Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2020-01-13 | 87 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пример 3.1.1. Дискретная случайная величина принимает значения и с вероятностями и соответственно.
Рис. 3.1.1 |
Требуется: 1) построить многоугольник распределения вероятностей; 2) найти математическое ожидание случайной величины .
Решение. 1) Если в прямоугольной системе координат построить точки (, ) и соединить их отрезками прямых, то получим ломаную линию, называемую многоугольником распределения вероятностей (рис. 3.1.1).
2) Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле
,
где – возможные значения случайной величины , – вероятность появления значения случайной величины . Поэтому
.
Пример 3.1.2. Закон распределения дискретной случайной величины задан рядом распределения:
1 | 3 | 5 | 8 | |
0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,1 |
Требуется найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .
Решение. Дисперсия является характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно математического ожидания и для её вычисления обычно используют следующую рабочую формулу:
, где .
Поэтому .
Среднеквадратическое отклонение .
Пример 3.1.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задан рядом распределения:
0 | 2 | 5 | |
0,2 | 0,6 |
Найти значение числа и построить график функции распределения .
Рис. 3.1.2 |
Решение. 1) поэтому 2) Функция распределения представляет собой вероятность выполнения неравенства , где – значение случайной величины, полученное в результате опыта, – заданное значение случайной величины , т. е. . Поэтому 1) если x ≤ 0, то , т.к. значения , меньшего заданного не существует; 2) если , то , т.к. при может иметь только одно значение с вероятностью 0,2; 3) если , то может принять случайно два значения 0 и 2 и ; 4) если , то может принять любое значение 0; 2; 5 с вероятностями 0,2; 0,6; 0,2 и, поэтому при . График функции распределения приведен на рис. 3.1.2.
Пример 3.1.4. Дискретная случайная величина имеет закон распределения, заданный рядом распределения:
0 | 2 | 6 | 8 | |
0,21 | 0,39 | 0,3 | 0,1 |
1) Найти вероятности следующих событий: . 2) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .
Решение. 1) Дискретная случайная величина может принимать следующие значения: с вероятностями: . Отсюда
;
.
2) Так как случайная величина дискретна, то для вычисления математического ожидания будем использовать следующую формулу:
Дисперсию случайной величины будем вычислять по формулам:
, , .
Поэтому
. Среднеквадратическое отклонение равно .
Задачи для самостоятельного решения
1. Дискретная случайная величина принимает значения и с вероятностями и соответственно. Построить многоугольник распределения вероятностей и найти вероятности .
2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
0 | 3 | 6 | 8 | |
0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,1 |
Найти математическое ожидание случайной величины и вероятности .
3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , закон распределения которой задан рядом
0 | 1 | 4 | 8 | ||
0,1 | 0,2 | 0,6 | 0,1 |
4. Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями Требуется построить график функции распределения F(х) случайной величины .
5. Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Требуется найти вероятности
6. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
– 2 | – 1 | 0 | 2 | 3 | |
0,02 | 0,15 | 0,35 | 0,40 | 0,08 |
Требуется найти а) математическое ожидание случайной величины ;
б) вероятности:
7. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
– 2 | – 1 | 0 | 3 | 4 | |
0,02 | 0,14 | 0,36 | 0,40 | 0,08 |
Найти дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины и вероятности:
8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
– 0,1 | 0 | 1 | ||
0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 |
Требуется: а) найти значение числа , если ; б) построить график функции распределения вероятностей случайной величины .
9. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
– 2 | –1 | 0 | 2 | ||
0,05 | 0,25 | 0,4 | 0,1 |
Требуется найти значение числа , , дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , если .
10. Дискретная случайная величина задана рядом распределения вероятностей:
– 2 | 0 | 2 | 5 | |
0,1 | 0,2 |
Требуется найти: а) , , если ; б) дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины .
3.2. Непрерывная случайная величина
Пример 3.2.1. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:
1) Определите значение коэффициента . 2) Постройте график функции . 3) Найдите . 4) Найдите .
5) Найдите .
Решение. 1) Так как , то
Поэтому .
Рис. 3.2.1 |
2) На рис. 3.2.1 построен график функции при .
3) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства
.
Поэтому .
4)
. Полученная вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции и опирающейся на отрезок [0;1].
5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .
Пример 3.2.2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
Найдите: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) – функцию плотности распределения случайной величины ; 6) – математическое ожидание случайной величины ; 7) – дисперсию случайной величины ; 8) σ(Х) – среднеквадратическое отклонение случайной величины .
Решение. 1) Для непрерывной случайной величины справедливы равенства . Поэтому .
2) По определению функции распределения имеем . Поэтому .
Или (второй способ решения):
.
3) События () и () – противоположны, а сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно,
.
Или (второй способ решения):
.
4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение , равна 0: . Поэтому .
5) Согласно определению . Поэтому
6) По определению математическое ожидание случайной величины Х равно . Поэтому для рассматриваемой функции
.
7) Для нахождения дисперсии случайной величины Х воспользуемся формулой , где .
В нашем случае
.
Поэтому .
8) По определению . Поэтому .
Задачи для самостоятельного решения
1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
а) Постройте график функции ; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найти: , , , , , ; г) Найдите математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
а) Постройте график функции ; б) Найдите функцию плотности распределения и постройте её график; в) Найдите: , , ; г) Найдите математическое ожидание данной случайной величины.
3. Задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины:
Найдите: а) значение числа ; б) ; в) ;
г) ; д) математическое ожидание случайной величины.
4. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:
а) Определите значение числа ; б) постройте график функции ; в) найдите: , , ; г) найдите дисперсию данной случайной величины.
5. При каких значениях числа функция может быть функцией плотности распределения вероятностей некоторой случайной величины, заданной на промежутке: а) [0;2]; б) [0;+∞]?
Издательство ООО "еТест"
117133, г. Мостква, ул. Академика Варги, 28
Тел.(095) 514-7479. E-mail: [email protected]
Изд. лиц. ИД № 05684 от 24.08.2001 г. Пописано в печать 29.08.2013.
Формат 60 88 1/16. Гарнитура Times. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Печ. л. 2,0. Тираж 2000 экз. Заказ 3985
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП "Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ".
140010, г. Люберцы Московская обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел (095) 554-21-86
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!