Исследование степенного ряда на сходимость.

Переходим к рассмотрению типового задания.

Пример: Найти область сходимости степенного ряда

Решение: Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

1) На первом этапе находим радиус сходимости ряда по формуле:

2) Записываем интервал сходимости ряда :

.

3) Проверяем сходимость ряда на концах интервала:

 

а) Рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :

При – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

 

б) Берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.

Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.

2) – второе условие выполняется.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
– сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

!!! Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

 

Пример: Найти область сходимости ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости данного ряда.

Итак, ряд сходится при

Раскрываем модуль:

И прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если x=-8, то получается следующий числовой ряд:

Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.

Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.

2) – второе условие выполняется.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из абсолютных членов:

.

По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .

Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

2) Что происходит на другом конце интервала?
При x=10. Получаем ряд

– сходится (Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали).

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
или