Определение науки «гидравлика».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАУКИ «ГИДРАВЛИКА».

ПОНЯТИЕ ЖИДКОСТИ

Слово «Гидравлика» произошло от слияния двух греческих слов, из которых первое значит «вода», а второе - «труба», «канал», «струя». Как видно, ранее считали, что гидравлика занимается изучением движения или покоя только воды. Однако в настоящее время термин «гидравлика» понимается в более широком смысле: предполагается, что объектом изучения в гидравлике является любая жидкость, а не только вода.

Как известно, различают твердые, жидкие и газообразные тела, а также плазму. При изменении давления или температуры жидкое тело может переходить в твердое или газообразное состояние. Например, при очень высоких давлениях в обычной воде образуются кристаллы льда, наоборот, при снижении давления в жидкости могут появиться пузырьки, заполненные паром (газом).

Жидкость есть физическое тело, которое весьма мало меняет свой объем при изменении давления или температуры; в этом отношении жидкость сходна с твердым телом и обладает текучестью, благодаря чему жидкость не имеет собственной формы и принимает форму того сосуда, в котором она находится; в этом отношении жидкость отличается от твердого тела и является сходной с газом.

Текучесть рассматриваемого тела обусловливается тем, что оно в покоящемся состоянии не способно сопротивляться внутренним касательным усилиям, то есть усилиям, действующим вдоль поверхности сдвига.

Жидкость, в отличие от твердого тела, находясь в покое, не имеет касательных напряжений, и именно поэтому она принимает форму сосуда, в котором заключена. Поскольку газ также обладает свойством текучести, то многие теоретические положения, разработанные применительно к жидкому телу, могут быть распространены и на случай газообразных тел.

Можно сделать вывод, что газ тоже являются жидкостью. Следовательно, жидкость можно разделить на капельную (вода нефть и др.) и на газообразную (газы, воздух).

Как показывает опыт, жидкости, встречающиеся в природе, столь мало изменяют свой объем при обычном изменении давления и температуры, что этим изменением объема практически можно пренебрегать. Поэтому в гидравлике жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемое тело (здесь приходится делать исключение только при изучении одного вопроса – вопроса о так называемом гидравлическом ударе, когда даже малую сжимаемость жидкости приходится учитывать).

В движущейся жидкости, как показывают исследования, касательные напряжения обычно имеют место: именно при движении жидкости по поверхности скольжения жидких слоев друг по другу возникает трение, которое и уравновешивает внутренние касательные силы.

В практике встречаются случаи, когда силы трения, возникающие благодаря вязкости, оказываются небольшими сравнительно с другими силами, действующими на жидкость. В этих частных случаях вязкостью можно пренебречь и считать, что в движущейся жидкости касательные напряжения отсутствуют так же, как и в покоящейся жидкости.

При теоретических исследованиях часто пользуются понятием идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называют воображаемую жидкость, которая характеризуется:

а) абсолютной неизменяемостью объема (при изменении давления и температуры);

б) полным отсутствием вязкости, т. е. сил трения при любом ее движении.

Идеальная жидкость, в отличие от реальной («вязкой») жидкости, в природе, разумеется, не существует. Ее создают в воображении как некоторую приближенную модель реальной жидкости.

Из сказанного выше следует, что:

1) при изучении покоящейся жидкости нет надобности различать реальную и идеальную жидкости;

2) при изучении же движения жидкости очень часто приходится считаться с различием между двумя названными жидкостями: в случае реальной жидкости необходимо дополнительно учитывать силы трения, т. е. вязкость.

 

Вязкость

Между слоями жидкости, движущимися со скоростями, отли­чаю­щимися друг от друга на величину du, возникает касательное напряжение t:

                                     ,                               (2.4)   

где  – сила трения, S – площадь соприкасающихся слоев.

        Свойство жидкости, обусловливающее возникновение в ней при ее движении касательных напряжений («напряжений трения»), называется вязкостью.

Величинами, которые могут оценить это свойство, являются коэффициент динамической вязкости ) и коэффициент кинематической вязкости , связанные между собой соотношением . Вязкость жидкости очень слабо зависит от давления и сильно зависит от температуры. Для капельной жидкости с повышением температуры вязкость уменьшается, а для газообразной, наоборот, увеличивается.

Кроме обычных (ньютоновских) жидкостей, характеризующихся зависимостью(2.4), существуют аномальные жидкости, к которым относятся коллоидные растворы, смазочные масла, нефтепродукты. Для таких жидкостей закон внутреннего трения выражается в виде

                                           ,                                (2.5)

где t₀ – касательное напряжение в покоящейся жидкости, после преодоления которого, жидкость приходит в движение.     

