Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2019-12-18 | 226 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Решаем поставленную в §2 граничную задачу методом конечных разностей, в результате чего получим приближенные значения функции , только в узлах прямоугольной сетки, покрывающей область D.
- шаги разбиений по переменной и по переменной ; узел (i,j) – это узел сетки, имеющий координаты (
В граничных узлах нам известны значение функции или значение производной
(из граничных условий краевой задачи). В каждом внутреннем узле (i,j) от ДУЧП Лапласа переходим к конечно-разностному уравнению, заменяя частные производные на отношения конечных разностей:
Конечно-разностное уравнение:
Равенство (17), записанное для каждого внутреннего узла (i,j), представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размером (9х9) относительно неизвестных . При этом в каждое уравнение входит 5 неизвестных: ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эти неизвестные образуют «крест», поэтому говорят, что метод конечных разностей приводит ДУЧП Лапласа к конечно-разностной схеме в виде креста.
Решение системы уравнений (17) находим методом Гаусса. При этом значения , т.е. значения функции в граничных узлах, считаем известными из граничных условий и переносим их в правые части уравнений.
В решаемой задаче на левой и на правой границах области D заданы были условия Нейтмана, т.е. условия для . Поэтому нужно эти условия перевести на функцию , заменить для этого частную производную на отношение конечных разностей:
На верхней и нижней границе значения и берем как известные из граничных условий, а именно:
Для решения системы уравнений (17) методом Гаусса используем программу C ourse _ work. exe. Управляемые параметры задаем такие же, как и при табулировании значений функции, полученных методом Фурье:
|
Таблица значений функции , полученных методом конечных разностей:
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 4.69536 | 4.94680 | 5.65354 | 6.88538 | 8.76443 | 11.47832 | 15.30182 | 20.63198 | 28.04840 | 38.42852 | 53.20205 |
8 | 8.96028 | 9.43829 | 10.78197 | 13.12356 | 16.69401 | 21.84701 | 29.09700 | 39.17770 | 53.13310 | 72.46362 | 99.36742 |
7 | 12.40661 | 13.06411 | 14.91247 | 18.13287 | 23.04106 | 30.11872 | 40.06146 | 53.84870 | 72.84265 | 98.92545 | 134.67950 |
6 | 14.72652 | 15.49905 | 17.67096 | 21.45439 | 27.21863 | 35.52535 | 47.18144 | 63.31299 | 85.46338 | 115.71604 | 156.83325 |
5 | 15.72250 | 16.53463 | 18.81791 | 22.79511 | 28.85375 | 37.58261 | 49.82599 | 66.75845 | 89.98183 | 121.64208 | 164.55441 |
4 | 15.32652 | 16.09905 | 18.27096 | 22.05439 | 27.81864 | 36.12537 | 47.78146 | 63.91299 | 86.06337 | 116.31603 | 157.43324 |
3 | 13.60661 | 14.26411 | 16.11247 | 19.33287 | 24.24106 | 31.31873 | 41.26147 | 55.04870 | 74.04266 | 100.12547 | 135.87950 |
2 | 10.76028 | 11.23829 | 12.58196 | 14.92356 | 18.49402 | 23.64701 | 30.89700 | 40.97769 | 54.93309 | 74.26362 | 101.16741 |
1 | 7.09536 | 7.34680 | 8.05354 | |9.28538 | 11.16443 | 13.87832 | 17.70182 | 23.03198 | 30.44839 | 40.82851 | 55.60205 |
0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
Сравним значения функции U (x, y), вычисленные точным методом Фурье и приближенным методом конечных разностей. Для этого вычислим абсолютные и относительные погрешности в каждом из узлов (i,j).
