) невозможное событие

2) противоположное событие

3) достоверное событие

4) несовместные события.

 

4. События A и B, такие, что наступление одного из них исключает возможность

наступления другого:

1) невозможное событие

2) противоположное событие

3) достоверное событие

4) несовместные события.

 

5. Событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате данного

испытания.

1) противоположное событие

2) невозможное событие

3) достоверное событие

4) случайное событие.

 

6. Дополните выражение. События A1, A2,..., An называются равновозможными:

1) если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате

испытания.

2) если нет основания считать, что появление одного из них в результате

испытания является более возможным, чем остальных.

3) если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

 

7. Дополните выражение. События A1, A2,..., An образуют полную группу

1) если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате

испытания.

2) если нет основания считать, что появление одного из них в результате

испытания является более возможным, чем остальных.

3) нет правильного ответа

4) если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

 

8. Дополните выражение. События A1, A2,..., An называются единственно возможными

1) если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате

2) все ответы верны

3) если нет основания считать, что появление одного из них в результате

испытания является более возможным, чем остальных

4) нет правильного ответа

5) если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

6) если в результате испытания исчезнет хотя бы одно из них.

 

Законы распределения СВ

 

1. Закон распределения случайных величин может быть задан в виде:

1) таблицы

2) формулы

3) графика

4) схемы.

 

2. Распределение случайной величины Х, для которой распределение приведенной

случайной величины есть F(х) – это…

1) нормальное распределение

2) центральная предельная теорема

3) дискретное распределение

4) непрерывное распределение.

 

3. Понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей.

1) дисперсия

2) математическое ожидание

3) мода

4) медиана.

 

4. Величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или

бесконечного промежутка:

1) случайная величина

2) непрерывная случайная величина

3) дискретная случайная величина

4) переменная случайная величина.

 

5. Общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит,

при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая.

1) теорема Бернулли

2) теорема Лапласа

3) закон больших чисел

4) закон распределения.

 

6. Мера разброса случайной величины, то есть еѐ отклонения от математического

ожидания.

1) дисперсия случайной величины

2) дискретная случайная величина

3) непрерывная случайная величина

4) математическое ожидание.

 

7. Показатель рассеивания значений случайной величины относительно еѐ

математического ожидания:

1) мода

2) дискретная случайная величина

3) стандартное отклонение

4) математическое ожидание.

 

Основные понятия математической статистики

 

1. Множество всех единиц совокупности, обладающих определенным признаком и

подлежащих изучению, носит в статистике название

1) закон больших чисел

2) генеральная совокупность

3) выборочный метод

4) представительная выборка.

 

2. Наука о математических методах систематизации и использования статистических

данных для научных и практических выводов.

1) дискретная математика

2) математическая статистика

3) математическая логика

4) математическое моделирование.

 

3. Отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

1) типический отбор

2) механический отбор

3) простой случайный отбор

4) серийный отбор.

 

4. Отбор, при котором генеральная совокупность «механически» делится несколько групп,

сколько объектов должно войти в выборку, из каждой группы отбирается один объект.

1) типический отбор

2) механический отбор

3) простой случайный отбор

4) серийный отбор.

 

 

5. Отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из

каждой ее типической части.

1) типический отбор

2) механический отбор

3) простой случайный отбор

4) серийный отбор.

 

6. Разность между максимальным и минимальным значением выборки:

1) вариационный ряд

2) размах выборки

3) статистический ряд

4) полигон частот.

 

7. Значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто:

1) мода

2) дискретная случайная величина

3) стандартное отклонение

4) математическое ожидание.

 

8. Показатель середины ряда:

1) медиана

2) мода

3) стандартное отклонение

4) размах вариации

 

9. Выбирается столько квантилей, сколько требуется оценить параметров; неизвестные

теоретические квантили, выраженные через параметры распределения, приравниваются к

эмпирическим квантилям

1) метод моментов

2) метод квантилей

3) метод максимального правдоподобия

4) точечное оценивание параметров.

 

10. Нахождение единственной числовой величины, которая и принимается за значение

параметра:

1) квантиль:

2) максимальное правдоподобие

3) точечная оценка

4) момент.

 

11. Величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

1) коэффициент асимметрии

2) момент случайной величины

3) коэффициент эксцесса

4) математическое ожидание.