 

Примеры

Пример 2.1. Удельный вес бензина . Определить его плотность.

Решение:

Пример 2. 2. Плотность дизельного мазута . Определить его удельный вес.

Решение: ; .

Пример 2.3. При гидравлическом испытании трубопровода диа­метром d = 200 мм и длиной 250 м давление в трубе было повышено до 3 МПа. Через час давление снизилось до 2 МПа. Сколько воды вытекло через неплотности?

Решение:

1. Определим объем воды в трубопроводе:

 м³.

2. Найдем изменение давления за время испытания:

 МПа.

3. Принимая коэффициент объемного сжатия воды _Р = 5×10^-7 , находим количество воды, вытекающей через неплотности, по формуле

 л.

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ

Кинематика жидкости изучает связь между геометрическими характеристиками движения и времени (скоростью и ускорением).

Динамика жидкости изучает законы движения как результат действия сил.

Метод Лагранжа

                          

Будем считать, что для каждой частицы нам известны зависимости

                                                                           (3.1)

Пользуясь этими зависимостями, можно построить траектории намеченных частиц жидкости. Далее можно в любом месте этих траекторий найти длину пути ds, проходимого частицей за время dt. Например,

                                                             (3.2)

В данном случае мы следим за отдельными частицами жидкости в течение времени t, за которое эти частицы, двигаясь по своим траекториям, проходят всю рассматриваемую область.

Согласно Лагранжу, о потоке жидкости в целом можно судить по совокупному рассмотрению траекторий, описываемых частицами жидкости.

 

Метод Эйлера

Представим некоторую область, занятую движущейся жидкостью. Согласно Эйлеру, не следят за движением отдельных частиц жидкости и не интересуются их траекториями.

В соответствии с предложениями Эйлера намечают точки, которые считают скрепленными с рассматриваемым неподвижным пространством. Эти точки неподвижны при протекании через них жидкости. Здесь величины x, y, z не есть текущие координаты частиц жидкости, а просто координаты неподвижных точек пространства.

Рассмотрим момент времени . В этот момент времени в точке 1 будет находиться некоторая частица жидкости, имеющая скорость ; в этот же момент времени в точке 2 будем иметь скорость ; в точке 3 – скорость  и т.д.

Согласно Эйлеру, поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства. В следующий момент времени получается другое поле скоростей. Сравнивая эти поля скоростей, можно судить о том, как поток ведет себя с течением времени.

Выше было отмечено, что координаты x, y, z, согласно Эйлеру, являются координатами неподвижных произвольных точек пространства. Поэтому в данном случае величины dx, dy, dz нельзя рассматривать как проекции элементарного пути, проходимого частицами жидкости за время dt. Эти величины здесь являются просто произвольными приращениями координат. В связи с этим зависимости (3.2) в случае метода Эйлера – неприемлемы.

Метод Лагранжа ввиду его сложности не нашел широкого применения в гидравлике. Далее в основном будет использоваться метод Эйлера, согласно которому следят за движением частиц в продолжение элементарного отрезка времени, когда данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства.

Рассматривая индивидуальную производную как полную производную по времени от вектора скорости, представляющего сложную функцию от времени t как явно в случае нестационарного поля скоростей, так и через посредство координат x, y, z движущейся точки, найдем ускорение вектора скорости

                   ,                  (3.3)

или, учитывая, что производные по времени от координат движущейся точки равны проекциям ее скорости на оси координат

получаем следующее выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных:

                                                     (3.4)

Проекции рассматриваемого вектора ускорения на оси неподвижных координат вычисляются следующим образом:

                              (3.5)

где ; ;  – индивидуальные или субстанциональные производные; ; ;   – локальные производные, выражающие из­­менение во времени вектора u в фик­си­рованной точке пространства;

– конвективная производная вектора u. Эта величина выражает изменение ско­рос­ти в пространстве в данный момент вре­мени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

Течения жидкости

При неустановившемся течении скорость и давление в каждой точке пространства изменяется с течением времени, т. е. .

При установившемся (стационарном) течении скорость в каждой точке пространства в различные моменты времени не меняет своей величины и направления, поэтому . Поэтому в случае установившегося течения

.

При установившемся течении траектории движения частиц, проходящие через одну и ту же точку пространства, совпадают друг с другом и не меняют своей формы с течением времени.

Установившееся движение может быть равномерным и неравно­мер­ным.

Равномерным движением называется такое движение, при котором ско­рости в сходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а траектории частиц – прямолинейны и параллельны оси ох, т.е. поле скоростей не изменяется вниз по течению. Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю.

