Комплексное число и его формы. Действия над комплексными числами в различных формах.

Комплексное число и его формы. Действия над комплексными числами в различных формах.

Цели занятия:
образовательные	1) включить новую информацию в структуру прежних знаний; 2) расширить сведения, обучающихся о числах; 3) формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; 4) актуализировать, обобщить и систематизировать знания, умения и навыки студентов о комплексных числах.
развивающие	1) развивать мыслительную деятельность студентов на занятии посредством разнообразия форм заданий; 2) способствовать формированию навыков самостоятельной работы и работы в мини-группах
воспитательные	1) воспитывать у студентов чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.
Формы работы:	1) индивидуальная; 2) индивидуально-коллективная (парами).

Задание 1. Математический диктант.

1. Решите уравнение: (х + 15) – 8 = 17           

2. Вычислите: а)     б)       в) ;       г)

3. Решите уравнение: 13+10у=163  

4. Решите систему уравнений:    

5. Сократите дробь:

6. Сократите дробь: а) б) в)

7. Что быстрее движется сверхзвуковой самолет или частица, движущаяся со скоростью света?

8. Может ли человек передвигаться шагом со скоростью 0,2 м/с?

9. Когда сутки короче зимой или летом?

10. На гладкую доску положили 2 кирпича — один плашмя, а другой на ребро. Кирпичи весят одинаково. Какой кирпич соскользнет первым, если наклонять доску?

11. Если начальная скорость тела больше конечной скорости, то тело ….

12. Девочка подбросила мяч на высоту 1 метр и поймала его обратно в руки. Найдите перемещение мяча?

13. Скорость машины движущейся в гору 50 км \ч, а с горы 70 км/ч. Найдите среднюю скорость машины.

14. Переложить две спички так, чтобы дом повернулся в другую сторону.

15. По статистике в среднем человек спит 8 часов в сутки. Сколько лет человек проведет во сне за семьдесят лет своей жизни. Разницу дней в високосные годы не учитывать.

Задание 2. Теоретическая часть. Запишите краткий конспект.

 

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.

Рассмотрим квадратное уравнение x² = – 1. Оно на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Определение: Комплексным числом Z (в алгебраической форме) называется выражение где x,y – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции: Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример: Заданы комплексные числа , .

Найти их сумму, разность и частное , , .

Решение. ;

;

.

Задание 3. Решение упражнений на закрепление темы.

Сложение комплексных чисел

Пример 1: Сложить два комплексных числа Z₁=2+5 i и Z ₂ =4-3 i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части. Ответ: Z =6+2 i

1. Самостоятельно: найдите сумму двух комплексных чисел: Z₁=-4+10i и Z₂=5+3i

2. Самостоятельно: найдите сумму двух комплексных чисел:

 

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел Z₁=10-25 i и Z ₂ =1-3 i

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: Z =10-25 i -(1-3 i)=9-22 i

3. Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел: Z₁=-5+10i и Z₂=1+3i

4.  Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел: и

Умножение комплексных чисел

Пример 3

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .  Вывод: (a + bi)(a – bi)= a ² + b ². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Найти произведение комплексных чисел  и .

Решение:

 и  

5. Самостоятельно: найдите произведение комплексных чисел:  и

Деление комплексных чисел

Пример 4

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Рассмотрим данное правило на примере:  и .

Решение: .

 

6. Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел:    и                

Задание 4. Закрепление. Вычислите.

Сложите комплексные числа:

8)  и 9)  и

Комплексное число и его формы. Действия над комплексными числами в различных формах.

Цели занятия:
образовательные	1) включить новую информацию в структуру прежних знаний; 2) расширить сведения, обучающихся о числах; 3) формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; 4) актуализировать, обобщить и систематизировать знания, умения и навыки студентов о комплексных числах.
развивающие	1) развивать мыслительную деятельность студентов на занятии посредством разнообразия форм заданий; 2) способствовать формированию навыков самостоятельной работы и работы в мини-группах
воспитательные	1) воспитывать у студентов чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.
Формы работы:	1) индивидуальная; 2) индивидуально-коллективная (парами).

Задание 1. Математический диктант.

1. Решите уравнение: (х + 15) – 8 = 17           

2. Вычислите: а)     б)       в) ;       г)

3. Решите уравнение: 13+10у=163  

4. Решите систему уравнений:    

5. Сократите дробь:

6. Сократите дробь: а) б) в)

7. Что быстрее движется сверхзвуковой самолет или частица, движущаяся со скоростью света?

8. Может ли человек передвигаться шагом со скоростью 0,2 м/с?

9. Когда сутки короче зимой или летом?

10. На гладкую доску положили 2 кирпича — один плашмя, а другой на ребро. Кирпичи весят одинаково. Какой кирпич соскользнет первым, если наклонять доску?

11. Если начальная скорость тела больше конечной скорости, то тело ….

12. Девочка подбросила мяч на высоту 1 метр и поймала его обратно в руки. Найдите перемещение мяча?

13. Скорость машины движущейся в гору 50 км \ч, а с горы 70 км/ч. Найдите среднюю скорость машины.

14. Переложить две спички так, чтобы дом повернулся в другую сторону.

15. По статистике в среднем человек спит 8 часов в сутки. Сколько лет человек проведет во сне за семьдесят лет своей жизни. Разницу дней в високосные годы не учитывать.

Задание 2. Теоретическая часть. Запишите краткий конспект.

 

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.

Рассмотрим квадратное уравнение x² = – 1. Оно на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Определение: Комплексным числом Z (в алгебраической форме) называется выражение где x,y – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции: Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример: Заданы комплексные числа , .

Найти их сумму, разность и частное , , .

Решение. ;

;

.

Задание 3. Решение упражнений на закрепление темы.

Сложение комплексных чисел

Пример 1: Сложить два комплексных числа Z₁=2+5 i и Z ₂ =4-3 i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части. Ответ: Z =6+2 i

1. Самостоятельно: найдите сумму двух комплексных чисел: Z₁=-4+10i и Z₂=5+3i

2. Самостоятельно: найдите сумму двух комплексных чисел:

 

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел Z₁=10-25 i и Z ₂ =1-3 i

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: Z =10-25 i -(1-3 i)=9-22 i

3. Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел: Z₁=-5+10i и Z₂=1+3i

4.  Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел: и

Умножение комплексных чисел

Пример 3

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .  Вывод: (a + bi)(a – bi)= a ² + b ². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Найти произведение комплексных чисел  и .

Решение:

 и  

5. Самостоятельно: найдите произведение комплексных чисел:  и

Деление комплексных чисел

Пример 4

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Рассмотрим данное правило на примере:  и .

Решение: .

 

6. Самостоятельно: найдите разность комплексных чисел:    и