Условие жёсткости при кручении

Если крутящий момент , геометрическая характеристика жёсткости сечения  и модуль сдвига  постоянны на участке стержня длиной , то взаимный угол поворота сечений, отстоящих на расстоянии  друг от друга, может быть определён по формуле (4)

 

                                                   (32)

 

При изменении крутящего момента по длине стержня скачкообразно, угол поворота между его начальным и конечным сечениями определяется как сумма углов поворота по участкам с постоянным внутренним крутящим моментом:

                                                (33)

 

Условие жёсткости накладывает ограничение на взаимный угол поворота крайних сечений наиболее деформированного участка вала и имеет, как правило, в относительных величинах следующий вид:

 

                                (34)

или

                     (35)

где ,  - максимальный относительный угол поворота

                        среди всех участков вала в радианах или градусах;

      допускаемый относительный угол поворота

                                 для конкретного материала в радианах или градусах,

                                 и изменяющийся в следующих диапазонах

   в зависимости от характера прилагаемого воздействия:

         при статической нагрузке,

    при переменной нагрузке,

    при ударной нагрузке.

 

 

Рациональная форма поперечного сечения

Из всех сечений, имеющих одинаковый момент сопротивления кручению, самым рациональным будет сечение с наименьшей площадью, так как на изготовление бруса будет тратиться наименьшее количество материала при заданном , а значит, будет обеспечиваться его наименьший вес [2]. Рациональность формы сечения обычно оценивается безразмерной характеристикой , которую называют удельным моментом сопротивления

 

.

 

В таблице 3 даны значения  для различных форм поперечного сечения.

Таблица 3 – Значения  для различных форм поперечных сечений

 

Сечение
	0,04-0,05	0,05-0,07	0,18	0,21	0,37	1,16

 

 

Из таблицы 3 видно, что при кручении наиболее рациональными будут тонкостенные замкнутые сечения, обладающие наибольшими значениями , и нерациональными – тонкостенные разомкнутые.

 

Определение внешнего скручивающего момента, передаваемого  

На вал

При известной мощности , частоте вращения  и угловой скорости w крутящий момент

 

                                             (36)

 

Если в л.с., в мин^-1, то

 

 

Если в кВт, в мин^-1, то

 

 

Если в кВт, w в с^-1,  то

 

                                

 

Пример расчёта 1

13.1 Условие задачи

 

На вал постоянного сечения насажены четыре шкива, как на рисунке 9. В точках и  вал установлен на подшипниках качения. Шкив 1 передаёт от источника энергии (электродвигатель) на вал мощность , а остальные шкивы снимают с вала и передают другим рабочим механизмам мощности   Вал  вращается с частотой вращения .

 

13.2 Цель расчёта

 

13.2.1 Определить величины моментов, подводимых к шкиву 1 стального вала   и снимаемых со шкивов 2,3 и 4.

13.2.2 Построить эпюру крутящих моментов.

13.2.3 Определить требуемый диаметр вала из расчётов на прочность и жёсткость.

13.2.4 Построить эпюру касательных напряжений  для наиболее нагруженного участка вала. Исходные данные взять из таблицы Б.1 (приложение Б) и рисунка В.1 (приложение В).

 

13.3 Данные для расчёта

 

Данные для расчёта сведены в таблицу 4.

 

Таблица 4 – Исходные данные

 

кВт			мин-1	МПа	рад/м
40	25	35	320	40	12

 

 

13.4 Расчёты

 

13.4.1 Вычертим схему вала и покажем направления кручения вала и крутящих моментов (см.рисунок 9).

13.4.2 Вычислим величины моментов, передаваемых каждым из шкивов по формуле (36):

 

 

 

а – вал в аксонометрии; б – расчётная схема вала;

в – эпюра крутящих моментов

Рисунок 9 – Последовательность графической интерпретации вала

при расчёте на кручение

Значение момента  определяется из уравнения равновесия, составленного относительно оси :

.

Отсюда

13.4.3 Строим эпюру крутящих моментов с использованием метода сечения, описанного подробно в разделе 2.

Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 4. С учётом правила знаков запишем внутренний крутящий момент:

 на I участке

 

на II участке

 

на III участке

 

Как видим из эпюры крутящих моментов, скачки на ней соответствуют значениям моментов, где подаётся или снимается соответствующая мощность. Из построенной эпюры  следует, что наиболее опасным является II участок между шкивами 1 и 2.

Расчётный (наибольший) крутящий момент составляет

 

13.4.4 Определим диаметр вала из расчёта на прочность

 

.

 

Тогда

Определим диаметр вала из расчёта на жёсткость.