Неравномерное движение – это движение, не удовлетворяющее опре­де­лению равномерного движения.

Равномерное и неравномерное движение может быть напорным и безнапорным. При напорном движении жидкость соприкасается с твердой стен­кой по всему периметру своего сечения, а при безнапор-
ном – лишь по части периметра.

Таким образом:

1. Когда скорость в отдельных точках пространства изменяется относительно медленно, поэтому величинами , ,  можно пренебречь.

2. Когда скорость в отдельных точках пространства изменяется относительно быстро, тогда эти ускорения учитывать необходимо.

Жидкости Навье-Стокса

Основными уравнениями, описывающими движение жидкости, являются уравнения движения Навье – Стокса, которые получаются из уравнений движения в напряжениях с использованием обобщенного закона Ньютона. В декартовой системе координат они выглядят следующим образом:

                                      (4.1)

Левая часть этих уравнений описывает приведенные силы инерции, спроецированные на оси координат, первое слагаемое в правой части этих уравнений представляет собой проекцию ускорения массовых сил на оси координат, второе слагаемое - приведенные силы давления, третье слагаемое – приведенные силы вязкости (трения).

К уравнениям Навье – Стокса присоединяется уравнение неразрывности (несжимаемости):

                                                                     (4.2)

Совокупность уравнений (4.1), (4.2) представляют собой замкнутую нелинейную систему четырех уравнений в частных производных второго порядка с четырьмя неизвестными функциями , величины  и  являются заданными постоянными. Нелинейность системы обусловлена наличием конвективной составляющей в левой части уравнений (4.1), которые можно представить в виде (3.5).

Эти уравнения описывают целый класс задач. Для того чтобы выделить конкретную задачу необходимо ввести условия однозначности.

Условия однозначности

1. Физические условия (например, плотность и вязкость являются величинами постоянными).

2. Геометрические условия (геометрия каналов).

3. Начальные условия (начальные условия задаются только для неустановившегося течения).

4. Граничные условия. (Условия на границах потока). Самым распространенным является условие «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке, т.е. равенство нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности или совпадение скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности, с которыми жидкие частицы соприкасаются. Это граничное условие даже в конце X1X века оспаривалось некоторыми авторами, но в настоящее время полностью оправдано.

 

ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

Основные сведения

Гидростатикаявляется разделом гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкости.

Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосре­доточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно рас­пределенных по ее объему (массе) или по поверхности. Поэтому внешние силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости, разделяют на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или (для однородных жидкостей) его объему.

К ним относятся сила тяжести и силы инерции переносного движения, действующие на жидкость при относительном ее покое в ускоренно движущихся сосудах или при относительном движении жидкости в руслах.

К числу массовых сил относятся силы, вводимые при со­став­ле­нии уравнений движения жидкости по принципу Д’Аламбера – Лагран­жа или принципа виртуальных (возможных) перемещений: для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на нее активных сил при любом виртуальном перемещении системы была равна нулю.

Поверхностные силы проявляются на граничных поверхностях рассматриваемого жидкого тела.

Поверхностную силу, действующую нормально к какой-либо площадке, называют силой давления.

Поверхностная сила, действующая по касательной к площадке, является силой сопротивления.

Сила сопротивления проявляется только при движении жид­кости, а сила давления – как при движении, так и при покое жид­кости.

 

Гидростатическое давление

Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления. Выделим некоторый объем произвольной формы находящейся в равновесии жидкости. Рассечем его на две части I и II плоскостью AB (рис. 5.1).

                          

Рис.5.1. Гидростатическое давление

 

Воздействие части I жидкости на часть II будет передаваться по плоскости раздела AB. Выделим на плоскости раздела площадку площадью . Заменим воздействие части I на эту площадку силой . Сила воздействия , приходящаяся на эту площадку, называется силой гидростатического давления. Отношение силы к площади

                                                                                     (5.1)   

представляет среднее гидростатическое давление.

Если площадь стремится к 0, то отношение будет стремиться к пределу, который называется гидростатическим давлением в точке

                                   .                                                                                          (5.2)

Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали к площадке, на которой это давление действует и является сжимающим напряжением, потому что в покоящейся жидкости не могут существовать касательные и растягивающие усилия. Величина гидростатического давления в любой точке жидкости по всем направлениям одинакова. Гидростатическое давление зависит от положения рассматриваемой точки внутри жидкости и от внешнего давления, действующего на свободной поверхности жидкости. Гидростатическое давление имеет размерность напряжения, т.е. сила/площадь.

