Сущность понятий «отношения», «множества», «равенство» и «неравенство» с математической точки зрения

Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применить приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающиесвойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов ещё и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса [ 15, с. 6].

Рассмотрим сущность понятия «отношение - математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи» [15, с. 6 ].

В конце XIX века возникает новая область математики — теория множеств, одним из создавателей которой был немецкий математик Георг Кантор. Теория множеств стала фундаментом всей математики [15, с. 6].

По мнению Л. П. Стойловой «в математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т. д. Все эти различные совокупности называют множествами» [15, с. 7].

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснять на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве треугольников.

Объекты, из которых образуется множество, называют его элементами.

В математике изучают не только те или иные множества, но и связи, отношения между ними.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В – подмножество А, и пишется В А.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. пустое множество является подмножеством любого множества (  А). любое множество является подмножеством самого себя (А  А).

Продолжим рассмотрение отношений между множествами. Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множества А и В равны, и пишут: А=В.

Множества А и В называются равными, если А  В и В  А.

Из определения равных множеств вытекает, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существен.

Все пустые множества равны.

Рассмотрим сущность понятий «равенство» и «неравенство» с математической точки зрения.

Понятия равенство и неравенства изучаются во взаимосвязи. Программа по математике в начальной школе предполагает научить детей числа и выражения с целью устанавливать отношения «больше», «меньше» и «равно», научить записывать результаты сравнения с помощью знаков.

«В методике математики равенство трактуется если 2 числа или числовое выражение соединены знаком «=», то образуется некоторое высказывание» [1, с. 257].

«Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образую неравенство» [1, с. 257].

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучение нумерации и арифметических действий.

Н. И. Кондаков характеризует «равенство — отношение между знаковыми выражениями, обозначающими один и тот же объект, когда все, что можно высказать на языке соответствующей теории об одном из них, можно высказать и о другом, и наоборот. и при этом получать истинные высказывания» [7, с.538].

С математической точки зрения «Равенство(отношение равенства) — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности» [7, с.627].

По мнению Ожегова С. И. «Неравенство - соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой» [8, с.403].

Все выше перечисленные элементы теории отношений изучаются в начальной школе. Более подробно изучение этих элементов рассмотрим в следующих параграфах, напримере двух учебно-методических комплексов: 1. Школа 2100 (Демидова Т.Е., Козлова С. А., Тонких А. П.; 2. Преспектива (Петерсон Л. Г.).