для эпюры изгибающих моментов:

1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость па-раболы направлена навстречу нагрузке.

2. На участке, свободном от действия равномерно распределенной наг-рузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3. В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары.

4. Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сече-нии приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в сечении равен моменту приложенной пары.

5. На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает

чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой,

параллельной оси балки.

   6. Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через ноль, меняя знаки с «+» на «—» или с «—» на «+».

В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также определить размеры поперечного сечения балки в форме прямоугольника и круга.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

где W _х —осевой момент сопротивления сечения.

Из условия прочности определяют  значение осевого момента сопротивления:

По найденному моменту сопротивления W определяют размеры поперечного сечения.

    Последовательность решения зад ачи:

1.Определить реакции связей.

2 Балку разделить на участки по характерным сечениям.

3. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

4. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в  характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

5. Для данной балки, имеющей   по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проектный расчет, т. е. определить W _х   в опасном сече-нии, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.

6.По величине W_x, в зависимости от формы поперечного сечения, опре-делить размеры поперечного сечения.

  Пример 6. Для заданной двух опорной балки (рис. 9, а) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h, b, d) в форме прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b = 1,5. Считать [σ] = 160 МПа.

 

 

         Решение.

1. Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

ΣM_D = 0; -M₁ + F₂∙CD + M₂ + R_B∙BD – F₁∙OD=0;

Так как реакция R_D получилась со знаком минус, то изменяем ее перво-начальное направление на противоположное. Истинное направление реакции R_D — вниз   (рис. 18, б).

Проверка: Σ F _iy = - F + R_B + F ₂ - R_D = - 18 + 10 + 30 - 22 = 0.

Условие Σ F_iy = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакций опор.

2. Делим балку на участки по характерным сечениям О, В, С, Д (рис. 9,б).

3. Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Q_y и строим эпюру слева направо (рис. 9, в):

       Q _у = - F ₁                                  Q_у = - F ₁ = - 18кН;

                                               Q_у = - F+R_B= - 18+10= - 8кН;

                                              Q_у = - F+R_B= - 18+10= - 8кН;

                                                   Q _у = - F₁+R_B+F₂= - 18+10 + 30= 22 кН;

                                                         Q _у = - F₁+R_B+F₂= 22 кН;

4. Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего мо­мента М_х и строим эпюру (рис. 9, г):

М_хА = 0:

М_{х B} = - F ∙ АВ = - 18∙5= - 90кНм;

M _х = - F ∙ OC + R_B ∙ BC = - 18 ∙ 9 + 10 ∙ 4 = - 122 кНм;

M _х = - F ₁ ∙ OC + R_B ∙ BC + M ₂ = - 18 ∙ 9 + 10 ∙ 4 +10 = -112кНм;

M _х = - F ₁ ∙ OD + R_B ∙ BD + M ₂ + F ₂ ∙ CD = - 18 ∙ 15 + 10 ∙ 10 +10 +10 + 30 ∙ 6 = =20кНм

   5.Для наиболее опасного сечения определяем величину осевого момента сопротивления поперечного сечения из условия прочности на изгиб:

5. Вычисляем размеры сечения данной балки по двум вариантам:

 а ) сечение — прямоугольник с заданным соотношением сторон

         Используя формулу  и учитывая, что h=1,5b, находим

б ) сечение — круг

Используя формулу , находим диаметр круглого сечения

Для решения задач (61-70) необходимо усвоить тему  2.6 «Сочетание основных видов деформаций», т.к. в задачах(61-70)  рассматривается совмест-ное действие кручения и изгиба и расчет проводится с использованием одной из гипотез прочности.

 Условие прочности в этом случае имеет вид

где M_экв —эквивалентный момент.

По гипотезе наибольших касательных напряжений (иначе—третья гипотеза)

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (иначе — пятая гипотеза)

В обеих формулах М_к и М_и — соответственно крутящий и суммарный изгибающий моменты в рассматриваемом сечении вала. Числовое значение суммарного изгибающего момента равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в наиболее опасном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т. е.

                                              

Последовательность решения задачи:

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизон­тальной плос-костях.

2. По заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращаю-щие моменты, действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F ₁, F_{r 1}, F ₂, F_{r 2}, приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, от-дельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизон-тальной плоскостях (эпюры Э М _x   и ЭM_v).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента в наиболее опасном сечении:

  

    8. Определить осевой момент сопро­тивления:

                                          

9.Проверить прочность вала по одной из гипотез прочности, используя условие прочности при изгибе      

Пример 7. Стальной вал постоянного поперечного сечения, диаметром d=60мм, с двумя зубчатыми колесами (рис. 19, а), передает мощность Р =15кВт при угловой скорости ω=30рад/с.

