Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержеки объема производства

 

Объем производства продукции, цена продукта и издержки (затраты на производство продукции) находятся в определенной функциональной зависимости друг от друга. Поэтому получение максимальной прибыли возможно при определенных сочетаниях этих величин.

При принятии решений, нацеленных на увеличение прибыли предприятия, необходимо учитывать предполагаемые величины предельного дохода и предельных издержек.

Предельный доход — это прирост выручки от реализации на единицу прироста количества производимого продукта. Соответственно предельные издержки равны приросту затрат на производство продукции, приходящемуся на единицу прироста количества продукта. Чтобы прибыль была максимальной, необходимы равенство предельных издержек и предельного дохода, а также отрицательный знак разности производной предельного дохода по количеству продукта и производной предельных издержек по количеству продукта.

Введем следующие условные обозначения:

Q — количество товара (продукта);

Р — цена единицы товара;

Р х Q — доход (выручка) от реализации товара;

С — издержки производства (затраты);

R — прибыль от реализации.

Тогда основная цель предпринимательской деятельности, т.е. стремление получать максимум прибыли, может быть представлена в формальном виде следующей функцией:

R = (P x Q) - C ® max. (23)

Применение предельного подхода к этой функции дает следующее соотношение:

dR d (P x Q)         dC

------- = ---------------- = --------- = 0 (24)

dQ         dQ         dQ

d (P x Q)         dC

--------------- = ----------, (25)

dQ     dQ

d (Р х Q)

где --------------------- - предельная выручка,

dQ

d Т C

----------- - предельные затраты.

dQ

 

Отсюда следует: чтобы прибыль была максимальна, необходимо равенство предельных издержек и предельных доходов, а также отрицательный знак второй производной прибыли по количеству продукта:

d2 R                d2 (P x Q)       d2 C

--------- < 0, т.е. ---------------- - ------------ < 0.(26)

dQ 2         dQ 2                dQ 2

 

Это соотношение позволяет найти оптимальный размер объема производства при известных (или заданных) функциях спроса Р = F (Q) и издержек C = g (Q).

Проведем анализ оптимальности объема производства мазута на ОАО «ТАИФ-НК НПЗ». Предварительно сделаем необходимые выписки исходных данных для последующих расчетов (таблица 8).

Таблица 8

Исходные данные для предельного анализа

Показатели	Годы
	2007	2008	2009
Производство продукции в натуральном выражении (Q)	89470	90890	100000
Цена единицы продукта (Р), руб.	15068	14760	15000
Предельные затраты (издержки производства) по полной себестоимости (С), млн.руб.	1154	1145	1500
Предельная выручка от реализации (Р х Q), млн.руб.	1348	1342	1300
Прибыль (R), млн.руб.	194	197	200

 

Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму связи вида Р = а0 + a1 + a1Q. По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры а0 и а1 на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

 

na0 + a1 x åQ = åP,(27)

a0 x åQ + a1åQ2 = åPQ,

 

где n — число наблюдений (лет);

Р — цена единицы продукта;

Q — количество продукции в натуральном выражении.

После проведения расчетов по нашим данным получим эмпирическую функцию спроса Р = 7651 — 1,076 Q.

Анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции в динамике позволяет для функции издержек выбрать также линейную форму связи вида С = b0 + b1Q. Неизвестные параметры b0 и b1 также находятся по методу наименьших квадратов на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

 

nb0 + b1 x åQ = åC,(28)

b0 x åQ + b1åQ2 = åCQ,

 

где условные обозначения соответствуют принятым ранее. В окончательном виде имеем следующую эмпирическую функцию издержек:

С = 3887 + 2,082 х Q.

Теперь проведем расчеты предельного дохода и предельных издержек и, приравнивая их друг к другу, найдем величину оптимального выпуска продукции:

Р = 7651 - 1,076 x Q,

С = 3827 + 2,082 х q,

P x Q = 7651 х Q - 1,076 х Q2,

 

d (PxQ)

----------- = 7651 - 2,152 х Q

dQ

dC / dQ = 2,082,

 

7651 - 2,152 х Q = 2,082, т.е. Q = 125504.

Выполняется также второе условие максимума прибыли:

d2 (P x Q) d2C

---------------- - -------- = -2,152 < 0.

dQ2dQ2

Оптимальный объем выпуска продукции составляет 125504 т. Зная размер выпуска, можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства. Результаты расчетов представлены в таблице 9.

Приведенные в таблице данные свидетельствуют о том, что фактический выпуск немного ниже оптимального. Цена единицы продукта выше оптимальной величины на 173 руб. однако предприятие сэкономило на издержках (они ниже оптимальной величины на 20 руб.). Выручка от реализации и прибыль значительно ниже оптимальных величин вследствие заниженного объема производства. Следовательно, предприятию необходимо стремиться к производству оптимального объема продукции.

Таблица 9