;
Таблица абсолютных погрешностей
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 0 | 0.03263 | 0.06107 | 0.08719 | 0.11195 | 0.13540 | 0.15665 | 0.17342 | 0.17989 | 0.15524 | 0 |
8 | 0 | 0.06191 | 0.11575 | 0.16491 | 0.21087 | 0.25304 | 0.28824 | 0.39865 | 0.29944 | 0.22243 | 0 |
7 | 0 | 0.08494 | 0.15862 | 0.22543 | 0.28690 | 0.34131 | 0.38266 | 0.39865 | 0.36696 | 0.25063 | 0 |
6 | 0 | 0.09960 | 0.18582 | 0.26358 | 0.33426 | 0.39513 | 0.43811 | 0.44802 | 0.40054 | 0.26260 | 0 |
5 | 0 | 0.10462 | 0.19513 | 0.27659 | 0.35029 | 0.41312 | 0.45629 | 0.46367 | 0.41068 | 0.26598 | 0 |
4 | 0 | 0.09960 | 0.18582 | 0.26359 | 0.33427 | 0.39514 | 0.43813 | 0.44802 | 0.40053 | 0.26260 | 0 |
3 | 0 | 0.08494 | 0.15862 | 0.22544 | 0.28691 | 0.34132 | 0.38267 | 0.39865 | 0.36696 | 0.25064 | 0 |
2 | 0 | 0.06191 | 0.11575 | 0.16491 | 0.21087 | 0.25304 | 0.28824 | 0.30908 | 0.29942 | 0.22242 | 0 |
1 | 0 | 0.03263 | 0.06107 | 0.08719 | 0.11195 | 0.13540 | 0.15665 | 0.17342 | 0.17988 | 0.15523 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Таблица относительных погрешностей
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 0 | 0,00664 | 0,0066 | 0,00654 | 0,00647 | 0,00637 | 0,00623 | 0,00599 | 0,00554 | 0,00446 | 0 |
8 | 0 | 0,01092 | 0,01085 | 0,01075 | 0,01063 | 0,01048 | 0,01027 | 0,00994 | 0,00929 | 0,00764 | 0 |
7 | 0 | 0,01283 | 0,01273 | 0,01259 | 0,01244 | 0,01228 | 0,0121 | 0,0118 | 0,01117 | 0,00948 | 0 |
6 | 0 | 0,01294 | 0,01279 | 0,01261 | 0,01243 | 0,01229 | 0,01216 | 0,01198 | 0,01153 | 0,01013 | 0 |
5 | 0 | 0,01194 | 0,01172 | 0,01146 | 0,01125 | 0,01111 | 0,01106 | 0,01102 | 0,01082 | 0,00985 | 0 |
4 | 0 | 0,01034 | 0,01001 | 0,00964 | 0,00937 | 0,00924 | 0,00925 | 0,00936 | 0,00942 | 0,00893 | 0 |
3 | 0 | 0,00848 | 0,01026 | 0,00746 | 0,00713 | 0,00699 | 0,00706 | 0,00729 | 0,0076 | 0,00759 | 0 |
2 | 0 | 0,00645 | 0,00567 | 0,00506 | 0,00471 | 0,00458 | 0,00468 | 0,00498 | 0,00548 | 0,00594 | 0 |
1 | 0 | 0,00406 | 0,00308 | 0,00254 | 0,00227 | 0,00219 | 0,00226 | 0,00251 | 0,003 | 0,00382 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
Получили, что наибольшая относительная погрешность равна 1.294% и наблюдается в узле (1,6). В целом сравнение показывает, что приближенный метод конечных разностей для решаемой краевой задачи и для сетки (10х10) дает результаты, близкие к результатам, полученным точным методом Фурье.
Исследование решения задачи
Потребовалось построить линии уровня функции для нескольких отношений управляемых параметров по плотности расположения этих линий уровня сделать вывод об интенсивности изменения электростатического потенциала по области D.
Линией уровня функции называется такая линия, в каждой точке которой функция имеет одно и то же значение.
Зададим
Зададим
В первых двух случаях изменение электростатического потенциала происходит наиболее интенсивно при , т.е. вдоль стороны, где задано граничное условие
Зададим
Зададим
При области , вытянутой вдоль оси электростатический потенциал изменяется достаточно равномерно.
Зададим
Зададим
Зададим
При области вытянутой вдоль оси изменение электростатического потенциала происходит наиболее выражено у границы (как и в первых двух случаях).
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!