 

 

Тогда требуемый полярный момент инерции сечения вала

 

 

Диаметр вала из условия жёсткости определится, как

 

 

Из двух рассчитанных величин диаметра вала выбирается наибольшее значение. Причём, полученный диаметр вала округляют до ближайшего значения из ряда  нормальных линейных размеров, мм в соответствии с приложением Г. В нашем случае принимаем

 

13.4.5 Вычислим наибольшие касательные напряжения в опасном сечении вала, как

 

 

13.4.6 Строим эпюру касательных напряжений

Рисунок 10 – Поперечное сечение вала и эпюра касательных напряжений

Пример расчёта 2

14.1 Условие задачи

 

К стальному двухступенчатому валу, имеющему сплошное круглое поперечное сечение на первом участке, и прямоугольное сечение – на втором, приложены четыре скручивающих момента, как на рисунке 11,а. Левый конец вала жёстко закреплён, а правый – свободен.

 

 

14.2 Цель расчёта

 

14.2.1 Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

14.2.2 Из расчёта на прочность при заданном значении допускаемого напряжения   определить диаметр  на первом участке вала, а также размеры  и  - на втором участке вала. Полученные значения округлить.

14.2.3 Построить эпюру касательных напряжений для каждого участка вала.

14.2.4 Построить эпюру углов закручивания, приняв

14.2.5 Определить максимальный относительный угол закручивания.

Исходные данные взять из таблицы Г.1 (приложение Г) и рисунка Д.1 (приложение Д).

 

 

14.3 Данные для расчёта

 

Данные для расчёта сведены в таблицу 5.

Таблица 5 – Исходные данные

 

	Расстояние, м			Моменты, кНм
						3
4	1,4	1,5	1,2	3,5	2,4	1,5	0,6	1,5	50

 

 

14.4 Расчёты

 

14.4.1 Вычертим схему вала (см. рисунок 11,а).

14.4.2 Вычислим величину крутящего момента, возникающего в заделке , из уравнения равновесия, составленного относительно оси :

 

.

Отсюда

а – расчётная схема вала; б – эпюра крутящих моментов ;

 в – эпюра углов закручивания

 

Рисунок 11 – Расчётная схема вала и эпюры крутящих моментов

и углов закручивания

 

14.4.3 Построим эпюру крутящих моментов с использованием метода сечений, описанного подробно в разделе 2. По длине вал имеет четыре участка. Тогда имеем:

I участок 

 

II участок

IV участок

 

III участок

 

По полученным данным построим эпюру крутящих моментов (см. рисунок 11,б). Из эпюры видно, что на первой ступени вала максимальное значение крутящего момента равно  а на второй ступени -

14.4.4 Из расчёта на прочность определяем диаметр вала на первой ступени.

 

.

 

Тогда

 

 

Принимаем диаметр вала равным

Определим полярные момент инерции и момент сопротивления вала на первой ступени, как

 

 

 

Момент сопротивления кручению прямоугольного сечения вала на второй ступени определится по формуле (21), при условии , как

 

.

Тогда

или

 

Округляя данное значение до ближайшего в большую сторону, получим   Тогда

Определим момент инерции и момент сопротивления при кручении для прямоугольного сечения, как

 

 

 

14.4.5 Вычислим наибольшие касательные напряжения, возникающие на первой ступени (на I участке) вала по формуле (16)

 

 

Построим эпюру касательных напряжений для первой ступени вала (рисунок 12).

 

Рисунок 12 – Поперечное сечение вала первой ступени (I участок)

и эпюра касательных напряжений

 

Вычислим наибольшие касательные напряжения, возникающие на второй ступени (на III участке) вала в середине длинной стороны по формуле (21):

 

.

 

Касательные напряжения посередине короткой стороны, согласно формуле (22), равны

 

 

Построим эпюру касательных напряжений для второй ступени вала, показанной на рисунке 13.

 

 

Рисунок 13 – Поперечное сечение вала второй ступени (III участок)

и эпюра касательных напряжений

 

14.4.6 Построим эпюру углов закручивания. Для этого определим по формуле (32) углы закручивания последовательно для всех четырёх участков.

 

Участок I (A-F)

 

;

    Участок II (F-H)

 

 

    Участок III (H-K)

 

 

    Участок IV (K-L)

 

 

    Построение эпюры углов закручивания  начинается обязательно с самой крайней левой точки закрепления вала (см. рисунок 11), так как Далее, используя формулу (4), получим:

 

 

 

 

    14.4.7 Определим максимальный относительный угол закручивания для каждого из ступеней вала по формуле (3):

 

участок  I

 

 

 

участок III

 

 

Таким образом

Литература

1 Долинский Ф.В. Краткий курс сопротивления материалов: учебное пособие для вузов / Ф.В. Долинский, М.Н. Михайлов. – М.: Высшая школа, 1988. -432с.

2 Справочник по сопротивлению материалов /Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – Киев: Наукова думка, 1975. -704с.