Измеряют давление в Н/м² (Паскаль). Атмосферное давление измеряют технической атмосферой равной 98100 Па или физической равной 101325 Па, иногда используется единица бар (1бар=10⁵Па). Различают давление абсолютное (иногда употребляют термин «полное») и избыточное. Абсолютным называется давление, определённое с учетом атмосферного давления. Избыточное давление это давление сверх атмосферного, определенное без учета атмосферного

Абсолютное давление не может быть отрицательным, так как жидкость не воспринимает растягивающих напряжений. Избыточное давление может быть и больше и меньше нуля. Для удобства, отрицательное избыточное давление, взятое со знаком плюс, называют вакуумметрическим давлением . Очень часто избыточное давление называют манометрическим, так как оно измеряется с помощью манометров, или пьезометрическим, так как оно измеряется с помощью пьезометров.

 

Пример 5.3.

Определить манометрическое давление в трубопроводе А (рис. 5.5), если высота столба ртути по пьезометру  см. Центр трубопровода расположен на  см ниже линии раздела между водой и ртутью.

 

 

Рис. 5.5

 

Решение:

Находим давление в точке В, которая расположена выше точки А на величину , следовательно, давление в точке В будет равно

.

В точке С давление будет такое же, как в точке В, то есть

.

Определим давление в точке C, таким образом, справа

.

Приравнивая оба уравнения, получаем

.

Отсюда манометрическое давление

.

 кПа.

Пример 5.4.

Определить все виды гидростатического давления в баке с нефтью на глубине  м (рис. 5.6), если давление на свободной поверхности нефти  кПа. Плотность нефти кг/м³.

 

Рис. 5.6

Решение:

1. Абсолютное гидростатическое давление у дна

 кПа.

2. Избыточное (манометрическое) давление у дна

 кПа.

3. Избыточное давление, создаваемое столбом жидкости

 кПа

4. Избыточное давление на свободной поверхности

кПа.

Пример 5.5

Определить избыточное давление воды в трубе по показаниям батарейного ртутного манометра (рис. 5.7).

Отметки уровней ртути от оси трубы: ,  м,  м, м, плотность ртути кг/м³, плотность
воды  кг/м³.

 

Рис. 5.7

Решение:

Батарейный ртутный манометр состоит из двух последовательно соединенных ртутных манометров. Давление воды в трубе уравновешивается перепадами уровней ртути, а также перепадами уровней воды в трубках манометра. Суммируя показания манометра от открытого конца до присоединения его к трубе, получим:

 

Пример 5.6.

Цилиндрический сосуд радиусом R ₁ наполнен жидкостью плотностью  до уровня a в открытой трубке малого диаметра, установленной на крышке сосуда на расстоянии R ₂ от центра, и приведен в равномерное вращение относительно центральной вертикальной оси (рис. 5.9). Определить угловую скорость вращения сосуда, при которой избыточное давление под крышкой в центре сосуда будет равно 0.

 

Рис. 5.9

Решение:

Используя уравнение (5.18) найдем закон распределения избыточного давления в жидкости, заполняющей сосуд, учитывая, что

                                 

 – находим, используя граничное условие:  при  и

                       

откуда . Подставляя  получим искомый закон распределения давления

                     .

Для точек на поверхности крышки  имеем

                .

Искомую угловую скорость вращения определяем из условия  при

               ,

откуда

                            .

 

Пример 5.7.

На цилиндрическую поверхность АВС радиусом r и длиной «в», находящуюся на глубине «h», действует вертикальная сила давления воды 24 кН. Как изменится сила, если h увеличить в 2 раза?

Рис. 5.11

Решение:

Вертикальная сила давления на криволинейную поверхность определяется по формуле (5.23). Чтобы решить задачу, необходимо выяснить: влияет ли высота h на размер тела давления. Для этого построим тело давления. Разобьем поверхность АВС на две части АВ и ВС и проецируем их на свободную поверхность. В результате построим два тела давления для поверхности АВ и ВС. Телом давления исходной поверхности будет являться заштрихованная один раз поверхность, т.е. половина цилиндра. Теперь можно сделать вывод, что высота h вообще не влияет на вертикальную силу давления. 

 

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Струйки идеальной жидкости

 

Важнейшее значение в гидравлике имеет так называемое уравнение Бернулли. В применении к одномерным потокам несжимаемой жидкости это уравнение выведено Даниилом Бернулли еще в первой половине XVIII века. Впоследствии, когда был установлен всеобщий закон сохранения энергии, стало очевидным, что уравнение Бернулли по существу определяет применение этого закона к установившемуся одномерному потоку несжимаемой жидкости в том частном случае, когда учитываются лишь отдельные виды механической энергии потока.