Проверить прочность вала по двум вариантам:

а) используя третью гипотезу прочности;

 б) исполь­зуя пятую гипотезу прочности, сделать вывод о рациональности назначенного размера поперечного сечения, приняв: [σ] = 160 МПа; F_{r 1} =0,4F₁    F_{r 2} =0,4F₂ 

                                           

Решение.

1. Составляем расчетную схему вала, приводя дейст­вующие на вал нагрузки к оси (рис. 10,б). При равномерном вращении вала M₁= М₂, где М₁ и М₂ - моменты скручивающих пар, которые добавля­ются при переносе сил F ₁ и F ₂ на ось вала.                                                                             2.Определяем вращающий момент, действующий на вал:

3.Вычислим нагрузки, приложенные к валу:

4. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости:

  ΣY = 0, следовательно, R_{A у} и R_By найдены правильно.

Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости (рис. 10, б)

                                            

   

            

Знак минус указывает, на то, что истинное направление реакции противоположно выбранному (рис. 10, б):

                

ΣX = 0, следовательно, R_{A Х}, и R_{B х}, найдены верно.

 

5.Строим эпюру крутящих моментов М _z (рис. 19, в).

                                                   М_Z =М₁ =0,5кНм

6.Определяем в характерных сечениях значения изгибающих моментов М_х в вертикальной плоскости и М_у в горизонтальной плоскости и строим эпюры ЭМ_х,ЭМ_у:    

M_Cx = R_Ay ∙ AD =3,6∙0,005=0,18кНм;

М _Dx = R_Ay ∙ AD - F_{r 1} ∙ CD =3,6∙0,25-4∙0,2=0,1 кНм;

M_Cy = R_Ax ∙ AC =7,66∙0,05=0,383 кНм;

M_Dy = R_Ax ∙ AD - F ₁ ∙ CD =7,66∙0,25-10∙0,2=-0,085 кНм;

7. Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным гипотезам прочности. Так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечении С больше, чем в сечении D   

то сечение С и является опасным. Определяем эквивалентный мо-мент в сечении С.

Вариант а)   по гипотезе максимальных касательных напряжений

Вариант б)  по гипотезе удельной энергии формоизменения

 

8. Определяем осевой момент сопротивления поперечного сечения

                                     

 9.Проверяем прочность вала:

  по варианту а)

^{Вывод: прочность вала обеспечена, но диаметр   вала завышен, т.к. имеет место большая недогрузка.}

    по варианту б)

^{Вывод: прочность вала обеспечена, но диаметр вала завышен, т.к.имеет место большая недогрузка.}

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задачи 1 —10.  Определить реакции стержней, удерживающих грузы F ₁ и F ₂ . Массой стержней пренебречь.  Числовые данные своего варианта взять из табл. 3.

Таблица3. Исходные данные к задачам 1-10.

 

№ задачи и схемы на рис.										F1	F2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Варианты										кН
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	5	5
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	3	8
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	6	4
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	2	5
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	5	8

 

Рисунок11.Схемы нагружения к задачам 1-10.

Задачи 11-20. Определить реакции опор двух опорной балки.

 

 

                                Рисунок 11.Схемы нагружения к задачам 1-10

 

Таблица 4. Исходные данные к задачам 11-20.

 

№задачи и схемы	вариант	q кН/м	F кН	М кН	№задачи и схемы	вариант	q кН/м	F кН	М кН
11,1	11	2	25	20	12, 2	12	4,5	20	85
	22	10	16	14		23	2	15	40
	33	1,5	50	30		34	5	2,5	100
	45	6	82	60		46	3,5	40	55
13; 3	02	5	80	25	14; 4	03	4	10	8
	13	2,5	15	10		14	1	12	10
	24	4	30	20		25	12	16	15
	35	10	55	40		36	8	20	12
	47	12	10	15		48	2	5	3
15; 5	04	5	50	35	16; 6	05	8	12	20
	15	4,5	35	30		16	3,5	10	45
	26	8	25	20		27	0,5	8	10
	37	1,5	10	8		38	10	15	50
	49	2,5	65	50		40	15	18	30
	01	10	8	25		20	4,5	20	15
17; 7	06	2	50	35	18; 8	07	4	18	15
	17	4	10	5		18	6,5	24	20
	28	6	12	8		29	10	16	12
	39	8	15	50		30	2,5	20	25
	41	12	80	15		42	12	40	50
19; 9	08	4	15	2	20; 10	09	4	50	1010
	19	1,5	40	15		10	6	65	8
	50	1	20	18		21	2	80	100
	31	10	16	25		32	18	10	15
	43	5	18	14		44	20	55	150

 

 

 

 

 

Рисунок 12.Схемы нагружения к задачам 11-20.