3 Сборник задач по сопротивлению материалов/  под ред. В.К. Качурина. – М.: Наука, 1972. -430с.

4 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: учебник для втузов. –М.: Наука, 1986. -512с.

Приложение А

(обязательное)

Контрольные вопросы

 

1 Дать определение эпюры крутящих моментов и показать, как она строится.

2 Какое правило знаков принято для крутящих моментов при записи уравнения равновесия?

3 Показать распределение касательных напряжений в круглом поперечном сечении и в кольцевом.

4 Как записываются формулы для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого и кольцевого стержня?

5 Что такое «депланация» и как определяются и распределяются напряжения в прямоугольном поперечном сечении стержня?

6 Как определяются напряжения в замкнутых и разомкнутых поперечных сечениях стержней тонкостенного профиля?

7 Запишите выражения полярных моментов инерции и полярных моментов сопротивления следующих поперечных сечений стержня: сплошного круга, кольцевого, прямоугольного, тонкостенного кольца, тонкостенных профилей.

8 Что называют «жёсткостью стержня» при кручении?

9 Как записываются перемещения поперечных сечений стержня (углы поворота) и строятся их эпюры?

10 Как определяется относительный угол закручивания? Назвать единицы его измерения и диапазон изменения его максимальной величины в зависимости от характера прилагаемого воздействия.

11 Изобразить рациональные и нерациональные формы поперечных сечений стержня.

12 Как определяется скручивающий момент через мощность, частоту вращения и угловую скорость?

13 Содержание расчёта стержня на прочность при кручении?

14 Содержание расчёта стержня на жёсткость при кручении?

Приложение Б

(обязательное)

 

Таблица Б.1 – Исходные данные по вариантам для решения задачи 1

 

Вариант

Номер

Схемы

Величина

КВт

об/мин МПа рад/м 1 1 25 15 10 200 30 5,0 2 2 20 35 45 230 35 6,5 3 3 40 15 25 300 40 7,5 4 4 30 15 30 180 30 6,0 5 5 15 25 45 250 45 11,0 6 6 40 20 20 320 50 9,0 7 7 45 30 35 400 55 10,0 8 8 30 25 20 150 35 8,0 9 9 30 40 50 350 50 9,5 10 10 50 25 40 210 55 12,0 11 11 20 25 35 260 30 7,5 12 12 45 25 20 200 40 8,5 13 1 40 25 15 260 40 9,0 14 2 30 35 40 300 50 10,0 15 3 45 20 15 220 40 10,0 16 4 35 20 25 180 35 8,0 17 5 25 30 35 200 30 9,0 18 6 35 25 15 150 40 12,0 19 7 40 30 20 220 40 9,0 20 8 25 35 20 250 50 7,5

 

Приложение В

(обязательное)

 

Расчётные схемы валов по вариантам для решения задачи 1

 

Приложение Г

(обязательное)

 

 

Таблица Г.1 – Исходные данные по вариантам для решения задачи 2

 

Варианты

Расстояния, м

Моменты, кНм

1 1,1 1,1 1,1 3,1 2,1 1,1 0,1 1,0 30 2 1,2 1,2 1,2 3,2 2,2 1,2 0,2 1,5 35 3 1,3 1,3 1,3 3,3 2,3 1,3 0,3 2,0 40 4 1,4 1,4 1,4 3,4 2,4 1,4 0,4 1,0 45 5 1,5 1,5 1,5 3,5 2,5 1,5 0,5 1,5 50 6 1,6 1,6 1,6 3,6 2,6 0,6 1,6 2,0 55 7 1,7 1,7 1,7 3,7 2,7 0,7 1,7 1,0 60 8 1,8 1,8 1,8 3,8 2,8 0,8 1,8 1,5 65 9 1,9 1,9 1,9 3,9 2,9 0,9 1,9 2,0 70 10 2,0 2,0 2,0 4,0 3,0 1,0 2,0 1,0 75

 

Таблица Г.2 – Размеры нормальные линейные (ГОСТ 6636-69), мм

 

3,2	5,0	8,0	12	20	32	47*	62*	80	125	200
3,4	5,3	8,5	13	21	34	48	63	85	130	210
3,6	5,6	9,0	14	22	35*	50	65*	90	140	220
3,8	6,0	9,5	15	24	36	52*	67	95	150	240
4,0	6,3	10	16	25	38	53	70*	100	160	250
4,2	6,7	10,5	17	26	40	55*	71	105	170	260
4,5	7,1	11	18	28	42	56	72*	110	180	280
4,8	7,5	11,5	19	30	45	60	75	120	190	300
Примечание - Звёздочкой (*) помечены размеры посадочных мест для подшипников качения. В других случаях их использование не рекомендуется.

 

Приложение Д

(обязательное)

 

Расчётные схемы валов по вариантам для решения задачи 2