Будем считать, что жидкость несжимаемая , а движение установившееся. Для того чтобы решить систему уравнений Эйлера, умножим каждое уравнение на  и соответственно просуммируем их.

                      (6.1)

Подставим в первой скобке:

,

следовательно,

где .

Так как из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести , подставим полученный результат во вторую скобку уравнения (6.1)

.

Третью скобку можно представить как

,

то исходная система дифференциальных уравнений приводится к виду

Поделим данное уравнение на

Проинтегрировав данное уравнение, получим уравнение Бернулли для идеальной жидкости элементарной струйки

                              , Дж/кг.                       (6.2)

 

Вязкой жидкости

 

Полученное уравнение Бернулли (6.2) справедливо для идеальной жидкости, вязкость которой равна нулю.

Для того чтобы распространить это уравнение на реальную жидкость необходимо уравнение Бернулли записать для двух сечений элементарной струйки. При движении вязкой жидкости между движущимися частицами возникает сила трения, в результате чего часть механической энергии перейдет в теплоту. Если жидкость движется с малой скоростью, то это тепло не повышает температуру. Так как часть механической энергии перешла в теплоту, поэтому

              ,[Дж/кг].             (6.3)

Разделив уравнение (6.3) на g, получим уравнение Бернулли в единицах напора      

                 , [м].                  (6.4)

Если разделим уравнение (6.4) на , получим уравнение Бернулли в единицах давления

              , [Па],                (6.5)

где  соответственно потери удельной энергии, напора и давления на преодоление гидравлических сопротивлений. Сопротивления бывают двух типов:

1. Гидравлические сопротивления, которые возникают за счет трения по всей длине канала ();

2. Гидравлические сопротивления, которые возникают внезапно при изменении диаметра трубопровода, наличии поворота, колена, клапана, задвижки и т.д. Их называют местными сопротивлениями ().

      Общие гидравлические потери получают путем суммирования всех имеющихся сопротивлений. Тогда

      Итак, уравнение Бернулли имеет три формы записи, поэтому рассмотрим смысл каждого уравнения в отдельности.

        1. Уравнение Бернулли, записанное в форме (6.3), представляет собой закон сохранения механической энергии, отнесенной к единице массы, поэтому каждое слагаемое несет следующий смысл:

 – удельная потенциальная энергия положения, [Дж/кг];

 – удельная потенциальная энергия давления, [Дж/кг];

 – удельная кинетическая энергия;

 – удельная полная механическая энергия;

 – потери удельной механической энергии.

  2. Уравнение Бернулли, записанное в форме (6.4), представляет собой закон сохранения полного давления, где  – статическое давление,  – динамическое давление,  – полное гидростатическое давление.

3. Уравнение Бернулли, записанное в форме (6.5), представляет собой закон сохранения полного гидродинамического напора и поэтому несет геометрический смысл. В этом смысле имеет место теорема Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической и геометрической высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока (траектории) или вихревой линии (рис. 6.1).

 

Рис. 6.1. Геометрический смысл слагаемых уравнения Бернулли

 

Выделим в потоке элементарную струйку, проведем два сечения (1-1, 2-2), тогда каждое слагаемое будет иметь следующий смысл:

 – нивелирная (геометрическая) высота;

 – пьезометрическая высота;

 – пьезометрический напор;

 – скоростной (динамический) напор;

 – полный гидродинамический напор [м];

 – потери напора на участке 1-2.

 

Режимы движения жидкости

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидрав­ли­ческих сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом оп­ре­деляет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, об­ладаю­щее достаточной степенью совершенства. Для этого необхо­ди­мо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Л. Рейнольдс в 1883 го­ду подтвердил гипотезу о существовании двух режимов движения жид­кости. Это, прежде всего ламинарный режим движения жид­кости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц. При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни – вихревой). Та­кое движение называют беспорядочным.

Количественная оценка гидравлических сопротивлений предопределяется режимом движения жидкости. Еще в Древнем Риме Франтиниус, занимаясь изучением движения воды по трубам, делал попытки оценить гидравлические сопротивления. Наибольший вклад в развитие этого вопроса дали работы второй половины XIX века. Основоположник классической механики Ньютон рассматривал и механику жидкости. Им получены законы внутреннего трения в предположении скольжения слоев жидкости относительно друг друга. В действительности это условие не всегда выполняется. Опыты показали, что при движении вязкой жидкости возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы английским физиком Л.Рейнольдсом.          Было установлено, что при малых скоростях течения подкрашенные частицы жидкости распространяются вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними слоями жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Такой режим движения назван ламинарным. Сила трения между слоями здесь может быть определена в соответствии с зако