 

 

12. Мера остроты пика распределения случайной величины.

1) коэффициент асимметрии

2) момент случайной величины

3) коэффициент эксцесса

4) математическое ожидание

 

Входной контроль

(1 уровень)
Вопросы	Ответы
Выражение a2+10a+25 эквивалентно выражению	(а+5)2
Выражение (a-5)(а+5) эквивалентно выражению	(а2-52)
Целой частью дроби 7/2 является	3
Целой частью дроби 9/5 является	1
а×(3/4) равно
:  равно
+  равно
Наименьший общий знаменатель дробей 3/4 и 5/8 равен	8
Наименьший общий знаменатель дробей 2/15 и 1/2 равен	30
Уравнение 3x2+6x=12 эквивалентно уравнению	x2+2x-4=0
Уравнение  = эквивалентно уравнению	= 1
Уравнение  = эквивалентно уравнению	8x=15
Уравнение  = эквивалентно уравнению	8x-15=0
2,25 равно	2
5  равно	5,5
0,03 равно	3×10-2
28,12 равно	0,2812×100
0,0005 равно	5×10-4 или 5/10000
равно	8,12
Квадратное уравнение имеет максимум	2 корня
Кубическое уравнение имеет максимум	3 корня
Дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен	b2-4ac
Если дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен 0, то уравнение имеет	1 решение
Если дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 < 0, то уравнение имеет	0 действительных корней
Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0 с дискриминантом D есть
Комплексным называется число	содержащее корень из отрицательного числа и содержащее мнимую часть
Мнимая единица i это
Если i – мнимая единица, то i2 равно	-1
Если i – мнимая единица, то i3 равно	- i
Если i – мнимая единица, то i4 равно	1
Число p приблизительно равно	3,14
Экспонента e приблизительно равна	2,71

Задачи по базовому разделу I

Вариант 1.

1) Найдите: [7;15]∩[10;25];

A∩B = {10; 11; 12; 13; 14; 15}

2) Из группы студентов на занятия в художественную школу ходят 7 человек, а в спортивные секции - 18, причем 5 человек одновременно занимаются искусством и спортом. Сколько студентов не посещают никаких занятий, если всего в группе 25 человек?

25-18+7-5 = 5

3) Проверьте с помощью таблиц истинности закон контрапозиции (А ® В) «( ® ).

A	B			А ® В	®	(А ® В) «( ® )
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	1

Вариант 2.

1) Найдите: (-1;1)∩[-1;0);

A∩B = { Ø }

 

2) В – подмножество множества А, их пересечение – Ø. Что можно сказать о множестве В?

B = Ø

3) Составьте таблицу истинности для функции ( Ù ) Ú X и нарисуйте еѐ логическую схему.

X	Y			Ù	( Ù ) Ú X
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1

X

                                                                  F

Y                                                             

Вариант 3.

1) Найдите: (-1;1]∩[-1;0);

A∩B = { Ø }

2) Заштрихуйте множество А È (В\С):

B                                      C

      A

3) Составьте таблицу истинности для функции ( Ù Y) Ú , и нарисуйте еѐ логическую схему

X	Y			Ù Y	( Ù Y) Ú
0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0

 X

 Y

                                                                      F

Вариант 4.

1)  Найдите: (0; 5) È [0; 5].

AÈB = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 }

2)  Заштрихуйте множество А Ç (С È В):

B                                  C

     A

3) Проверьте с помощью таблиц истинности закон дистрибутивности конъюнкции: А Ù (В Ú С) «(А Ù В) Ú (А Ù С)

A	B	C	B Ú C	А Ù В	А Ù С	А Ù (В Ú С)	(А Ù В) Ú (А Ù С)	А Ù (В Ú С) «(А Ù В) Ú (А Ù С)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Вариант 5.

1) Найдите: [5; + ∞) È [0; + ∞);

AÈB = [0; + ∞)

 

2) Степень декартова произведения множеств всех рыб в Тихом океане, всех натуральных чисел и всех звезд в Галактике равна...

3

3) Составьте таблицу истинности для функции Ú X, и нарисуйте еѐ логическую схему.

X	Y			Ú		Ú X
0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1

X

                                                                           F

Y