Задачи 21-30. На вал жестко насажены шкив и колесо, нагруженные как показано на схеме. Определить силы F₂, F_r2= 0,4F₂, а также реакции опор, если значение F₁ задано.

Таблица 5. Исходные данные к задачам 21-30.

№ задачи и № схемы	вариант	F1, Н	№ задачи и № схемы	вариант	F1, Н	№ задачи и № схемы	вариант	F1, Н	№ задачи и № схемы	вариант	F1, Н
21, 1	01	1050	22, 2	13	1670	23, 3	02	825	24, 4	03	750
	12	667		25	1250		14	850		15	1900
	24	834		32	2200		26	720		27	1780
	31	1335		43	1580		33	2500		34	1110
	42	1580		50	523		44	4160		45	1550
25, 5	04	3650	26, 6	05	280	27, 7	06	1140	28, 8	07	400
	17	3400		16	595		18	500		19	1600
	28	2320		29	1000		20	3620		21	1810
	35	2080		36	2400		37	2600		38	1850
	46	1035		47	830		48	1590		49	6000
29, 9	08	1315	30, 10	09	590
	10	2380		11	1000
	22	3420		23	1200
	39	8340		30	5820
	40	2320		41	2540

 

 

 

 

Рисунок 13. Схемы нагружения к задачам 21-30.

Задачи 31-40. Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней и площади поперечного сечения которого указаны на схемах, нагружен силами F₁, F₂, F₃. Построить эпюры продольных сил и нормальных  напряжений,  определить  перемещение  Δℓ  свободного  конца  бруса, приняв Е=2∙10⁵ н/мм².

 

Таблица 6. Исходные данные к задачам 31-40.

№ задачи и №  схемы		вариант	F1			F2		F3		А1	А2		№задачи и № схемы			вариант	F1		F2		F3		А1		А2
			кН							см2							кН						см2
31, 1		50	30			10		5		1,8	2,6		32, 2			01	20		8		14		1,2		1,8
		11	16			15		10		1,1	2,6					10	15		5		13		1,0		1,2
		21	17			13		8		1,0	2,1					20	18		10		15		1,2		1,8
		31	14			16		11		0,9	1,8					30	11		6		12		0,8		1,2
		49	27			14		8		1,7	2,8					39	19		7		13		1,2		1,5
33, 3		02	16			25		28		1,2	1,8		34, 4			03	26		9		10		1,9		1,6
		12	8			13		14,5		0.6	1,8					13	16		6		2		1,0		0,7
		23	15			24		29		1,3	2,9					22	24		10		8		2,		1,7
		33	9			14		16		0,8	1,4					32	16		7		6		1,1		0,9
		42	18			27		31		1,6	3,1					41	27		10		9		2,1		1.8
35, 5		05	14			16		10		2,1	1,9		36, 6			04	28		22		12		2,8		2,6
		15	17			19		13		2,4	2,1					14	19		14		4		2,4		2,1
		25	20			18		12		2,5	2,2					24	26		20		10		2,6		2,2
		35	13			17		9		2,0	1,7					34	20		15		6		1,9		1,7
		44	18			20		14		2,3	1,9					43	30		23		14		2,6		2,4
37, 7	07			17	13		6		1,1			1,5		38, 8	06		10	12		13		0,9		0,7
	17			20	17		10		1,3			1,5			16		17	19		20		1,6		1,4
	27			14	10		6		1,1			1,3			26		9	11		12		1,0		0,8
	37			19	15		7		1,0			1,6			36		20	22		24		2,1		1,9
	46			12	8		4		0,8			1,2			45		8	10		12		0,6		0,4
39, 9	09			40	55		24		2,8			3,4		40, 10	08		29	2		54		1,9		1,4
	19			31	46		20		1,9			2,5			18		19	11		34		1,3		0,9
	29			25	41		18		1,6			2,1			28		30	4		56		2,0		1,5
	38			28	53		22		2,6			3,2			40		18	13		37		1,5		1,3
	48			27	43		21		2,0			2,6			47		30	3		58		2,8		1,6

 

 

 

 

Рисунок 14. Схемы нагружения к задачам 31-40.

 

 

Задачи 41 —5 0. Для стального вала постоянного поперечного се­чения определить значения моментов М₁, М₂, М₃, М ₄; построить эпюру крутящих моментов; определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв в задачах 41, 43,45,47,49 поперечное сечение вала – круг, в задачах 42,44,46,48,50- кольцо с соотношением внутреннего и внешнего диаметров d₀ / d = 0,7. Принять [τ_к] =30 н/мм², [ φ₀] =0,02 рад/м, G = 0,8∙ 10⁵ н/мм².

 

 

Таблица  7. Исходные данные к задачам 41-50.               

№ задачи, схемы	вариант	P1	P2	P3	w	№ задачи, схемы	вариант	P1	P2	P3	w
		кВт			С-1			кВт			С-1
41,1	12	35	20	15	20	42, 2	01	130	90	40	45
	25	150	100	50	45		13	100	65	25	35
	30	40	25	20	25		24	90	45	20	20
	41	110	60	30	35		33	120	30	30	20
	50	40	15	25	30		44	80	55	35	25
43, 3	02	15	10	35	16	44, 4	03	60	40	20	20
	15	75	80	25	40		14	150	100	75	55
	27	55	65	25	20		26	95	70	45	35
	32	45	50	35	23		35	110	85	50	30
	43	80	65	45	30		46	130	90	55	40
45, 5	05	100	18	50	20	46, 6	04	60	150	80	55
	17	50	15	25	18		16	45	100	60	30
	29	40	120	20	20		28	50	110	75	30
	34	100	80	65	25		37	20	85	35	20
	45	90	25	40	20		48	15	65	25	15
47, 7	07	18	35	40	10	48, 8	06	20	50	30	10
	19	16	30	45	12		18	40	115	55	16
	21	20	35	100	25		20	65	140	80	35
	36	60	90	120	45		38	18	40	25	8
	47	35	50	8	40		49	70	150	95	40
49,  9	09	52	100	60	32	50,  10	08	80	95	75	25
	11	30	80	45	15		10	75	120	90	30
	23	35	95	50	10		22	42	60	55	18
	39	50	120	65	20		31	35	75	40	20
	40	65	160	80	30		42	58	100	86	25

 

 

                     Рисунок 15. Схемы нагружения к задачам 41 -50.

         Рисунок 15. Схемы нагружения к задачам 41-50.

Задачи 51-60. Для заданной двух опорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определить из условия прочности размеры поперечного сечения (прямоугольника с соотношением сторон h/b=2- для задач 51, 53, 55, 57,59 и круга- для задач 52,54, 56, 58, 60), приняв

 

Таблица 8. Исходные данные к задачам 51 – 60.

№ задачи; № схемы	вариант	F1	F2	М кН·м	№ задачи; № схемы	вариант	Р1	Р2	М кН·м
		кН					кН
51, 1	15	20	10	12	52, 2	01	2	6	10
	29	12	8	20		14	14	5	8
	32	10	20	15		28	20	14	10
	42	8	12	10		35	5	12	6
	47	16	8	25		40	16	10	8
53, 3	02	5	20	4	54, 4	03	10	15	2
	17	12	16	5		16	1	6	8
	34	15	9	6		20	2	10	3
	44	20	3	8		37	12	8	10
	21	10	20	30		43	2	10	12
55, 5	05	20	1	2	56, 6	04	3	2	10
	19	15	2	3		18	5	4	8
	23	30	4	1		22	12	16	5
	36	25	3	4		38	1	2	4
	46	10	15	6		45	8	5	2
	50	8	35	24		48	14	6	3
57, 7	07	2	6	5	58, 8	06	1	25	2
	11	8	1	4		10	4	3	10
	25	10	2	5		24	2	45	6
	39	12	3	8		31	5	8	10
	41	6	1	3		49	1	35	5
59, 9	09	2	4	1	60, 10	08	6	14	2
	12	4	15	10		13	1	2	14
	27	6	2	12		26	35	8	5
	30	1	35	8		33	5	10	4

 

 

 

 

Рисунок 16 Схемы нагружения к задачам 51-60.

 

Задачи 61-70. Для стального вала постоянного поперечного сечения, диаметром d, передающего мощность P при угловой скорости ω:-определить реакции подшипников в вертикальной и горизонтальной плоскостях, -построить эпюры крутящих и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях,- проверить прочность вала, приняв   (используя гипотезу максимальных касательных напряжений в задачах 61, 63, 65, 67, 69; гипотезу удельной энергии формоизменения в задачах 62, 64, 66, 68, 70.)

 

 

Таблица 9. Исходные данные к задачам 61 – 70.

№ задачи; № схемы	вариант	Р кВт	ω рад/с	dвала, мм	№ задачи; № схемы	вариант	Р кВт	ω рад/с	dвала, мм
61; 1	14	6	22	25	62; 2	01	3	25	28
	26	8	36	28		17	8	48	50
	35	10	40	30		29	10	50	55
	43	9	30	34		34	12	40	45
	50	3	45	38		46	22	24	34
63; 3	02	10	30	45	64; 4	03	5	40	25
	16	20	80	65		19	6	36	28
	28	15	45	40		21	7	35	25
	37	12	38	35		36	12	24	30
	45	14	18	28		48	15	15	25
65; 5	05	5	18	20	66; 6	04	20	45	30
	18	20	18	30		11	19	38	28
	20	12	30	25		23	21	15	25
	38	24	30	25		31