Методы решения тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.

1. Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометри­ческих функций.

Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

Примеры

1) Решить уравнение 2sin² + 3sin —2 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно sin .

Его корни: sin = , sin =—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isin l 1, решения первого можно записать так:

+2k , π + 2k

Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя три­гонометрические тождества.

2) Решить уравнение 2sin + cos = 2.

Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то по­лучим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, ис­пользуем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:

и .

Делая замену, получаем уравнение относительно : .

Квадратное уравнение имеет корни откуда

Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:

Пусть . Тогда можно продолжить преобразование: . Получаем простей­шее уравнение т. е. , откуда , или

Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.

2. Понижение порядка уравнения.

Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заме­нять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.

Примеры

1) Решить уравнение .

Можно заменить cos2 на 2cos² —1 и получить квадратное уравнение относительно cos , но проще заменить на и получить линейное уравнение относительно .

2) Решить уравнение

Подставляя вместо , их выражения через , получаем:

,

2

3. Использование тригонометрических формул сложения и след­ствий из них.

Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.

Примеры

1) Решить уравнение .

Сложим два крайних слагаемых: , откуда , . Тогда , .

2) Решить уравнение .

Преобразуем произведение синусов в сумму: ,

откуда . Полученное уравнение можно ре­шить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов и : .

Получаем два уравнения: .

Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче: .

4. Однородные уравнения.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).

Так как , то постоянные слагаемые можно счи­тать членами второй степени.

Пример: .

Заменяя 4 на ,получаем:

5. Переход к половинному углу

Рассмотрим этот метод на примере:

Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Решение.

6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

= 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2),

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0,

tg ² (x / 2) – 3 tg (x / 2) + 6 = 0,

6. Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь - так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид:

Пример. Решить уравнение:

Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.

1. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.

Пример. Решите уравнение

Решение. Раскроем скобки и преобразуем про­изведение

в сумму:

Умножим обе части уравнения на . Заме­тим, что , не является решением данного уравнения. . Преобразуем левую часть уравнения:

; или тогда

или , т.е.

Исключим из найденных серий корни вида , :

а) . Ясно, что - четное число, т.е. , а потому .

б) .Tax как , то ,но тогда , .

Ответ:

2. Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:

При6авим к обеим частям уравнения по единице. ;

Разделим обе части уравнения на и после преобразований получим.

Тогда или .

Из первой серии корней области определения принадлежит только , но это серия корней содержится в серии . Нетрудно убедиться, что входит в область определения. Например: что верно, поскольку левая часть - число четное, а правая - нечетное.

Ответ: .

3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

Откуда , тогда или

Легко видеть, что

Ответ:

4. Использование свойств пропорции.

Необходимо помнить, что применение равенств

и т. д. приводит к изменению области определения урав­нения. Так, у пропорции существует ограничение: , а у пропорции место другое ограничение: .

Пример. Решите уравнение

Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: . Используем свойство пропорции: ;

Область определения исходного уравнения:

В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: откуда

Проверим, удовлетворяют ли исходному уравне­нию значения

а) -верное равенство,

- решение исходного уравнения.

б) верное равенство.

в) -1 -1 - верное равенство, Ответ:

5. Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограничен­ность функций, и . Покажем это на конкретных примерах.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Так как , то , , откуда и возможные корни данного уравнения Подставив эти значения в левую часть уравне­ния, получим а последнее равенство возможно только при .

Следовательно, - решение дан­ного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Легко видеть, что и . Следовательно, , но тогда , , откуда , — возможные корни данного

уравнения. Подстановка в данное урав­нение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.

Ответ: .

6. Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени

Пример 1.

При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.

Ответ:

Пример 2.

Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:

Ответ: